7.2.2 التوصيف الكامل (complete characterization) 

    تصف معادلة فضاء الحالة (state-space equation) ليس فقط العلاقة بين دخل النظام وخرجه، بل أيضاً متغيراته الداخلية، ولذلك فهي وصف داخلي. أما دالة التحويل (transfer function) فهي وصف خارجي لأنها لا تكشف شيئاً عمّا بداخل النظام. علاوة على ذلك، تصف دالة التحويل استجابات الحالة الصفرية (zero-state responses) فقط، بينما تصف معادلة فضاء الحالة استجابات الحالة الصفرية وكذلك استجابات الدخل الصفري (zero-input responses). لذا فمن الطبيعي أن نسأل: هل تصف دالة التحويل النظام وصفاً كاملاً أم أن هناك معلومات عن النظام مفقودة من دالة التحويل؟ وهذا ما سنناقشه لاحقاً.

    اعتبر الدائرة الموضحة في الشكل 6.1. لنعين الجهد عبر المكثف 1-F على أنه $ x_{1} $ كما هو موضح. عندئذ يكون تياره $ \dot{x}_{1} $ والتيار المار عبر المقاومة 3-Ic هو $ x_{1}/3 $. مجموعهما يساوي $ u $. لذا لدينا

    $$ \dot {x} _ {1} (t) + x _ {1} (t) / 3 = u (t) \quad \text{or} \quad \dot {x} _ {1} (t) = - x _ {1} (t) / 3 + u (t) $$

    إذا عيّنا الجهد عبر المكثف 2-F على أنه $ x_{2} $، فإن تياره هو $ 2\dot{x}_{2} $ والتيار المار عبر المقاومة 4-Ic هو $ x_{2}(t)/4 $. وبسبب الدائرة المفتوحة عند الخرج، لدينا $ 2\dot{x}_{2}(t) = -x_{2}(t)/4 $، والتيار المار عبر المقاومة 2-Ic هو $ u $. وبالتالي نحصل على $ y = 2u - x_{2} $. ويمكن ترتيبها كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} - 1 / 3 & 0 \\ 0 & - 1 / 8 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + 2 u (t) \\ \end{array} $$

    هذه معادلة فضاء حالة ثنائية الأبعاد تصف الدائرة في الشكل 6.1.

    نحسب بعدها دالة التحويل كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} (s) = \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} + d = [ 0 - 1 ] \left[ \begin{array}{c c} 1 / (s + 1 / 3) & 0 \\ 0 & 1 / (s + 1 / 8) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right] + 2 \\ = 0 + 2 = 2 \\ \end{array} $$

    هذه دالة التحويل لا تصف الدائرة وصفاً كاملاً لأن الاستجابات في حلقتي RC لا يمكن استنتاجها من $ \hat{g}(s) = 2 $. في المقابل، تُوصف الدائرة بالكامل بواسطة معادلة فضاء الحالة. فعلى سبيل المثال، إذا كان $ x_{2}(0) \neq 0 $ فإن معادلة الحالة تولّد الاستجابة $ x_{2}(t) = e^{-t / 8} x_{2}(0) $. وخلاصة القول أن معادلات فضاء الحالة أكثر وصفاً من دوال التحويل بصورة عامة.

    على الرغم من أن معادلة فضاء الحالة أكثر وصفاً، فإن المعادلة ليست قابلة للتحكم والرصد معاً لأن بعدها يختلف عن درجة دالة تحويلها $ \hat{g}(s) = 2 $ والتي تساوي صفراً. ويمكننا أيضاً التحقق مباشرة من أن المعادلة غير قابلة للتحكم ولا قابلة للرصد (المسألة 6.5). ولمناقشة معناها الفيزيائي، سنقدّم مفهوماً جديداً.

    اعتبر نظاماً بدالة تحويل $ \hat{g}(s) $. يُعرَّف النظام بأنه مُوصّف بالكامل بدالة تحويله إذا كان عدد عناصر خزن الطاقة (energy storage elements) في النظام مساوياً لدرجة $ \hat{g}(s) $. في دارة RLC، لأن المحث (inductor) يمكنه تخزين الطاقة في مجاله المغناطيسي، والمكثف (capacitor) يمكنه تخزين الطاقة في مجاله الكهربائي، فإن عدد عناصر خزن الطاقة في الدائرة يساوي العدد الكلي للمحاثات والمكثفات. لاحظ أن المقاومة ليست عنصراً لخزن الطاقة لأن كل طاقتها تتبدد على شكل حرارة. على سبيل المثال، تحتوي الدائرة في الشكل 6.1 على عنصرين لخزن الطاقة، لكن دالة تحويلها $ \hat{g}(s) = 2 $ درجتها 0. لذا فالدائرة غير موصوفة بالكامل بدالة تحويلها.

    عملياً نحاول تصميم أبسط نظام ممكن لتحقيق مهمة معينة. وبما يخص الدخل والخرج، يمكن استبدال الدائرة في الشكل 6.1 بمقاومة مقدارها $ 2-\Omega $. أي إن الدائرة فيها بعض الزيادات أو المكونات غير الضرورية، ولا ينبغي أن نصمم نظاماً كهذا. ويتبين أن مثل هذه الزيادات يمكن اكتشافها من دوال التحويل. إذا كان عدد عناصر خزن الطاقة في نظام أكبر من درجة دالة تحويله، فإن في النظام بعض الزيادة. ومعظم الأنظمة العملية، ما لم تُصمَّم على نحو غير مقصود، لا تحتوي على مكونات زائدة وتكون موصوفة بالكامل بدوال تحويلها.[2]

    يمكن أيضاً فحص الزيادة في النظام من معادلة فضاء الحالة. ومن تحليل كالمان (Kalman decomposition) الموضح في الشكل 6.7 يمكننا أن نستنتج أن النظام لا يحتوي على زيادة إذا وفقط إذا كانت معادلة فضاء الحالة قابلة للتحكم وقابلة للرصد. إلا أن هذه الطريقة في الفحص أكثر تعقيداً عادةً من الطريقة القائمة على دوال التحويل. فمثلاً، الدائرتان في الشكل 4.5 لهما كلتاهما دالة تحويل $ 1 / (s + 2) $ من الدرجة 1 كما حُسب في المثال 4.4.2. الدائرة في الشكل 4.5(a) تحوي عنصرين لخزن الطاقة وبالتالي فهي غير موصوفة بالكامل بدالة تحويلها، بينما الدائرة في الشكل 4.5(b) تحوي عنصراً واحداً فقط لخزن الطاقة وهي موصوفة بالكامل بدالة تحويلها. ولا حاجة إلى تطوير معادلات فضاء الحالة ثم فحص قابلية التحكم والرصد.

    معظم الأنظمة المصممة عملياً لا تحتوي على مكونات غير ضرورية. فهل ستكون معادلة فضاء الحالة لهذا النظام أكثر وصفاً من دالة تحويله؟ الجواب بالنفي. إذا لم يكن في النظام مكونات زائدة وطوّرنا معادلة فضاء حالة ودالة تحويل لوصفه، فإننا نحصل على

    عدد عناصر خزن الطاقة $ = $ درجة دالة تحويله

    = بُعد معادلة فضاء الحالة

    في هذه الحالة لا فرق بين استخدام دالة التحويل أو معادلة فضاء الحالة لوصف النظام. وبصورة أدق، ستظهر جميع الخصائص الداخلية للنظام في دالة التحويل. يمكن توليد الاستجابة الناتجة عن أي مجموعة من الشروط الابتدائية من دالة التحويل بتطبيق دخل مناسب. وبعبارة أخرى، يمكن توليد كل استجابة دخل صفري للنظام كاستجابة حالة صفرية. لذا لا يُفقد شيء عند استخدام دوال التحويل. وخلاصة القول إن معادلات فضاء الحالة القابلة للتحكم والقابلة للرصد والكسور الأولية فيما بينها تحمل جوهرياً المعلومات نفسها، ويمكن استخدام أي وصف لإجراء التحليل والتصميم.

    تُجرى معظم التصاميم في المرشحات (filters) وأنظمة التحكم باستخدام دوال التحويل. وعند تصميم دالة تحويل مُرضية نستخدم تحقيقها الأدنى (minimal realization) لتنفيذ دارة المضخم التشغيلي (op-amp)؛ وعندها يكون النظام الناتج بلا مكونات زائدة.

    ولختام هذا الجزء، نذكر أن التوصيف الكامل يتعامل فقط مع عناصر خزن الطاقة؛ ولا يلتفت إلى العناصر غير المخزنة للطاقة مثل المقاومات.