7.2 دلالات الأولية فيما بينها (coprimeness)
اعتبر نظاماً له دالة تحويل مناسبة (proper transfer function) $ \hat{g}(s) $. نفككها كما يلي
$$ \hat {g} (s) = \hat {g} (\infty) + \hat {g} _ {s p} (s) $$
حيث إن $ \hat{g}_{sp}(s) $ مناسبة تماماً (strictly proper) و$ \hat{g}(\infty) $ ثابت. الثابت $ \hat{g}(\infty) $ يعطي جزء النقل المباشر (direct transmission) لكل تحقيق (realization) ولن يلعب أي دور فيما سيُناقش. لذلك نعتبر في هذا القسم فقط الدوال الكسرية المناسبة تماماً (strictly proper rational functions). اعتبر
$$ \hat {g} (s) = \frac {N (s)}{D (s)} = N (s) D ^ {- 1} (s) = \frac {\beta_ {1} s ^ {3} + \beta_ {2} s ^ {2} + \beta_ {3} s + \beta_ {4}}{s ^ {4} + \alpha_ {1} s ^ {3} + \alpha_ {2} s ^ {2} + \alpha_ {3} s + \alpha_ {4}} \tag {7.1} $$
لتبسيط المناقشة، افترضنا أن المقام $ D(s) $ درجته 4 وهو أحادي المعامل الرئيس (monic). في القسم 4.5 قدمنا من أجل (7.1) التحقيق (realization) في (4.33) دون أي نقاش لمتغيرات الحالة (state variables). سنعيد الآن تطوير (4.33) عبر تعريف مجموعة من متغيرات الحالة أولاً ثم مناقشة دلالات الأولية فيما بينها (coprimeness) لـ $ D(s) $ و$ N(s) $.
اعتبر $ \hat{y}(s) = \hat{g}(s)\hat{u}(s) $ أو
$$ \hat {y} (s) = N (s) D ^ {- 1} (s) \hat {u} (s) \tag {7.2} $$
لنُعرّف متغيراً جديداً $ \nu(t) $ بحيث $ \hat{\nu}(s) = D^{-1}(s)\hat{u}(s) $. عندئذ نحصل على
$$ D (s) \hat {v} (s) = \hat {u} (s) \tag {7.3} $$
$$ \hat {y} (s) = N (s) \hat {\nu} (s) \tag {7.4} $$
عرّف متغيرات الحالة كما يلي
$$ \mathbf {x} (t) := \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (t) \\ x _ {2} (t) \\ x _ {3} (t) \\ x _ {4} (t) \end{array} \right] := \left[ \begin{array}{c} v ^ {(3)} (t) \\ \ddot {v} (t) \\ \dot {v} (t) \\ v (t) \end{array} \right] \quad \text{or} \quad \hat {\mathbf {x}} (s) = \left[ \begin{array}{l} \hat {x} _ {1} (s) \\ \hat {x} _ {2} (s) \\ \hat {x} _ {3} (s) \\ \hat {x} _ {4} (s) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} s ^ {3} \\ s ^ {2} \\ s \\ 1 \end{array} \right] \hat {v} (s) (7. 5) $$
تذكّر أنه إذا كان $ \hat{\nu}(s) = \mathcal{L}[\nu(t)] $ وإذا كان $ \nu(0) = \dot{\nu}(0) = \ddot{\nu}(0) = \dots = 0 $، فإن $ \mathcal{L}[\dot{\nu}(t)] = s\hat{\nu}(s) $ و$ \mathcal{L}[\ddot{\nu}(t)] = s^2\hat{\nu}(s) $، وهكذا. بمعنى آخر، فإن الاشتقاق في المجال الزمني يكافئ الضرب بـ $ s $ في مجال التحويل. ومن (7.5) نحصل على
$$ \dot {x} _ {2} (t) = x _ {1} (t), \quad \dot {x} _ {3} (t) = x _ {2} (t), \quad \text{and} \quad \dot {x} _ {4} (t) = x _ {3} (t) \tag {7.6} $$
هذه العلاقات مستقلة عن (7.1) وتنتج مباشرة من التعريف في (7.5). ولتطوير معادلة لـ $ \dot{x}_1 $، نعوض (7.5) في (7.3) أو
$$ (s ^ {4} + \alpha_ {1} s ^ {3} + \alpha_ {2} s ^ {2} + \alpha_ {3} s + \alpha_ {4}) \hat {\nu} (s) = \hat {u} (s) $$
لنحصل على
$$ s \hat {x} _ {1} (s) = - \alpha_ {1} \hat {x} _ {1} (s) - \alpha_ {2} \hat {x} _ {2} (s) - \alpha_ {3} \hat {x} _ {3} (s) - \alpha_ {4} \hat {x} _ {4} (s) + \hat {u} (s) $$
والتي تصبح في المجال الزمني
$$ \dot {x} _ {1} (t) = \left[ - \alpha_ {1} - \alpha_ {2} - \alpha_ {3} - \alpha_ {4} \right] \mathbf {x} (t) + 1 \cdot u (t) \tag {7.7} $$
بالتعويض من (7.5) في (7.4) نحصل على
$$ \begin{array}{l} \hat {y} (s) = \left(\beta_ {1} s ^ {3} + \beta_ {2} s ^ {2} + \beta_ {3} s + \beta_ {4}\right) \hat {\nu} (s) \\ = \beta_ {1} \hat {x} _ {1} (s) + \beta_ {2} \hat {x} _ {2} (s) + \beta_ {3} \hat {x} _ {3} (s) + \beta_ {4} \hat {x} _ {4} (s) \\ = \left[ \begin{array}{l l l l} \beta_ {1} & \beta_ {2} & \beta_ {3} & \beta_ {4} \end{array} \right] \hat {\mathbf {x}} (s) \\ \end{array} $$
والتي تصبح في المجال الزمني
$$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} \beta_ {4} & \beta_ {3} & \beta_ {2} & \beta_ {1} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {7.8} $$
يمكن جمع المعادلات (7.6) و(7.7) و(7.8) على الصورة
$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} - \alpha_ {1} & - \alpha_ {2} & - \alpha_ {3} & - \alpha_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \mathbf {c x} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} \beta_ {1} & & \beta_ {2} & \\ & & \beta_ {3} & \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {7.9} \\ \end{array} $$
وهذا تحقيق (realization) للمعادلة (7.1) وقد تم تطويره في (4.33) بالتحقق المباشر.
قبل المتابعة نذكر أنه إذا كان $ N(s) $ في (7.1) يساوي 1، فإن $ y(t) = \nu(t) $ ويمكن اختيار الخرج $ y(t) $ ومشتقاته كمتغيرات حالة. لكن إذا كان $ N(s) $ كثير حدود (polynomial) درجته 1 أو أكثر واخترنا الخرج ومشتقاته كمتغيرات حالة، فإن تحقيقه سيكون بالشكل
$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) + d _ {1} \dot {u} (t) + d _ {2} \ddot {u} (t) + \dots \\ y (t) = \mathbf {c x} (t) + d u (t) \\ \end{array} $$
تتطلب هذه المعادلة اشتقاق $ u $ ولا تُستخدم. لذلك، عموماً لا يمكننا اختيار الخرج $ y $ ومشتقاته كمتغيرات حالة1. يجب أن نعرّف متغيرات الحالة باستخدام $ \nu(t) $. لذا تُسمّى $ \nu(t) $ حالة زائفة (pseudo state).
نراجع الآن قابلية التحكم (controllability) وقابلية الرصد (observability) للمعادلة (7.9). يمكن حساب مصفوفة القابلية للتحكم (controllability matrix) بسهولة كما يلي
$$ \mathcal {C} = \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & - \alpha_ {1} & \alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2} & - \alpha_ {1} ^ {3} + 2 \alpha_ {1} \alpha_ {2} - \alpha_ {3} \\ 0 & 1 & - \alpha_ {1} & \alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2} \\ 0 & 0 & 1 & - \alpha_ {1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \tag {7.10} $$
محددها يساوي 1 لأي $ \alpha_{i} $. لذا فإن مصفوفة القابلية للتحكم $ \mathcal{C} $ ذات رتبة صفوف كاملة، ومعادلة الحالة قابلة للتحكم دائماً. ولهذا السبب تُسمّى (7.9) تحقيقاً بصيغة القابلية للتحكم (controllable-form realization).
ننتقل الآن إلى قابلية الرصد (observability). يتبين أنها تعتمد على ما إذا كان $ N(s) $ و$ D(s) $ أوليين فيما بينهما (coprime) أو لا يوجد بينهما جذور مشتركة كما في النظرية التالية.
النظرية 7.1
معادلة صيغة القابلية للتحكم في (7.9) قابلة للرصد إذا وفقط إذا كان $ D(s) $ و$ N(s) $ في (7.1) أوليين فيما بينهما (coprime).
البرهان: نبيّن أولاً أنه إذا كانت (7.9) قابلة للرصد، فإن $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليان فيما بينهما. نثبت ذلك بالتناقض. إذا لم يكونا أوليين فيما بينهما، فهناك $ \lambda_1 $ بحيث
$$ N \left(\lambda_ {1}\right) = \beta_ {1} \lambda_ {1} ^ {3} + \beta_ {2} \lambda_ {1} ^ {2} + \beta_ {3} \lambda_ {1} + \beta_ {4} = 0 \tag {7.11} $$
$$ D \left(\lambda_ {1}\right) = \lambda_ {1} ^ {4} + \alpha_ {1} \lambda_ {1} ^ {3} + \alpha_ {2} \lambda_ {1} ^ {2} + \alpha_ {3} \lambda_ {1} + \alpha_ {4} = 0 \tag {7.12} $$
لنعرّف $ \mathbf{v} := [\lambda_1^3 \lambda_1^2 \lambda_1 1]' $؛ وهي متجه غير صفري $ 4 \times 1 $. عندئذ يمكن كتابة (7.11) على الصورة $ N(\lambda_1) = \mathbf{c}\mathbf{v} = 0 $، حيث عُرِّفت $ \mathbf{c} $ في (7.9). وباستخدام (7.12) وخاصية الإزاحة (shifting property) لصيغة المرافقة (companion form)، يمكن التحقق بسهولة من أن
$$ \mathbf {A} \mathbf {v} = \left[ \begin{array}{c c c c} - \alpha_ {1} & - \alpha_ {2} & - \alpha_ {3} & - \alpha_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \lambda_ {1} ^ {3} \\ \lambda_ {1} ^ {2} \\ \lambda_ {1} \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \lambda_ {1} ^ {4} \\ \lambda_ {1} ^ {3} \\ \lambda_ {1} ^ {2} \\ \lambda_ {1} \end{array} \right] = \lambda_ {1} \mathbf {v} (7. 1 3) $$
وعليه نحصل على $ \mathbf{A}^2\mathbf{v} = \mathbf{A}(\mathbf{A}\mathbf{v}) = \lambda_1\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda_1^2\mathbf{v} $ و$ \mathbf{A}^3\mathbf{v} = \lambda_1^3\mathbf{v} $. ونحسب، باستخدام $ \mathbf{c}\mathbf{v} = 0 $،
$$ \mathcal {O} \mathbf {v} = \left[ \begin{array}{l} \mathbf {c} \\ \mathbf {c A} \\ \mathbf {c A} ^ {2} \\ \mathbf {c A} ^ {3} \end{array} \right] \mathbf {v} = \left[ \begin{array}{l} \mathbf {c v} \\ \mathbf {c A v} \\ \mathbf {c A} ^ {2} \mathbf {v} \\ \mathbf {c A} ^ {3} \mathbf {v} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \mathbf {c v} \\ \lambda_ {1} \mathbf {c v} \\ \lambda_ {1} ^ {2} \mathbf {c v} \\ \lambda_ {1} ^ {3} \mathbf {c v} \end{array} \right] = \mathbf {0} $$
مما يعني أن مصفوفة الرصد (observability matrix) لا تملك رتبة أعمدة كاملة. وهذا يناقض فرضية أن (7.9) قابلة للرصد. وبالتالي إذا كانت (7.9) قابلة للرصد فإن $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليان فيما بينهما.
بعد ذلك نبرهن العكس؛ أي إذا كان $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليين فيما بينهما، فإن (7.9) قابلة للرصد. نثبت بالتناقض. افترض أن (7.9) ليست قابلة للرصد، فإن النظرية 6.01 تقتضي وجود قيمة ذاتية (eigenvalue) $ \lambda_{1} $ للمصفوفة $ \mathbf{A} $ ومتجه غير صفري $ \mathbf{v} $ بحيث
$$ \left[ \begin{array}{c} \mathbf {A} - \lambda_ {1} \mathbf {I} \\ \mathbf {c} \end{array} \right] \mathbf {v} = \mathbf {0} $$
أو
$$ \mathbf {A} \mathbf {v} = \lambda_ {1} \mathbf {v} \quad \text{and} \quad \mathbf {c v} = 0 $$
وبالتالي فإن $ \mathbf{v} $ متجه ذاتي (eigenvector) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ مقترن بالقيمة الذاتية $ \lambda_{1} $. ومن (7.13) نرى أن $ \mathbf{v} = [\lambda_1^3\lambda_1^2\lambda_11]' $ متجه ذاتي. بالتعويض بهذا $ \mathbf{v} $ في $ \mathbf{cv} = 0 $ نحصل على
$$ N (\lambda_ {1}) = \beta_ {1} \lambda_ {1} ^ {3} + \beta_ {2} \lambda_ {1} ^ {2} + \beta_ {3} \lambda_ {1} + \beta_ {4} = 0 $$
ومن ثم فإن $ \lambda_{1} $ جذر لـ $ N(s) $. والقيمة الذاتية لـ $ \mathbf{A} $ هي جذر كثير الحدود المميز (characteristic polynomial) لها والذي يساوي، بسبب صيغة المرافقة (companion form) للمصفوفة $ \mathbf{A} $، كثير الحدود $ D(s) $. لذا لدينا أيضاً $ D(\lambda_{1}) = 0 $، ويكون لـ $ D(s) $ و$ N(s) $ الجذر نفسه $ \lambda_{1} $. وهذا يناقض فرضية أن $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليان فيما بينهما. إذن إذا كان $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليين فيما بينهما فإن (7.9) قابلة للرصد. وبهذا تثبت النظرية. Q.E.D.
إذا كانت (7.9) تحقيقاً لـ $ \hat{g}(s) $، فإننا نحصل بالتعريف على
$$ \hat {g} (s) = \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} $$
وأخذ المنقول (transpose) يعطي
$$ \hat {g} ^ {\prime} (s) = \hat {g} (s) = [ \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} ] ^ {\prime} = \mathbf {b} ^ {\prime} (s \mathbf {I} - \mathbf {A} ^ {\prime}) ^ {- 1} \mathbf {c} ^ {\prime} $$
وهكذا فإن معادلة فضاء الحالة (state-space equation)
$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {x} (t) + \mathbf {c} ^ {\prime} u (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} - \alpha_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ - \alpha_ {2} & 0 & 1 & 0 \\ - \alpha_ {3} & 0 & 0 & 1 \\ - \alpha_ {4} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} \beta_ {1} \\ \beta_ {2} \\ \beta_ {3} \\ \beta_ {4} \end{array} \right] u (t) \tag {7.14} $$
$$ y (t) = \mathbf {b} ^ {\prime} \mathbf {x} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$
هي تحقيق مختلف للمعادلة (7.1). هذه معادلة فضاء حالة قابلة للرصد دائماً وتسمّى تحقيق صيغة القابلية للرصد (observable-form realization). وبالمزدوج مع النظرية 7.1، تكون المعادلة (7.14) قابلة للتحكم إذا وفقط إذا كان $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليين فيما بينهما.
نذكر أن تحويل التكافؤ (equivalence transformation) $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ مع
$$ \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \tag {7.15} $$
سيحوّل (7.9) إلى
$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \alpha_ {4} & - \alpha_ {3} & - \alpha_ {2} & - \alpha_ {1} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} \beta_ {4} & \beta_ {3} & \beta_ {2} & \beta_ {1} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$
وهذا يُسمّى أيضاً معادلة بصيغة القابلية للتحكم. وهو حاصل من (7.9) بإعادة ترتيب متغيرات الحالة. وبالمثل، سيحوّل (7.15) المعادلة (7.14) إلى
$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 0 & 0 & - \alpha_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & - \alpha_ {3} \\ 0 & 1 & 0 & - \alpha_ {2} \\ 0 & 0 & 1 & - \alpha_ {1} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} \beta_ {4} \\ \beta_ {3} \\ \beta_ {2} \\ \beta_ {1} \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$
وهذه معادلة بصيغة قابلة للرصد مختلفة.