7.10 تحقيقات من معاملات ماركوف المصفوفية (matrix Markov parameters) 

    اعتبر مصفوفة كسرية مناسبة تماماً $ q \times p $ هي $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. نوسعها كما يلي

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {H} (1) s ^ {- 1} + \mathbf {H} (2) s ^ {- 2} + \mathbf {H} (3) s ^ {- 3} + \dots \tag {7.106} $$

    حيث إن $ \mathbf{H}(m) $ مصفوفات ثابتة بأبعاد $ q \times p $. لتكن $ r $ درجة أصغر مقام مشترك لجميع عناصر $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. نشكّل

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {T} = \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {H} (1) & \mathbf {H} (2) & \mathbf {H} (3) & \dots & \mathbf {H} (r) \\ \mathbf {H} (2) & \mathbf {H} (3) & \mathbf {H} (4) & \dots & \mathbf {H} (r + 1) \\ \mathbf {H} (3) & \mathbf {H} (4) & \mathbf {H} (5) & \dots & \mathbf {H} (r + 2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf {H} (r) & \mathbf {H} (r + 1) & \mathbf {H} (r + 2) & \dots & \mathbf {H} (2 r - 1) \end{array} \right] (7.107) \\ \tilde {\mathbf {T}} = \left[ \begin{array}{l l l l l} \mathbf {H} (2) & \mathbf {H} (3) & \mathbf {H} (4) & \dots & \mathbf {H} (r + 1) \\ \mathbf {H} (3) & \mathbf {H} (4) & \mathbf {H} (5) & \dots & \mathbf {H} (r + 2) \\ \mathbf {H} (4) & \mathbf {H} (5) & \mathbf {H} (6) & \dots & \mathbf {H} (r + 3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf {H} (r + 1) & \mathbf {H} (r + 2) & \mathbf {H} (r + 3) & \dots & \mathbf {H} (2 r) \end{array} \right] (7.108) \\ \end{array} $$

    لاحظ أن $ \mathbf{T} $ و$ \tilde{\mathbf{T}} $ لهما $ r $ أعمدة كتلية و$ r $ صفوف كتلية، وبالتالي أبعادهما $ rq \times rp $. وكما في (7.53) و(7.55) لدينا

    $$ \mathbf {T} = \mathcal {O} _ {r - 1} \mathcal {C} _ {r - 1} \quad \text{and} \quad \tilde {\mathbf {T}} = \mathcal {O} _ {r - 1} \mathbf {A} \mathcal {C} _ {r - 1} \tag {7.109} $$

    حيث إن $ \mathcal{O}_{r-1} $ و$ \mathcal{C}_{r-1} $ هما مصفوفتا القابلية للرصد والقابلية للتحكم برتبتين $ rq \times n $ و$ n \times rp $. لاحظ أن $ n $ لم يُحدد بعد. وبما أن $ r $ يساوي درجة كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial) لأي تحقيق أدنى لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $، وبسبب (6.16) و(6.34)، فإن المصفوفة $ \mathbf{T} $ كبيرة بما يكفي لتكون رتبتها $ n $. وهذا يُذكر كنظرية.

    النظرية 7.M7 

    لمصفوفة كسرية مناسبة تماماً $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ درجة $ n $ إذا وفقط إذا كانت المصفوفة $ \mathbf{T} $ في (7.107) رتبتها $ n $.

    يمكن تطبيق طريقة تحليل القيم المفردة (singular-value decomposition) التي نوقشت في القسم 7.5 على الحالة المصفوفية مع بعض التعديل. سيتم ذلك فيما يلي. أولاً نستخدم تحليل القيم المفردة لكتابة $ \mathbf{T} $ على الصورة

    $$ \mathbf {T} = \mathbf {K} \left[ \begin{array}{l l} \Lambda & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} \end{array} \right] \mathbf {L} ^ {\prime} \tag {7.110} $$

    حيث إن $ \mathbf{K} $ و$ \mathbf{L} $ مصفوفتان متعامدتان و$ \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) $، حيث إن $ \lambda_i $ هي الجذور التربيعية الموجبة للقيم الذاتية الموجبة لـ $ \mathbf{T}'\mathbf{T} $. ومن الواضح أن $ n $ هي رتبة $ \mathbf{T} $. لتكن $ \bar{\mathbf{K}} $ الأعمدة $ n $ الأولى من $ \mathbf{K} $ ولتكن $ \bar{\mathbf{L}}' $ الصفوف $ n $ الأولى من $ \mathbf{L}' $. عندئذ يمكننا كتابة $ \mathbf{T} $ على الصورة

    $$ \mathbf {T} = \bar {\mathbf {K}} \Lambda \bar {\mathbf {L}} ^ {\prime} = \bar {\mathbf {K}} \Lambda^ {1 / 2} \Lambda^ {1 / 2} \bar {\mathbf {L}} ^ {\prime} =: \mathcal {O C} \tag {7.111} $$

    حيث

    $$ \mathcal {O} = \bar {\mathbf {K}} \Lambda^ {1 / 2} \quad \text{and} \quad \mathcal {C} = \Lambda^ {1 / 2} \bar {\mathbf {L}} ^ {\prime} $$

    لاحظ أن $ \mathcal{O} $ أبعاده $ nq \times n $ وأن $ \mathcal{C} $ أبعاده $ n \times np $. وهما ليستا مربعتين ولا تُعرّف لهما معكوسات. إلا أن معكوسيهما الزائفين معرّفان. معكوس $ \mathcal{O} $ الزائف، كما عُرّف في (7.69)، هو

    $$ \mathcal {O} ^ {+} = \left[ \left(\Lambda^ {1 / 2}\right) ^ {\prime} \bar {\mathbf {K}} ^ {\prime} \bar {\mathbf {K}} \Lambda^ {1 / 2} \right] ^ {- 1} \left(\Lambda^ {1 / 2}\right) ^ {\prime} \bar {\mathbf {K}} ^ {\prime} $$

    وبما أن $ \mathbf{K} $ متعامدة فإن $ \bar{\mathbf{K}}^{\prime}\bar{\mathbf{K}} = \mathbf{I} $، وبما أن $ \Lambda^{1 / 2} $ متناظرة فإن المعكوس الزائف $ \mathcal{O}^{+} $ يختزل إلى

    $$ \mathcal {O} ^ {+} = \Lambda^ {- 1 / 2} \bar {\mathbf {K}} ^ {\prime} \tag {7.112} $$

    وبالمثل نحصل على

    $$ \mathcal {C} ^ {+} = \bar {\mathbf {L}} \Lambda^ {- 1 / 2} \tag {7.113} $$

    ثم كما في (7.64) إلى (7.66)، فإن الثلاثي

    $$ \mathbf {A} = \mathcal {O} ^ {+} \tilde {\mathbf {T}} \mathcal {C} ^ {+} \tag {7.114} $$
    $$ \mathbf {B} = \text{first} p \text{columns of} \mathcal {C} \tag {7.115} $$
    $$ \mathbf {C} = \text{first} q \text{rows of} \mathcal {O} \tag {7.116} $$

    هو تحقيق أدنى لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. لهذا التحقيق الخاصية

    $$ \mathcal {O} ^ {\prime} \mathcal {O} = \Lambda^ {1 / 2} \bar {\mathbf {K}} ^ {\prime} \bar {\mathbf {K}} \Lambda^ {1 / 2} = \Lambda $$

    وباستخدام $ \bar{\mathbf{L}}^{\prime}\bar{\mathbf{L}} = \mathbf{I} $

    $$ \mathcal {C C} ^ {\prime} = \Lambda^ {1 / 2} \bar {\mathbf {L}} ^ {\prime} \bar {\mathbf {L}} \Lambda^ {1 / 2} = \Lambda $$

    وبذلك يكون التحقيق تحقيقاً متوازناً. ويمكن تطبيق إجراء MATLAB في المثال 7.5.2 مباشرة على الحالة المصفوفية إذا استُبدلت دالة المعكوس (inv) بدالة المعكوس الزائف (pinv). نرى مرة أخرى أن الإجراء في الحالة القياسية يمكن تمديده مباشرة إلى الحالة المصفوفية. ونذكر أيضاً أنه إذا فككنا $ \mathbf{T} = \mathcal{O}\mathcal{C} $ في (7.111) بطريقة مختلفة فسنحصل على تحقيق مختلف. ولن نناقش ذلك.