7.1 المقدمة 

    في الفصول الثلاثة المتبقية ندرس فقط الأنظمة الخطية ثابتة الزمن (linear time-invariant systems). في هذا الفصل نتابع دراسة مسألة التحقيق (realization) التي نوقشت في القسم 4.5. تذكّر أن دالة التحويل (transfer function) $ \hat{g}(s) $ تُعد قابلة للتحقيق (realizable) إذا وُجدت معادلة فضاء الحالة (state-space equation)

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) \\ y (t) = \mathbf {c x} (t) + d u (t) \\ \end{array} $$

    التي تكون $ \hat{g}(s) $ دالة التحويل لها. وهذه مسألة مهمة للأسباب التالية: أولاً، كثير من طرائق التصميم (design methods) والخوارزميات الحاسوبية (computational algorithms) طُوِّرت لمعادلات فضاء الحالة. ولكي نطبّق هذه الطرائق والخوارزميات يجب تحقيق دوال التحويل إلى معادلات فضاء الحالة. مثال ذلك أن حساب استجابة دالة تحويل في MATLAB يتم أولاً بتحويل دالة التحويل إلى معادلة فضاء الحالة. ثانياً، بعد تحقيق دالة التحويل إلى معادلة فضاء الحالة، يمكن تنفيذ دالة التحويل باستخدام دوائر المضخم التشغيلي (op-amp circuits) كما نوقش في القسم 4.3.2. وقد بيّنا في النظرية 4.2 أن دالة التحويل قابلة للتحقيق إذا وفقط إذا كانت دالة كسرية مناسبة (proper rational function).

    إذا كانت دالة التحويل قابلة للتحقيق، فإن لها عدداً لا نهائياً من التحقيقات (realizations)، وليس بالضرورة بالبُعد نفسه، كما أُظهر في الفقرتين 4.5.1 و7.2.1. ومن ثم يطرح سؤال مهم: ما أصغر بُعد ممكن؟ التحقيقات ذات أصغر بُعد ممكن تُسمّى تحقيقات ذات بُعد أدنى أو تحقيقات أدنى (minimal-dimensional or minimal realizations). إذا استخدمنا تحقيقاً أدنى لتنفيذ دالة تحويل، فإن عدد المكاملات (integrators) المستخدمة في دائرة مضخم تشغيلي سيكون أصغر ما يمكن. لذا فإن التحقيقات الأدنى ذات أهمية عملية.

    تدرس الأقسام 7.2 إلى 7.5 أنظمة مفردة الدخل مفردة الخرج (SISO)، ويبدأ القسم 7.6 فما بعده بدراسة أنظمة متعددة الدخل متعددة الخرج (MIMO). في القراءة الأولى يُقترح دراسة الأقسام 7.2 حتى 7.2.2 ثم الأقسام 7.6 و7.7. يناقش القسم 7.2 وفروعه العلاقة بين الأولية فيما بينها (coprimeness) في دوال التحويل وبين قابلية التحكم (controllability) وقابلية الرصد (observability) في معادلات فضاء الحالة وتداعياتها في الأنظمة العملية. يوسّع القسم 7.6 مفهوم الدرجة (degree) من دوال التحويل القياسية (scalar transfer functions) إلى مصفوفات التحويل (transfer matrices)، ويُظهر التعقيد في الحالة الثانية. يبيّن القسم 7.7 كيفية الحصول على تحقيق أدنى باستخدام نتائج الفصل 6 انطلاقاً من تحقيق غير أدنى (nonminimal).

    يناقش القسم 7.3 طريقة حساب الكسور الأولية فيما بينها (coprime fractions)، وهو مطلوب لإجراء تصميم أنظمة SISO في الفصل 9. وعلى خلاف حالة SISO فإن مفهوم الأولية فيما بينها (coprimeness) في أنظمة MIMO معقّد نسبياً ويُناقش في القسم 7.8 وفروعه. ويمكن تجاوز دراسته إذا كان الاهتمام منصباً فقط على جزء SISO من الفصل 9. أمّا بقية الفصل 7 (تحقيقات متوازنة وتحقيقات معاملات ماركوف (balanced and Markov-parameter realizations)) فلن تُستخدم في بقية هذا النص.