المسائل 

    6.1 هل معادلة فضاء الحالة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 2 & 3 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] u (t) $$
    $$ y (t) = [ 0 \quad 1 \quad 3 ] \mathbf {x} (t) $$

    قابلة للتحكم (controllable)؟ قابلة للملاحظة (observable)؟

    6.2 هل معادلة فضاء الحالة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 2 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 2 \\\ 1 & 0 \\\ 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) $$
    $$ y (t) = [ 1 \quad 0 \quad - 2 ] \mathbf {x} (t) $$

    قابلة للتحكم (controllable)؟ قابلة للملاحظة (observable)؟

    6.3 هل صحيح أن رتبة (rank) $ [\mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \cdots \mathbf{A}^{n-1} \mathbf{B}] $ تساوي رتبة $ [\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \cdots \mathbf{A}^n \mathbf{B}] $؟ إذا لم يكن صحيحًا، فمتى يكون صحيحًا؟

    6.4 بيّن أنه إذا كانت معادلة الحالة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {A} _ {1 1} & \mathbf {A} _ {1 2} \\\ \mathbf {A} _ {2 1} & \mathbf {A} _ {2 2} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} \mathbf {B} _ {1} \\\ \mathbf {0} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) $$

    قابلة للتحكم (controllable)، فإن الزوج $ (\mathbf{A}_{22},\mathbf{A}_{21}) $ قابل للتحكم (controllable).

    6.5 أوجد معادلة فضاء حالة (state-space equation) لوصف الدارة المبينة في الشكل 6.1، ثم تحقق من قابليتها للتحكم (controllability) وقابليتها للملاحظة (observability).

    6.6 أوجد مؤشر قابلية التحكم (controllability index) ومؤشر قابلية الملاحظة (observability index) لمعادلات فضاء الحالة في المسألتين 6.1 و6.2.

    6.7 ما مؤشر قابلية التحكم (controllability index) لمعادلة الحالة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {l} \mathbf {u} (t) $$

    حيث $ I $ مصفوفة الوحدة (unit matrix)؟

    6.8 اختزل معادلة فضاء الحالة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & 4 \\\ 4 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 1 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 1 1 ] \mathbf {x} (t) $$

    إلى معادلة قابلة للتحكم (controllable). هل المعادلة المختزلة قابلة للملاحظة (observable)؟

    6.9 اختزل معادلة فضاء الحالة في المسألة 6.5 إلى معادلة قابلة للتحكم (controllable) وقابلة للملاحظة (observable).

    6.10 اختزل معادلة فضاء الحالة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c} \lambda_ {1} & 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & \lambda_ {1} & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & \lambda_ {1} & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} & 1 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_ {2} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = [ 0 1 1 0 1 ] \mathbf {x} (t) \\\ \end{array} $$

    إلى معادلة قابلة للتحكم (controllable) وقابلة للملاحظة (observable).

    6.11 اعتبر معادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \\\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) + \mathbf {D u} (t) \\\ \end{array} $$

    نفترض أن رتبة مصفوفة القابلية للتحكم (controllability matrix) هي $ n_1 < n $. لتكن $ \mathbf{Q}_1 $ مصفوفة $ n \times n_1 $ أعمدتها أي $ n_1 $ أعمدة مستقلة خطيًا من مصفوفة القابلية للتحكم. لتكن $ \mathbf{P}_1 $ مصفوفة $ n_1 \times n $ بحيث $ \mathbf{P}_1\mathbf{Q}_1 = \mathbf{I}_{n_1} $، حيث $ \mathbf{I}_{n_1} $ مصفوفة الوحدة (unit matrix) من الرتبة $ n_1 $. بيّن أن معادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n_1 $ الآتية

    $$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {1} (t) = \mathbf {P} _ {1} \mathbf {A} \mathbf {Q} _ {1} \bar {\mathbf {x}} _ {1} (t) + \mathbf {P} _ {1} \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \\\ \bar {\mathbf {y}} (t) = \mathbf {C Q} _ {1} \bar {\mathbf {x}} _ {1} (t) + \mathbf {D u} (t) \\\ \end{array} $$

    قابلة للتحكم (controllable) ولها نفس مصفوفة الانتقال (transfer matrix) لمعادلة فضاء الحالة الأصلية.

    6.12 في المسألة 6.11، يتلخص إجراء الاختزال في حل $ \mathbf{P}_1 $ من المعادلة $ \mathbf{P}_1\mathbf{Q}_1 = \mathbf{I} $. كيف تحل $ \mathbf{P}_1 $؟

    6.13 طوّر عبارة مشابهة كما في المسألة 6.11 لمعادلة فضاء حالة غير قابلة للملاحظة (unobservable state-space equation).

    6.14 هل معادلة فضاء الحالة بصيغة Jordan (Jordan-form state-space equation) قابلة للتحكم (controllable) وقابلة للملاحظة (observable)؟

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l l l} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{r r r} 2 & 1 & 1 \\\ 2 & 1 & 1 \\\ 1 & 1 & - 1 \\\ 3 & 2 & 1 \\\ - 1 & 0 & 1 \\\ 1 & 0 & 1 \\\ 1 & - 1 & 2 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{r r r r r r r} 2 & 2 & - 1 & 3 & - 1 & - 1 & 1 \\\ 1 & 3 & - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & - 4 & - 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\\ \end{array} $$

    6.15 هل من الممكن إيجاد مجموعة من $ b_{ij} $ ومجموعة من $ c_{ij} $ بحيث تكون معادلة فضاء الحالة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l l} b _ {1 1} & b _ {1 2} \\\ b _ {2 1} & b _ {2 2} \\\ b _ {3 1} & b _ {3 2} \\\ b _ {4 1} & b _ {4 2} \\\ b _ {5 1} & b _ {5 2} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c} c _ {1 1} & c _ {1 2} & c _ {1 3} & c _ {1 4} & c _ {1 5} \\\ c _ {2 1} & c _ {2 2} & c _ {2 3} & c _ {2 4} & c _ {2 5} \\\ c _ {3 1} & c _ {3 2} & c _ {3 3} & c _ {3 4} & c _ {3 5} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\\ \end{array} $$

    قابلة للتحكم (controllable)؟ قابلة للملاحظة (observable)؟

    6.16 اعتبر معادلة فضاء الحالة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c} \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & \alpha_ {1} & \beta_ {1} & 0 & 0 \\\ 0 & - \beta_ {1} & \alpha_ {1} & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & \alpha_ {2} & \beta_ {2} \\\ 0 & 0 & 0 & - \beta_ {2} & \alpha_ {2} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} b _ {1} \\\ b _ {1 1} \\\ b _ {1 2} \\\ b _ {2 1} \\\ b _ {2 2} \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l} c _ {1} & c _ {1 1} & c _ {1 2} & c _ {2 1} & c _ {2 2} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\\ \end{array} $$

    وهي الصيغة النمطية (modal form) التي نوقشت في (4.28). لها قيمة ذاتية حقيقية واحدة وزوجان من القيم الذاتية المركبة المترافقة (complex conjugate eigenvalues). يُفترض أنها متميزة. بيّن أن معادلة فضاء الحالة قابلة للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كان $ b_{1} \neq 0 $؛ و$ b_{i1} \neq 0 $ أو $ b_{i2} \neq 0 $ لـ $ i = 1, 2 $. وهي قابلة للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا كان $ c_{1} \neq 0 $؛ و$ c_{i1} \neq 0 $ أو $ c_{i2} \neq 0 $ لـ $ i = 1, 2 $.

    6.17 تحقّق من قابلية التحكم (controllability) وقابلية الملاحظة (observability) للمسألة 5.1.
    6.18 استقصِ قابلية التحكم والملاحظة لنظام يتكون من توصيل على التوالي (cascade connection) لـ $ \hat{g}_1(s) = (s + a) / (s + b) $ و$ \hat{g}_2(s) = 1 / (s + c) $. علاوة على ذلك، افترض أن النظام المتسلسل موصول على التوازي مع دالة انتقال ثالثة $ \hat{g}_3(s) = 1 / (s + d) $. استقصِ قابلية التحكم والملاحظة للنظام الكلي في هذه الحالة. لاحظ أن المعاملات $ \{a,b,c,d\} $ كلها غير صفرية.
    6.19 ليكن نظامًا ممثلًا بالثلاثي $ \{A, B, C\} $ وافترض أن الزوج $ \{A, B\} $ قابل للتحكم (controllable). أوجد مصفوفة تحويل $ P $ لتحويل النظام إلى صيغة مُعرَّفة بالدخل (input identifiable form)،

    $$ \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{l l} A _ {1 1} & A _ {1 2} \\\ A _ {2 1} & A _ {2 2} \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{l} I \\\ 0 \end{array} \right] u (t) $$

    وبيّن أن $ \{A, B\} $ قابلة للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كان $ \{A_{22}, A_{21}\} $ قابلاً للتحكم. وبالأسلوب نفسه نفّذ المهمة ذاتها للزوج القابل للملاحظة $ \{A, C\} $.

    6.20 بيّن أن $ \{A,C\} $ قابلة للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا كانت $ \{A,C'C\} $ قابلة للملاحظة (observable).

    6.21 أوجد نظامًا ميكانيكيًا أو كهربائيًا لتوضيح مفهوم قابلية التحكم (controllability) (وعدم القابلية للتحكم) وقابلية الملاحظة (observability) (وعدم القابلية للملاحظة).

    6.22 اعتبر الأنظمة الآتية،

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 1 \\\ e ^ {- t} & 0 & 1 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0 & 1 \end{array} \right] x (t) \\\ \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 1 & 1 & 0 \\\ 0 & - 1 & 0 \\\ 0 & 0 & - 2 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \end{array} \right] x (t) \\\ \end{array} $$

    (a) تحقق من قابلية التحكم (controllability) وقابلية الملاحظة (observability) للأنظمة أعلاه.
    (b) هل من الممكن اختيار حالة ابتدائية عند $ t = 0 $ بحيث يصبح خرج الاستجابة لمدخل صفري للنظام الثاني $ y(t) = te^{-t} $؟ إذا نعم، فأوجدها.

    6.23 أوجد معادلات فضاء الحالة ذات البعدين والثلاثة أبعاد (2- and 3-dimensional state-space equations) لوصف الدارة المبينة في الشكل 6.12. ناقش قابليتها للتحكم والملاحظة.


    الشكل (Figure) 6.12

    6.24 طوّر معادلة فضاء الحالة (state-space equation) لوصف الدارة في الشكل 2.19 ثم تحقق من قابليتها للتحكم والملاحظة. هل يمكنك الحصول على النتيجة نفسها مباشرة من الدارة؟
    6.25 اعتبر معادلة فضاء الحالة في المسألة 4.2 ومعادلاتها المتقطعة في المسألة 4.4 بفترة أخذ عينات (sampling period) $ T = 1 $ و$ \pi $. ناقش قابلية التحكم والملاحظة للمعادلات المتقطعة.
    6.26 تحقّق من قابلية التحكم والملاحظة لـ

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\\ 0 & t \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 0 1 ] \mathbf {x} (t) $$

    6.27 تحقّق من قابلية التحكم والملاحظة لـ

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\\ 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ e ^ {- t} \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 0 e ^ {- t} ] \mathbf {x} (t) $$

    6.28 بيّن أن $ (\mathbf{A}(t),\mathbf{B}(t)) $ قابلة للتحكم (controllable) عند $ t_0 $ إذا وفقط إذا كان $ (-A'(t),B'(t)) $ قابلاً للملاحظة (observable) عند $ t_0 $.

    6.29 بالنسبة للأنظمة الثابتة مع الزمن (time-invariant systems)، بيّن أن $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ قابلة للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كان $ (-A,B) $ قابلاً للتحكم. هل هذا صحيح للأنظمة المتغيرة مع الزمن (time-varying systems)؟

    الحلول 

    6.2 قابلة للتحكم (controllable)، قابلة للملاحظة (observable).

    6.5

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & 0 \\\ 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \end{array} \right] u, \quad y = [ 0 - 1 ] \mathbf {x} + 2 u $$

    غير قابلة للتحكم، غير قابلة للملاحظة.

    6.7 $ \mu_{i} = 1 $ لكل $ i $ و$ \mu = 1 $ .
    6.9 $ y = 2u $

    6.14 قابلة للتحكم (controllable)، غير قابلة للملاحظة (observable).

    6.23 باستخدام $ x_{1} $ و$ x_{2} $ نحصل على

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c} - 2 / 1 1 & 0 \\\ 3 / 2 2 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} - 2 / 1 1 \\\ 3 / 2 2 \end{array} \right] u, \quad y = [ - 1 - 1 ] \mathbf {x} $$

    هذه المعادلة ثنائية الأبعاد غير قابلة للتحكم لكنها قابلة للملاحظة.

    وباستخدام $ x_{1}, x_{2} $ و$ x_{3} $ نحصل على

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c c} - 2 / 1 1 & 0 & 0 \\\ 3 / 2 2 & 0 & 0 \\\ 1 / 2 2 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} - 2 / 1 1 \\\ 3 / 2 2 \\\ 1 / 2 2 \end{array} \right] u, \quad y = [ 0 0 1 ] \mathbf {x} $$

    هذه المعادلة ثلاثية الأبعاد غير قابلة للتحكم وغير قابلة للملاحظة.

    6.25 من أجل $ T = \pi $، غير قابلة للتحكم وغير قابلة للملاحظة.
    6.27 غير قابلة للتحكم عند أي $ t $. قابلة للملاحظة عند كل $ t $.