7.3 حساب الكسور الأولية فيما بينها (coprime fractions) 

أُبرزت أهمية الكسور الأولية فيما بينها (coprime fractions) والدرجات (degrees) في القسم السابق. في هذا القسم نناقش كيفية حساب الكسور الأولية فيما بينها. اعتبر دالة كسرية مناسبة (proper rational function)

$$ \hat {g} (s) = \frac {N (s)}{D (s)} $$

حيث إن $ N(s) $ و$ D(s) $ كثيرات حدود (polynomials). إذا استخدمنا دالة MATLAB ‏roots لحساب جذورهما ثم حذف الجذور المشتركة، فسنحصل على كسر أولي فيما بينه. كما يمكن استخدام خوارزمية إقليدس (Euclidean algorithm) لحساب عواملهما أو جذورهما المشتركة. في هذا القسم نقدّم طريقة مختلفة بحل مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية (linear algebraic equations). لا تقدم هذه الطريقة أي مزايا على الطرق المذكورة للدوال الكسرية القياسية (scalar rational functions). لكنها تمتد بسهولة إلى الحالة المصفوفية. والأهم أن هذه الطريقة ستُستخدم لإجراء التصميم في الفصل 9.

اعتبر $ N(s) / D(s) $. لتبسيط المناقشة نفترض $ \deg N(s) \leq \deg D(s) = n = 4 $. لنكتب

$$ \frac {N (s)}{D (s)} = \frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)} $$

مما يعني

$$ D (s) (- \bar {N} (s)) + N (s) \bar {D} (s) = 0 \tag {7.26} $$

من الواضح أن $ D(s) $ و$ N(s) $ غير أوليين فيما بينهما إذا وفقط إذا وُجدت كثيرات حدود $ \bar{N}(s) $ و$ \bar{D}(s) $ بحيث $ \deg \bar{N}(s) \leq \deg \bar{D}(s) < n = 4 $ لتحقيق (7.26). الشرط $ \deg \bar{D}(s) < n $ جوهري؛ وإلا فإن (7.26) تمتلك حلولاً لانهائية هي $ \bar{N}(s) = N(s)R(s) $ و$ \bar{D}(s) = D(s)R(s) $ لأي كثير حدود $ R(s) $. وهكذا تُختزل مسألة الأولية فيما بينها (coprimeness) إلى حل المعادلة كثيرة الحدود في (7.26).

بدلاً من حل (7.26) مباشرةً سنحوّلها إلى حل مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية. نكتب

$$ \begin{array}{l} D (s) = D _ {0} + D _ {1} s + D _ {2} s ^ {2} + D _ {3} s ^ {3} + D _ {4} s ^ {4} \\ N (s) = N _ {0} + N _ {1} s + N _ {2} s ^ {2} + N _ {3} s ^ {3} + N _ {4} s ^ {4} \tag {7.27} \\ \bar {D} (s) = \bar {D} _ {0} + \bar {D} _ {1} s + \bar {D} _ {2} s ^ {2} + \bar {D} _ {3} s ^ {3} \\ \bar {N} (s) = \bar {N} _ {0} + \bar {N} _ {1} s + \bar {N} _ {2} s ^ {2} + \bar {N} _ {3} s ^ {3} \\ \end{array} $$

حيث إن $ D_4 \neq 0 $ ويمكن أن تكون القيم الباقية $ D_i, N_i, \bar{D}_i $، و$ \bar{N}_i $ صفراً أو غير صفرية. لاحظ أن مؤشرَي $ D $ و$ N $ يقابلان أسّ $ s $. بالتعويض في (7.26) ومساواة معاملات $ s^k $ بالصفر، لـ $ k = 0, 1, \ldots, 7 $، نحصل على

$$ \mathbf {S m} := \left[ \begin{array}{l l l l l l l l l l} D _ {0} & N _ {0} & \vdots & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ D _ {1} & N _ {1} & \vdots & D _ {0} & N _ {0} & \vdots & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ D _ {2} & N _ {2} & \vdots & D _ {1} & N _ {1} & \vdots & D _ {0} & N _ {0} & \vdots & 0 & 0 \\ D _ {3} & N _ {3} & \vdots & D _ {2} & N _ {2} & \vdots & D _ {1} & N _ {1} & \vdots & D _ {0} & N _ {0} \\ D _ {4} & N _ {4} & \vdots & D _ {3} & N _ {3} & \vdots & D _ {2} & N _ {2} & \vdots & D _ {1} & N _ {1} \\ 0 & 0 & \vdots & D _ {4} & N _ {4} & \vdots & D _ {3} & N _ {3} & \vdots & D _ {2} & N _ {2} \\ 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & \vdots & D _ {4} & N _ {4} & \vdots & D _ {3} & N _ {3} \\ 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & \vdots & D _ {4} & N _ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} - \bar {N} _ {0} \\ \bar {D} _ {0} \\ \dots \\ - \bar {N} _ {1} \\ \bar {D} _ {1} \\ \dots \\ - \bar {N} _ {2} \\ \bar {D} _ {2} \\ \dots \\ - \bar {N} _ {3} \\ \bar {D} _ {3} \end{array} \right] = 0 \tag {7.28} $$

وهذه معادلة جبرية خطية متجانسة. العمود الكتلي الأول في $ \mathbf{S} $ يتكون من عمودين مُشكّلين من معاملات $ D(s) $ و$ N(s) $ مرتبة تصاعدياً وفق أس $ s $. العمود الكتلي الثاني هو العمود الكتلي الأول بعد إزاحته إلى أسفل بمقدار خانة واحدة. نكرر العملية حتى تصبح $ \mathbf{S} $ مصفوفة مربعة من الرتبة $ 2n = 8 $. المصفوفة المربعة $ \mathbf{S} $ تُسمّى محصّل سيلفستر (Sylvester resultant). إذا كان محصّل سيلفستر منفرداً (singular) فستوجد حلول غير صفرية في (7.28) (النظرية 3.3). وهذا يعني أن كثيرات حدود $ N(s) $ و$ \bar{D}(s) $ من الدرجة 3 أو أقل موجودة لتحقيق (7.26). وعليه فإن $ D(s) $ و$ N(s) $ غير أوليين فيما بينهما. وإذا كان محصّل سيلفستر غير منفرد (nonsingular)، فلا توجد حلول غير صفرية في (7.28) أو، بصورة مكافئة، لا توجد كثيرات حدود $ \bar{N}(s) $ و$ \bar{D}(s) $ من الدرجة 3 أو أقل لتحقيق (7.26). وبالتالي فإن $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليان فيما بينهما. وخلاصة القول إن $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليان فيما بينهما إذا وفقط إذا كان محصّل سيلفستر غير منفرد.

إذا كان محصّل سيلفستر منفرداً، يمكن اختزال $ N(s) / D(s) $ إلى

$$ \frac {N (s)}{D (s)} = \frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)} $$

حيث إن $ \bar{N}(s) $ و$ \bar{D}(s) $ أوليان فيما بينهما. نناقش كيفية الحصول على كسر أولي فيما بينه مباشرةً من (7.28). لنبحث عن الأعمدة المستقلة خطياً (linearly independent) في $ \mathbf{S} $ بالترتيب من اليسار إلى اليمين. نسمي الأعمدة المتكونة من $ D_i $ أعمدة $ D $ والمتكونة من $ N_i $ أعمدة $ N $. عندئذ يكون كل عمود من أعمدة $ D $ مستقلاً خطياً عن الأعمدة الواقعة على يساره (LHS). فعلاً، لأن $ D_4 \neq 0 $ فإن أول عمود من أعمدة $ D $ مستقل خطياً. والعمود الثاني من أعمدة $ D $ مستقل أيضاً عن الأعمدة الواقعة على يساره لأن قيم $ D_4 $ في الجهة اليسرى كلها صفر. وبالمضي قدماً نستنتج أن جميع أعمدة $ D $ مستقلة خطياً عن الأعمدة الواقعة على يسارها. من ناحية أخرى، يمكن أن يكون عمود $ N $ معتمداً أو مستقلاً عن الأعمدة الواقعة على يساره. وبسبب النمط التكراري في $ \mathbf{S} $، إذا أصبح عمود $ N $ معتمداً خطياً على الأعمدة الواقعة على يساره، فإن جميع أعمدة $ N $ التالية ستكون معتمدة خطياً على الأعمدة الواقعة على يسارها. ولتكن $ \mu $ عدد أعمدة $ N $ المستقلة خطياً في $ \mathbf{S} $. عندئذ يكون عمود $ N $ رقم $ (\mu + 1) $ هو أول عمود $ N $ يصبح معتمداً خطياً على الأعمدة الواقعة على يساره، وسنسمّيه عمود $ N $ المعتمد الرئيس (primary dependent $ N $-column). لنستخدم $ \mathbf{S}_1 $ للدلالة على المصفوفة الجزئية من $ \mathbf{S} $ التي تتكون من عمود $ N $ المعتمد الرئيس وجميع أعمدته الواقعة على يساره. أي إن $ \mathbf{S}_1 $ تتكون من $ (\mu + 1) $ عموداً من أعمدة $ D $ (وكلها مستقلة خطياً) و$ (\mu + 1) $ عموداً من أعمدة $ N $ (الأخير منها معتمد). وبالتالي فإن $ \mathbf{S}_1 $ تمتلك $ 2(\mu + 1) $ عموداً لكن رتبتها $ 2\mu + 1 $. وبعبارة أخرى، فإن لـ $ \mathbf{S}_1 $ بعداً صفرياً (nullity) مقداره 1، ومن ثم لها متجه صفري مستقل واحد. لاحظ أنه إذا كان $ \bar{\mathbf{n}} $ متجهًا صفرياً فإن $ \alpha \bar{\mathbf{n}} $ كذلك لأي $ \alpha $ غير صفرية. وعلى الرغم من إمكانية استخدام أي متجه صفري، سنستخدم حصراً المتجه الصفري الذي تكون آخر خانة فيه 1 لتطوير $ \bar{N}(s) $ و$ \bar{D}(s) $. وللتسهيل نسمي مثل هذا المتجه الصفري المتجه الصفري الأحادي (monic null vector). إذا استخدمنا دالة MATLAB ‏null لتوليد متجه صفري، فيجب قسمة المتجه الصفري على آخر عنصر فيه للحصول على المتجه الصفري الأحادي. ويوضح المثال التالي ذلك.

مثال 7.3.1 اعتبر

$$ \frac {N (s)}{D (s)} = \frac {6 s ^ {3} + s ^ {2} + 3 s - 2 0}{2 s ^ {4} + 7 s ^ {3} + 1 5 s ^ {2} + 1 6 s + 1 0} \tag {7.29} $$

لدينا $ n = 4 $ ومحصل سيلفستر $ \mathbf{S} $ أبعاده $ 8 \times 8 $. يكون الكسر أولياً فيما بينه إذا وفقط إذا كانت $ \mathbf{S} $ غير منفردة أو رتبتها 8. نستخدم MATLAB للتحقق من رتبة $ \mathbf{S} $. وبما أنه أسهل إدخال منقول $ \mathbf{S} $، نكتب

$$ \begin{array}{l} d = [ 1 0 1 6 1 5 7 2 ]; n = \left[ - 2 0 3 1 6 0 \right]; \\ s = [ d 0 0 0; n 0 0 0; 0 d 0 0; 0 n 0 0; \dots \\ 0 0 d 0; 0 0 n 0; 0 0 0 d; 0 0 0 n ] ^ {\prime}; \\ \end{array} $$

$$ m = r a n k (s) $$

الإجابة هي 6؛ وبالتالي فإن $ D(s) $ و$ N(s) $ غير أوليين فيما بينهما. وبما أن جميع أعمدة $ D $ الأربعة في $ \mathbf{S} $ مستقلة خطياً، نستنتج أن $ \mathbf{S} $ تحتوي فقط على عمودين مستقلين خطياً من أعمدة $ N $ وأن $ \mu = 2 $. العمود الثالث من أعمدة $ N $ هو عمود $ N $ المعتمد الرئيس، وجميع الأعمدة الواقعة على يساره مستقلة خطياً. لتكن $ \mathbf{S}_1 $ أول ستة أعمدة من $ \mathbf{S} $، وهي مصفوفة $ 8 \times 6 $. المصفوفة الجزئية $ \mathbf{S}_1 $ تحتوي ثلاثة أعمدة $ D $ (جميعها مستقلة خطياً)

وعمودين مستقلين خطياً من أعمدة $ N $، لذا فإن رتبتها 5 وبعدها الصفري 1. وبما أن جميع مدخلات الصف الأخير في $ \mathbf{S}_1 $ تساوي صفراً، يمكن تجاوزها عند تشكيل $ \mathbf{S}_1 $. نكتب

$$ \begin{array}{l} \text{s 1 = [ d 0 0 ; n 0 0 ; 0 d 0 ; 0 n 0 ; 0 0 d ; 0 0 n ] ^ {\prime}}; \\ \text{z=null(s1)} \end{array} $$

فنحصل على

$$ \text{ans} z = \begin{array}{c c c c c c} \left[ - 0. 6 8 6 0 \right. & - 0. 3 4 3 0 & 0. 5 1 4 5 & - 0. 3 4 3 0 & - 0. 0 0 0 0 \\ - 0. 1 7 1 5 & ] ^ {\prime} \end{array} $$

هذا المتجه الصفري لا يملك 1 كآخر عنصر. نقسمه على العنصر الأخير أو العنصر السادس من $ z $ بكتابة

$$ z b = z / z (6) $$

فنحصل على

$$ \text{ans} \quad z b = [ 4 2 - 3 2 0 1 ] ^ {\prime} $$

هذا المتجه الصفري الأحادي يساوي $ [-N_0\bar{D}_0 - N_1\bar{D}_1 - N_2\bar{D}_2]^{\prime} $. وبالتالي لدينا

$$ \bar {N} (s) = - 4 + 3 s + 0 \cdot s ^ {2}, \quad \bar {D} (s) = 2 + 2 s + s ^ {2} $$

$$ \frac {6 s ^ {3} + s ^ {2} + 3 s - 2 0}{2 s ^ {4} + 7 s ^ {3} + 1 5 s ^ {2} + 1 6 s + 1 0} = \frac {3 s - 4}{s ^ {2} + 2 s + 2} $$

وبما أن المتجه الصفري حُسب من أول عمود $ N $ معتمد خطياً، فإن $ \bar{N}(s) $ و$ \bar{D}(s) $ المحسوبتين لهما أصغر درجات ممكنة لتحقيق (7.26)، وبالتالي فهما أوليان فيما بينهما. وبهذا يكتمل اختزال $ N(s) / D(s) $ إلى كسر أولي فيما بينه.

يمكن تلخيص الإجراء السابق في النظرية التالية.

النظرية 7.4 

اعتبر $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $. نستخدم معاملات $ D(s) $ و$ N(s) $ لتشكيل محصّل سيلفستر $ S $ في (7.28) ونبحث عن أعمدته المستقلة خطياً بالترتيب من اليسار إلى اليمين. عندئذ نحصل على

$$ \deg \hat {g} (s) = \text{no. of linearly independent N-columns} =: \mu $$

ومعاملات الكسر الأولي فيما بينه $ \hat{g}(s) = \bar{N}(s) / \bar{D}(s) $ أو

$$ \left[ - \bar {N} _ {0} \bar {D} _ {0} - \bar {N} _ {1} \bar {D} _ {1} \dots - \bar {N} _ {\mu} \bar {D} _ {\mu} \right] ^ {\prime} $$

تساوي المتجه الصفري الأحادي للمصفوفة الجزئية التي تتكون من عمود $ N $ المعتمد الرئيس وجميع أعمدته المستقلة خطياً الواقعة على يساره في $ \mathbf{S} $.

نذكر أنه إذا رُتبت أعمدة $ D $ و$ N $ في $ S $ بترتيب تنازلي في أسس $ s $، فإنه ليس صحيحاً أن جميع أعمدة $ D $ مستقلة خطياً عن الأعمدة الواقعة على يسارها وأن درجة $ \hat{g}(s) $ تساوي عدد أعمدة $ N $ المستقلة خطياً. انظر المسألة 7.9. لذا من الضروري ترتيب أعمدة $ D $ و$ N $ في $ S $ وفق الأسس التصاعدية لـ $ s $.