7.2.1 التحقيقات الأدنى (minimal realizations) 

اعتبر دالة التحويل

$$ \hat {g} (s) = \frac {2 s ^ {2} - 2 s - 4}{s ^ {3} + 3 s ^ {2} + 5 s + 3} \tag {7.16} $$

هي مناسبة تماماً (strictly proper) ذات مقام أحادي (monic). تحقيقها بصيغة القابلية للتحكم (controllable-form realization) هو

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 3 & - 5 & - 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{r r r} 2 & - 2 & - 4 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {7.17} \\ \end{array} $$

باستخدام تحويلات التشابه (similarity transformations) يمكننا الحصول على تحقيقات ثلاثية الأبعاد مختلفة. إذا ضربنا $ s - 1 $ في مقام وبسط $ \hat{g}(s) $ لنحصل على

$$ \hat {g} (s) = \frac {(2 s ^ {2} - 2 s - 4) (s - 1)}{(s ^ {3} + 3 s ^ {2} + 5 s + 3) (s - 1)} = \frac {2 s ^ {3} - 4 s ^ {2} - 2 s + 4}{s ^ {4} + 2 s ^ {3} + 2 s ^ {2} - 2 s - 3} $$

فيمكننا الحصول على تحقيق بصيغة القابلية للتحكم رباعي الأبعاد كما يلي

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} - 2 & - 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = [ 2 \quad - 4 \quad - 2 \quad 4 ] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$

وغيره من التحقيقات. وبالمضي قدماً يمكننا الحصول على تحقيقات ذات أبعاد خمسة وستة ... إلخ. لاحظ أن هذه التحقيقات كلها مكافئة في حالة الصفر (zero-state equivalent) لأنها تمتلك دالة التحويل نفسها. وخلاصة القول أن دالة تحويل قابلة للتحقيق لها عدد لا نهائي من التحقيقات، وليس بالضرورة أن تكون بالأبعاد نفسها. وعليه يطرح سؤال مهم: ما أصغر بُعد ممكن؟ التحقيقات ذات أصغر بُعد ممكن تُسمّى تحقيقات ذات بُعد أدنى أو تحقيقات أدنى (minimal-dimensional or minimal realizations). ستُدرس هذه المسألة في هذا الجزء. قبل المتابعة نحتاج إلى مفهوم الدرجة (degree) للدوال الكسرية المناسبة (proper rational functions).

تُسمّى الدالة الكسرية (rational function) $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ أيضاً كسراً كثير حدود (polynomial fraction) أو ببساطة كسراً. ولأن

$$ \hat {g} (s) = \frac {N (s)}{D (s)} = \frac {N (s) Q (s)}{D (s) Q (s)} $$

لأي كثير حدود (polynomial) $ Q(s) $، فإن الكسور ليست فريدة. إذا كان $ N(s) $ و$ D(s) $ لهما جذور مشتركة، فبعد حذف الجذور المشتركة نحصل على

$$ \hat {g} (s) = \frac {N (s)}{D (s)} = \frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)} $$

حيث إن $ \bar{N}(s) $ و$ \bar{D}(s) $ أوليان فيما بينهما (coprime). نسمي $ \bar{N}(s)/\bar{D}(s) $ كسراً أولياً فيما بينه (coprime fraction). عندئذ تُعرّف درجة $ \hat{g}(s) $ بأنها درجة $ \bar{D}(s) $. لاحظ أننا ندرس فقط الحالة التي يكون فيها $ \deg \bar{D}(s) \geq \deg \bar{N}(s) $.

هل دالة التحويل في (7.16) كسر أولي فيما بينه؟ باستخدام دالة MATLAB ‏roots أو ‏tf2zp يمكننا تحليل (7.16) إلى

$$ \hat {g} (s) = \frac {2 (s - 2) (s + 1)}{(s ^ {2} + 2 s + 3) (s + 1)} = \frac {2 (s - 2)}{s ^ {2} + 2 s + 3} $$

وبالتالي فإن (7.16) ليس كسراً أولياً فيما بينه. ويمكن التحقق من ذلك أيضاً بإظهار أن (7.17) غير قابلة للرصد (observable). وباستخدام كسرها الأولي فيما بينه $ (2s - 4) / (s^2 + 2s + 3) $ يمكننا الحصول على تحقيق كما يلي

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - 2 & - 3 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} 2 & - 4 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$

بعده يساوي 2 وهو يساوي درجة (7.16). هل هذا تحقيق أدنى؟ ستُجاب هذه المسألة في النظرية التالية.

النظرية 7.2 

معادلة فضاء الحالة (state-space equation) $ (\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c},d) $ هي تحقيق أدنى (minimal realization) لدالة كسرية مناسبة (proper rational function) $ \hat{g} (s) $ إذا وفقط إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{b}) $ قابلاً للتحكم و$ (\mathbf{A},\mathbf{c}) $ قابلاً للرصد، أو إذا وفقط إذا

$$ \dim \mathbf {A} = \deg \hat {g} (s) $$

البرهان: إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}) $ غير قابل للتحكم، أو كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{c}) $ غير قابل للرصد، فيمكن اختزال معادلة فضاء الحالة إلى معادلة ذات بُعد أصغر لها دالة التحويل نفسها (النظريتان 6.6 و6.06). وبالتالي فإن $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, d) $ ليس تحقيقاً أدنى. وهذا يبيّن ضرورة النظرية.

لإثبات الكفاية، اعتبر معادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $ القابلة للتحكم والقابلة للرصد

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) \\ y (t) = \mathbf {c x} (t) + d u (t) \tag {7.18} \\ \end{array} $$

ومن الواضح أن مصفوفة القابلية للتحكم (controllability matrix) ذات الأبعاد $ n \times n $

$$ \mathcal {C} = [ \mathbf {b} \mathbf {A b} \dots \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {b} ] $$

ومصفوفة القابلية للرصد (observability matrix) ذات الأبعاد $ n \times n $

$$ \mathcal {O} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {c} \\ \mathbf {c A} \\ \vdots \\ \mathbf {c A} ^ {n - 1} \end{array} \right] $$

كلتاهما رتبتها $ n $. نبرهن أن (7.18) تحقيق أدنى بالتناقض. افترض أن معادلة فضاء الحالة التالية ذات البعد $ \bar{n} $، حيث $ \bar{n} < n $،

$$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {\mathbf {b}} u (t) \tag {7.19} \\ y (t) = \bar {\mathbf {c}} \bar {\mathbf {x}} (t) + \bar {d} u (t) \\ \end{array} $$

هي تحقيق لـ $ \hat{g}(s) $. عندئذ تشير النظرية 4.1 إلى أن $ d = \bar{d} $ و

$$ \mathbf {c A} ^ {m} \mathbf {b} = \bar {\mathbf {c}} \bar {\mathbf {A}} ^ {m} \bar {\mathbf {b}} \quad \text{for} m = 0, 1, 2, \dots \tag {7.20} $$

لننظر في حاصل الضرب

$$ \begin{array}{l} \mathcal {O C} = \left[ \begin{array}{c} c \\ \mathbf {c A} \\ \vdots \\ \mathbf {c A} ^ {n - 1} \end{array} \right] [ \mathbf {b} \mathbf {A b} \dots \mathbf {A} ^ {n - 1} \mathbf {b} ] \\ = \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {c b} & \mathbf {c A b} & \mathbf {c A} ^ {2} \mathbf {b} & \dots & \mathbf {c A} ^ {n - 1} \mathbf {b} \\ \mathbf {c A b} & \mathbf {c A} ^ {2} \mathbf {b} & \mathbf {c A} ^ {3} \mathbf {b} & \dots & \mathbf {c A} ^ {n} \mathbf {b} \\ \mathbf {c A} ^ {2} \mathbf {b} & \mathbf {c A} ^ {3} \mathbf {b} & \mathbf {c A} ^ {4} \mathbf {b} & \dots & \mathbf {c A} ^ {n + 1} \mathbf {b} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf {c A} ^ {n - 1} \mathbf {b} & \mathbf {c A} ^ {n} \mathbf {b} & \mathbf {c A} ^ {n + 1} \mathbf {b} & \dots & \mathbf {c A} ^ {2 (n - 1)} \mathbf {b} \end{array} \right] \tag {7.21} \\ \end{array} $$

وباستخدام (7.20) يمكننا استبدال كل $ \mathbf{cA}^m\mathbf{b} $ بـ $ \bar{\mathbf{c}}\bar{\mathbf{A}}^{m}\bar{\mathbf{b}} $. وبالتالي نحصل على

$$ \mathcal {O C} = \bar {\mathcal {O}} _ {n} \bar {\mathcal {C}} _ {n} \tag {7.22} $$

حيث إن $ \bar{\mathcal{O}}_n $ معرّفة كما في (6.21) للمعادلة ذات البعد $ \bar{n} $ في (7.19)، و$ \bar{\mathcal{C}}_n $ معرّفة بالمثل. ولأن (7.18) قابلة للتحكم وقابلة للرصد، فإن $ \rho(\mathcal{O}) = n $ و$ \rho(\mathcal{C}) = n $. لذا فإن (3.62) يقتضي أن $ \rho(\mathcal{OC}) = n $. والآن فإن $ \bar{\mathcal{O}}_n $ و

$ \bar{C}_n $ هما على الترتيب $ n \times \bar{n} $ و$ \bar{n} \times n $؛ لذا فإن (3.61) يقتضي أن تكون رتبة المصفوفة $ \mathcal{O}_n\bar{C}_n $ على الأكثر $ \bar{n} $. وهذا يناقض $ \rho(\bar{O}_n\bar{C}_n) = \rho(\mathcal{OC}) = n $. وبذلك يكون $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, d) $ أدنياً. وهذا يثبت الجزء الأول من النظرية.

اعتبر دالة تحويل كسرية مناسبة (proper rational transfer function) $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ مع تحقيقها في (7.18). عندئذ نحصل على

$$ \frac {N (s)}{D (s)} = \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} + d = \frac {1}{\det (s \mathbf {I} - \mathbf {A})} \mathbf {c} [ \operatorname {A d j} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ] \mathbf {b} + d $$

إذا كانت $ \{\mathbf{A},\mathbf{b}\} $ في صيغة القابلية للتحكم، فإن

$$ D (s) = k \det (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) $$

لبعض الثوابت غير الصفرية $ k $. لاحظ أن $ k = 1 $ إذا كان $ D(s) $ أحادياً (monic). الآن إذا كان $ N(s) $ و$ D(s) $ أوليين فيما بينهما، فإن $ \deg D(s) = \deg \hat{g}(s) = \dim \mathbf{A} $، ويكون تحقيق صيغة القابلية للتحكم في (7.18) قابلاً للرصد أيضاً، ومن ثم أدنياً. وبما أن جميع التحقيقات الأدنى متكافئة، كما سيتضح مباشرة، نستنتج أن كل تحقيق أدنى إذا وفقط إذا كان $ \dim \mathbf{A} = \deg \hat{g}(s) $. وهذا يثبت النظرية. Q.E.D.

لإكمال برهان النظرية 7.2 نحتاج إلى النظرية التالية.

النظرية 7.3 

جميع التحقيقات الأدنى لـ $ \hat{g}(s) $ متكافئة.

البرهان: لتكن $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, d) $ و$ (\bar{\mathbf{A}}, \bar{\mathbf{b}}, \bar{\mathbf{c}}, \bar{d}) $ تحقيقات أدنى لـ $ \hat{g}(s) $. عندئذ لدينا $ \bar{d} = d $، وباتباع (7.22) نحصل على

$$ \mathcal {O C} = \bar {\mathcal {O C}} \tag {7.23} $$

وبإجراء ضرب $ \mathcal{OAC} $ صراحة ثم استخدام (7.20) يمكننا إظهار

$$ \mathcal {O} \mathbf {A} \mathcal {C} = \bar {\mathcal {O}} \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathcal {C}} \tag {7.24} $$

لاحظ أن مصفوفات القابلية للتحكم والقابلية للرصد كلها مصفوفات مربعة غير منفردة (nonsingular). لنعرّف

$$ \mathbf {P} := \bar {\mathcal {O}} ^ {- 1} \mathcal {O} $$

عندئذ فإن (7.23) تعطي

$$ \mathbf {P} = \bar {\mathcal {O}} ^ {- 1} \mathcal {O} = \bar {\mathcal {C}} \mathcal {C} ^ {- 1} \quad \text{and} \quad \mathbf {P} ^ {- 1} = \mathcal {O} ^ {- 1} \bar {\mathcal {O}} = \mathcal {C} \bar {\mathcal {C}} ^ {- 1} \tag {7.25} $$

ومن (7.23) لدينا $ \bar{\mathcal{C}} = \bar{\mathcal{O}}^{-1}\mathcal{O}\mathcal{C} = \mathbf{P}\mathcal{C} $. إن الأعمدة الأولى على جانبي المساواة تعطي $ \bar{\mathbf{b}} = \mathbf{P}\mathbf{b} $. ومرة أخرى من (7.23) لدينا $ \bar{\mathcal{O}} = \mathcal{O}\mathcal{C}\bar{\mathcal{C}}^{-1} = \mathcal{O}\mathbf{P}^{-1} $. وتعطي الصفوف الأولى على جانبي المساواة $ \bar{\mathbf{c}} = \mathbf{c}\mathbf{P}^{-1} $. وتشير المعادلة (7.24) إلى أن

$$ \bar {\mathbf {A}} = \bar {\mathcal {O}} ^ {- 1} \mathcal {O} \mathbf {A C C} \bar {\mathcal {C}} ^ {- 1} = \mathbf {P A P} ^ {- 1} $$

وعليه فإن $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}, \mathbf{c}d) $ و$ (\bar{\mathbf{A}}, \bar{\mathbf{b}}, \bar{\mathbf{c}}, \bar{d}) $ متكافئتان، وفقاً للتعريف 4.1. وهذا يثبت النظرية. Q.E.D.

للنظريتين 7.2 و7.3 تبعات مهمة عديدة. إذا أُعطيت معادلة فضاء حالة، فإننا إذا حسبنا دالة تحويلها ثم درجتها، يمكن تحديد أدناها بسهولة دون فحص قابلية التحكم وقابلية الرصد. وهكذا توفر النظرية طريقة بديلة لفحص قابلية التحكم وقابلية الرصد. وعلى العكس، إذا أُعطيت دالة كسرية، فإننا إذا حسبنا عواملها المشتركة أولاً وخفضناها إلى كسر أولي فيما بينه، فإن معادلات فضاء الحالة الناتجة باستخدام معاملاتِها كما في (7.9) و(7.14) ستكون قابلة للتحكم وقابلة للرصد تلقائياً.

اعتبر معادلة فضاء الحالة $ (\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c},d) $ ودالة تحويلها $ \hat{g} (s) $. إذا كانت المعادلة قابلة للتحكم وقابلة للرصد، فإن كل قيمة ذاتية (eigenvalue) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ هي قطب (pole) لـ $ \hat{g} (s) $ وكل قطب لـ $ \hat{g} (s) $ هو قيمة ذاتية للمصفوفة $ \mathbf{A} $. انظر المثال 5.2.2. في هذه الحالة لدينا

$$ \text{Asymptotic} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{BIBO} $$

لاحظ أن الأولى تتعلق باستجابات الدخل الصفري (zero-input responses) أو الاستقرار الداخلي (internal stability) بينما الثانية تتعلق باستجابات الحالة الصفرية (zero-state responses) أو الاستقرار الخارجي (external stability).