7.4 تحقيق متوازن3 

    كل دالة تحويل لها عدد لا نهائي من التحقيقات الأدنى (minimal realizations). ومن بين هذه التحقيقات يهمنا معرفة أيها أنسب للتنفيذ العملي. إذا استخدمنا صيغة القابلية للتحكم أو القابلية للرصد، فإن مصفوفة A ومتجه b أو c تحتوي على كثير من العناصر الصفرية، وسيستخدم تنفيذها عدداً قليلاً من المكونات. غير أن أياً من الصيغتين شديد الحساسية لتغيرات المعلمات؛ لذا ينبغي تجنبهما إذا كانت الحساسية قضية مهمة. إذا كانت جميع القيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة $ \mathbf{A} $ متميزة، فيمكننا تحويل $ \mathbf{A} $ باستخدام تحويل تكافؤ (equivalence transformation) إلى صيغة قطرية (إذا كانت جميع القيم الذاتية حقيقية)، أو إلى الصيغة النمطية (modal form) التي نوقشت في القسم 4.4.1 (إذا كانت بعض القيم الذاتية مركبة). تحتوي الصيغة القطرية أو النمطية على عناصر صفرية كثيرة في $ \mathbf{A} $ وستستخدم عدداً قليلاً من المكونات في تنفيذها. والأهم أن الصيغتين القطرية والنمطية هما الأقل حساسية لتغيرات المعلمات بين جميع التحقيقات؛ لذا فهما مرشحان جيدان للتنفيذ العملي.

    نناقش فيما يلي تحقيقاً أدنى مختلفاً يُسمّى التحقيق المتوازن (balanced realization). غير أن النقاش ينطبق فقط على $ \mathbf{A} $ المستقرة (stable). اعتبر

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) \\ y (t) = \mathbf {c x} (t) \tag {7.30} \\ \end{array} $$

    ونفترض أن $ \mathbf{A} $ مستقرة أو أن جميع قيمها الذاتية لها أجزاء حقيقية سالبة. عندئذ تكون غراميان القابلية للتحكم (controllability Gramian) $ \mathbf{W}_c $ وغراميان القابلية للرصد (observability Gramian) $ \mathbf{W}_o $، على الترتيب، هما الحلول الوحيدة للمعادلتين

    $$ \mathbf {A} \mathbf {W} _ {c} + \mathbf {W} _ {c} \mathbf {A} ^ {\prime} = - \mathbf {b b} ^ {\prime} \tag {7.31} $$

    و

    $$ \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {W} _ {o} + \mathbf {W} _ {o} \mathbf {A} = - \mathbf {c} ^ {\prime} \mathbf {c} \tag {7.32} $$

    وهما موجبتان معرفة إذا كانت (7.30) قابلة للتحكم وقابلة للرصد.

    التحقيقات الأدنى المختلفة لدالة التحويل نفسها لها غراميان مختلفتان للقابلية للتحكم والقابلية للرصد. فمثلاً معادلة فضاء الحالة المأخوذة من المرجع 25،

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} - 1 & - 4 / \alpha \\ 4 \alpha & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\ 2 \alpha \end{array} \right] u (t) \tag {7.33} \\ y (t) = \left[ - 1 \quad 2 / \alpha \right] \mathbf {x} (t) \\ \end{array} $$

    لأي $ \alpha $ غير صفري، لها دالة تحويل $ \hat{g}(s) = (3s + 18)/(s^2 + 3s + 18) $ وهي قابلة للتحكم وقابلة للرصد. ويمكن حساب غراميان القابلية للتحكم والقابلية للرصد كما يلي

    $$ \mathbf {W} _ {c} = \left[ \begin{array}{l l} 0. 5 & 0 \\ 0 & \alpha^ {2} \end{array} \right] \quad \text{and} \quad \mathbf {W} _ {o} = \left[ \begin{array}{l l} 0. 5 & 0 \\ 0 & 1 / \alpha^ {2} \end{array} \right] \tag {7.34} $$

    نرى أن قيم $ \alpha $ المختلفة تعطي تحقيقات أدنى مختلفة وغراميان مختلفتين للقابلية للتحكم والقابلية للرصد. وعلى الرغم من تغير الغراميان، فإن حاصل ضربهما يبقى ثابتاً ويساوي $ \operatorname{diag}(0.25,1) $ لجميع قيم $ \alpha $.

    النظرية 7.5 

    لتكن $ (\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c}) $ و$ (\bar{\mathbf{A}},\bar{\mathbf{b}},\bar{\mathbf{c}}) $ تحقيقين أدنى ومتكافئين، ولتكن $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $ و$ \bar{\mathbf{W}}_c\bar{\mathbf{W}}_o $ حاصلَي ضرب غراميان القابلية للتحكم والقابلية للرصد. عندئذ تكون $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $ و$ \bar{\mathbf{W}}_c\bar{\mathbf{W}}_o $ متشابهتين (similar) وقيمهما الذاتية كلها حقيقية وموجبة.

    البرهان: لتكن $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ حيث إن $ \mathbf{P} $ مصفوفة ثابتة غير منفردة. عندئذ لدينا

    $$ \bar {\mathbf {A}} = \mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^ {- 1}, \quad \bar {\mathbf {b}} = \mathbf {P} \mathbf {b}, \quad \bar {\mathbf {c}} = \mathbf {c} \mathbf {P} ^ {- 1} \tag {7.35} $$

    غراميان القابلية للتحكم $ \bar{\mathbf{W}}_c $ وغراميان القابلية للرصد $ \bar{\mathbf{W}}_o $ للمعادلة $ (\bar{\mathbf{A}},\bar{\mathbf{b}},\bar{\mathbf{c}}) $ هما، على الترتيب، الحلول الوحيدة للمعادلتين

    $$ \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathbf {W}} _ {c} + \bar {\mathbf {W}} _ {c} \bar {\mathbf {A}} ^ {\prime} = - \bar {\mathbf {b}} \bar {\mathbf {b}} ^ {\prime} \tag {7.36} $$

    و

    $$ \bar {\mathbf {A}} ^ {\prime} \bar {\mathbf {W}} _ {o} + \bar {\mathbf {W}} _ {o} \bar {\mathbf {A}} = - \bar {\mathbf {c}} ^ {\prime} \bar {\mathbf {c}} \tag {7.37} $$

    بالتعويض عن $ \bar{\mathbf{A}} = \mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{P}^{-1} $ و$ \bar{\mathbf{b}} = \mathbf{P}\mathbf{b} $ في (7.36) نحصل على

    $$ \mathbf {P A P} ^ {- 1} \bar {\mathbf {W}} _ {c} + \bar {\mathbf {W}} _ {c} \left(\mathbf {P} ^ {\prime}\right) ^ {- 1} \mathbf {A} ^ {\prime} \mathbf {P} ^ {\prime} = - \mathbf {P b b} ^ {\prime} \mathbf {P} ^ {\prime} $$

    مما يؤدي إلى

    $$ \mathbf {A} \mathbf {P} ^ {- 1} \bar {\mathbf {W}} _ {c} (\mathbf {P} ^ {\prime}) ^ {- 1} + \mathbf {P} ^ {- 1} \bar {\mathbf {W}} _ {c} (\mathbf {P} ^ {\prime}) ^ {- 1} \mathbf {A} ^ {\prime} = - \mathbf {b b} ^ {\prime} $$

    وبمقارنة ذلك مع (7.31) نحصل على

    $$ \mathbf {W} _ {c} = \mathbf {P} ^ {- 1} \bar {\mathbf {W}} _ {c} \left(\mathbf {P} ^ {\prime}\right) ^ {- 1} \text{or} \bar {\mathbf {W}} _ {c} = \mathbf {P} \mathbf {W} _ {c} \mathbf {P} ^ {\prime} \tag {7.38} $$

    وبالمثل يمكننا إظهار

    $$ \mathbf {W} _ {o} = \mathbf {P} ^ {\prime} \bar {\mathbf {W}} _ {o} \mathbf {P} \text{or} \bar {\mathbf {W}} _ {o} = \left(\mathbf {P} ^ {\prime}\right) ^ {- 1} \mathbf {W} _ {o} \mathbf {P} ^ {- 1} \tag {7.39} $$

    ومن ثم نحصل على

    $$ \mathbf {W} _ {c} \mathbf {W} _ {o} = \mathbf {P} ^ {- 1} \bar {\mathbf {W}} _ {c} \left(\mathbf {P} ^ {\prime}\right) ^ {- 1} \mathbf {P} ^ {\prime} \bar {\mathbf {W}} _ {o} \mathbf {P} = \mathbf {P} ^ {- 1} \bar {\mathbf {W}} _ {c} \bar {\mathbf {W}} _ {o} \mathbf {P} $$

    وهذا يبيّن أن جميع $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $ متشابهة وبالتالي لها مجموعة القيم الذاتية نفسها.

    نبيّن الآن أن جميع القيم الذاتية لـ $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $ حقيقية وموجبة. لاحظ أن كلا $ \mathbf{W}_c $ و$ \mathbf{W}_o $ متناظرتان (symmetric)، لكن حاصل ضربهما قد لا يكون متناظراً. لذلك لا تنطبق النظرية 3.6 مباشرة على $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $. نطبق الآن النظرية 3.6 على $ \mathbf{W}_c $:

    $$ \mathbf {W} _ {c} = \mathbf {Q} ^ {\prime} \mathbf {D} \mathbf {Q} = \mathbf {Q} ^ {\prime} \mathbf {D} ^ {1 / 2} \mathbf {D} ^ {1 / 2} \mathbf {Q} =: \mathbf {R} ^ {\prime} \mathbf {R} \tag {7.40} $$

    حيث إن $ \mathbf{D} $ مصفوفة قطرية تحوي القيم الذاتية لـ $ \mathbf{W}_c $ على القطر. وبما أن $ \mathbf{W}_c $ متناظرة وموجبة معرفة، فإن جميع قيمها الذاتية حقيقية وموجبة. وبالتالي يمكننا كتابة $ \mathbf{D} $ على الصورة $ \mathbf{D}^{1/2}\mathbf{D}^{1/2} $ حيث إن $ \mathbf{D}^{1/2} $ مصفوفة قطرية تحوي الجذور التربيعية الموجبة للعناصر القطرية في $ \mathbf{D} $ على قطرها. لاحظ أن $ \mathbf{Q} $ متعامدة أو أن $ \mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}' $. المصفوفة $ \mathbf{R} = \mathbf{D}^{1/2}\mathbf{Q} $ ليست متعامدة لكنها غير منفردة.

    اعتبر $ \mathbf{R}\mathbf{W}_o\mathbf{R}' $؛ فهي بوضوح متناظرة وموجبة معرفة، وبالتالي فقيمها الذاتية كلها حقيقية وموجبة. باستخدام (7.40) و(3.66) نحصل على

    $$ \det \left(\sigma^ {2} \mathbf {I} - \mathbf {W} _ {c} \mathbf {W} _ {o}\right) = \det \left(\sigma^ {2} \mathbf {I} - \mathbf {R} ^ {\prime} \mathbf {R} \mathbf {W} _ {o}\right) = \det \left(\sigma^ {2} \mathbf {I} - \mathbf {R} \mathbf {W} _ {o} \mathbf {R} ^ {\prime}\right) \tag {7.41} $$

    مما يعني أن $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $ و$ \mathbf{R}\mathbf{W}_o\mathbf{R}' $ لهما مجموعة القيم الذاتية نفسها. وبالتالي نستنتج أن جميع القيم الذاتية لـ $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $ حقيقية وموجبة. Q.E.D.

    لنعرّف

    $$ \Sigma = \operatorname {d i a g} \left(\sigma_ {1}, \sigma_ {2}, \dots , \sigma_ {n}\right) \tag {7.42} $$

    حيث إن $ \sigma_{i} $ هي الجذور التربيعية الموجبة للقيم الذاتية لـ $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $. وللتسهيل نرتبها ترتيباً تنازلياً وفق القيمة المطلقة أو

    $$ \sigma_ {1} \geq \sigma_ {2} \geq \dots \geq \sigma_ {n} > 0 $$

    تُسمّى هذه القيم الذاتية القيمَ المفردة لهانكل (Hankel singular values). حاصل الضرب $ \mathbf{W}_c\mathbf{W}_o $ لأي تحقيق أدنى مشابه لـ $ \Sigma^2 $.

    النظرية 7.6 

    لأي معادلة فضاء حالة أدنى ذات بعد $ n $ (A, b, c)، يوجد تحويل تكافؤ $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ بحيث يكون لغراميان القابلية للتحكم $ \bar{\mathbf{W}}_c $ وغراميان القابلية للرصد $ \bar{\mathbf{W}}_o $ لمعادلة فضاء الحالة المكافئة الخاصية

    $$ \bar {\mathbf {W}} _ {c} = \bar {\mathbf {W}} _ {o} = \boldsymbol {\Sigma} \tag {7.43} $$

    ويُسمّى ذلك تحقيقاً متوازناً (balanced realization).

    البرهان: نحسب أولاً $ \mathbf{W}_c = \mathbf{R}'\mathbf{R} $ كما في (7.40). ثم نطبّق تحليل القيم المفردة (singular value decomposition) على $ \mathbf{R}\mathbf{W}_o\mathbf{R}' $ لنحصل على

    $$ \mathbf {R} \mathbf {W} _ {\omega} \mathbf {R} ^ {\prime} = \mathbf {U} \boldsymbol {\Sigma} ^ {2} \mathbf {U} ^ {\prime} $$

    حيث إن $ \mathbf{U} $ متعامدة أو أن $ \mathbf{U}'\mathbf{U} = \mathbf{I} $. لتكن

    $$ \mathbf {P} ^ {- 1} = \mathbf {R} ^ {\prime} \mathbf {U} \Sigma^ {- 1 / 2} \text{or} \mathbf {P} = \Sigma^ {1 / 2} \mathbf {U} ^ {\prime} (\mathbf {R} ^ {\prime}) ^ {- 1} $$

    عندئذ فإن (7.38) و$ \mathbf{W}_c = \mathbf{R}'\mathbf{R} $ تعطي

    $$ \bar {\mathbf {W}} _ {c} = \boldsymbol {\Sigma} ^ {1 / 2} \mathbf {U} ^ {\prime} \left(\mathbf {R} ^ {\prime}\right) ^ {- 1} \mathbf {W} _ {c} \mathbf {R} ^ {- 1} \mathbf {U} \boldsymbol {\Sigma} ^ {1 / 2} = \boldsymbol {\Sigma} $$

    والعلاقتان (7.39) و$ \mathbf{R}\mathbf{W}_0\mathbf{R}' = \mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}^2\mathbf{U}' $ تعطيان

    $$ \bar {\mathbf {W}} _ {o} = \Sigma^ {- 1 / 2} \mathbf {U} ^ {\prime} \mathbf {R} \mathbf {W} _ {o} \mathbf {R} ^ {\prime} \mathbf {U} \Sigma^ {- 1 / 2} = \Sigma $$

    وهذا يثبت النظرية.

    Q.E.D.

    باختيار $ \mathbf{P} $ مختلف يمكن إيجاد معادلة حالة مكافئة تحقق $ \bar{\mathbf{W}}_c = \mathbf{I} $ و$ \bar{\mathbf{W}}_o = \boldsymbol{\Sigma}^2 $. وتُسمّى هذه المعادلة تحقيقاً ذا دخل مُطَبَّع (input-normal realization). وبالمثل يمكن الحصول على معادلة حالة تحقق $ \bar{\mathbf{W}}_c = \boldsymbol{\Sigma}^2 $ و$ \bar{\mathbf{W}}_o = \mathbf{I} $ وتُسمّى تحقيقاً ذا خرج مُطَبَّع (output-normal realization). يمكن استخدام التحقيق المتوازن في النظرية 7.5 في اختزال النظام (system reduction). وعلى نحو أكثر تحديداً، افترض أن

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} _ {1} (t) \\ \dot {\mathbf {x}} _ {2} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {A} _ {1 1} & \mathbf {A} _ {1 2} \\ \mathbf {A} _ {2 1} & \mathbf {A} _ {2 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} _ {1} (t) \\ \mathbf {x} _ {2} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \mathbf {b} _ {1} \\ \mathbf {b} _ {2} \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {c} _ {1} & \mathbf {c} _ {2} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {7.44} \\ \end{array} $$

    هو تحقيق أدنى متوازن لدالة $ \hat{g}(s) $ مستقرة مع

    $$ \mathbf {W} _ {c} = \mathbf {W} _ {o} = \operatorname {d i a g} \left(\Sigma_ {1}, \Sigma_ {2}\right) $$

    حيث تُقسّم مصفوفات $ A $ و$ b $ و$ c $ وفق ترتيب $ \Sigma_{i} $. إذا كانت القيم المفردة لهانكل في $ \Sigma_{1} $ و$ \Sigma_{2} $ منفصلة، فإن معادلة فضاء الحالة المختزلة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} _ {1} (t) = \mathbf {A} _ {1 1} \mathbf {x} _ {1} (t) + \mathbf {b} _ {1} u (t) \tag {7.45} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {c} _ {1} \mathbf {x} _ {1} (t) \\ \end{array} $$

    متوازنة و$ \mathbf{A}_{11} $ مستقرة. إذا كانت القيم المفردة في $ \Sigma_{2} $ أصغر بكثير من تلك في $ \Sigma_{1} $، فإن دالة التحويل في (7.45) ستكون قريبة من $ \hat{g}(s) $. انظر المرجع 25.

    ستحوّل دالة MATLAB ‏balreal الثلاثي $ (\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c}) $ إلى معادلة فضاء حالة متوازنة. ويمكن الحصول على المعادلة المختزلة في (7.45) باستخدام ‏balred.