7.5 تحقيقات من معاملات ماركوف (Markov parameters)
اعتبر الدالة الكسرية المناسبة تماماً (strictly proper rational function)
$$ \hat {g} (s) = \frac {\beta_ {1} s ^ {n - 1} + \beta_ {2} s ^ {n - 2} + \cdots + \beta_ {n - 1} s + \beta_ {n}}{s ^ {n} + \alpha_ {1} s ^ {n - 1} + \alpha_ {2} s ^ {s - 2} + \cdots + \alpha_ {n - 1} s + \alpha_ {n}} \tag {7.46} $$
نوسّعها إلى متسلسلة قوى لا نهائية كما يلي
$$ \hat {g} (s) = h (0) + h (1) s ^ {- 1} + h (2) s ^ {- 2} + \dots \tag {7.47} $$
إذا كانت $ \hat{g}(s) $ مناسبة تماماً كما افترضنا في (7.46)، فإن $ h(0) = 0 $. المعاملات $ h(m) $ حيث $ m = 1, 2, \ldots $ تُسمّى معاملات ماركوف (Markov parameters). لتكن $ g(t) $ تحويل لابلاس العكسي (inverse Laplace transform) لـ $ \hat{g}(s) $ أو، بشكل مكافئ، الاستجابة النبضية (impulse response) للنظام. عندئذ نحصل على
$$ h (m) = \left. \frac {d ^ {m - 1}}{d t ^ {m - 1}} g (t) \right| _ {t = 0} $$
لـ $ m = 1, 2, 3, \ldots $. هذه الطريقة لحساب معاملات ماركوف غير عملية لأنها تتطلب اشتقاقاً متكرراً والاشتقاقات حساسة للضوضاء. بمساواة (7.46) و(7.47) نحصل على
$$ \begin{array}{l} \beta_ {1} s ^ {n - 1} + \beta_ {2} s ^ {n - 2} + \dots + \beta_ {n} \\ = \left(s ^ {n} + \alpha_ {1} s ^ {n - 1} + \alpha_ {2} s ^ {n - 2} + \dots + \alpha_ {n}\right) \left(h (1) s ^ {- 1} + h (2) s ^ {- 2} + \dots\right) \\ \end{array} $$
ومن هذه المعادلة يمكن الحصول على معاملات ماركوف بطريقة تراجعية كما يلي
$$ \begin{array}{l} h (1) = \beta_ {1} \\ h (2) = - \alpha_ {1} h (1) + \beta_ {2} \\ h (3) = - \alpha_ {1} h (2) - \alpha_ {2} h (1) + \beta_ {3} \\ \end{array} $$
„,- „,-
$$ h (n) = - \alpha_ {1} h (n - 1) - \alpha_ {2} h (n - 2) - \dots - \alpha_ {n - 1} h (1) + \beta_ {n} \tag {7.48} $$
$$ \begin{array}{l} h (m) = - \alpha_ {1} h (m - 1) - \alpha_ {2} h (m - 2) - \dots - \alpha_ {n - 1} h (m - n + 1) \\ - \alpha_ {n} h (m - n) \tag {7.49} \\ \end{array} $$
لـ $ m = n + 1, n + 2, \ldots $.
نستخدم الآن معاملات ماركوف لتشكيل المصفوفة $ \alpha \times \beta $
$$ \mathbf {T} (\alpha , \beta) = \left[ \begin{array}{l l l l l} h (1) & h (2) & h (3) & \dots & h (\beta) \\ h (2) & h (3) & h (4) & \dots & h (\beta + 1) \\ h (3) & h (4) & h (5) & \dots & h (\beta + 2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h (\alpha) & h (\alpha + 1) & h (\alpha + 2) & \dots & h (\alpha + \beta - 1) \end{array} \right] \tag {7.50} $$
وتُسمّى مصفوفة هانكل (Hankel matrix). من المهم الإشارة إلى أنه حتى لو كان $ h(0) \neq 0 $ فإن $ h(0) $ لا يظهر في مصفوفة هانكل.
النظرية 7.7
لدالة كسرية مناسبة تماماً $ \hat{g}(s) $ درجة $ n $ إذا وفقط إذا
$$ \rho \mathbf {T} (n, n) = \rho \mathbf {T} (n + k, n + l) = n \quad \text{for every} k, l = 1, 2, \dots \tag {7.51} $$
حيث تشير $ \rho $ إلى الرتبة (rank).
البرهان: نبيّن أولاً أنه إذا كان $ \deg \hat{g}(s) = n $ فإن $ \rho \mathbf{T}(n,n) = \rho \mathbf{T}(n + 1,n) = \rho \mathbf{T}(\infty,n) $. إذا كان $ \deg \hat{g}(s) = n $ فإن (7.49) صحيحة و$ n $ هو أصغر عدد صحيح يحقق هذه الخاصية. وبسبب (7.49) يمكن كتابة الصف $ (n + 1) $ من $ \mathbf{T}(n + 1,n) $ بوصفه توليفة خطية من الصفوف $ n $ الأولى. وعليه نحصل على $ \rho \mathbf{T}(n,n) = \rho \mathbf{T}(n + 1,n) $. ومرة أخرى بسبب (7.49) يعتمد الصف $ (n + 2) $ من $ \mathbf{T}(n + 2,n) $ على صفوفه $ n $ السابقة، وبالتالي على الصفوف $ n $ الأولى. وبالمضي قدماً نستنتج $ \rho \mathbf{T}(n,n) = \rho \mathbf{T}(\infty,n) $. والآن ندّعي أن $ \rho \mathbf{T}(\infty,n) = n $. لو لم يكن الأمر كذلك لوجد عدد صحيح $ n < n $ يحقق الخاصية (7.49). وهذا يناقض فرضية أن $ \deg \hat{g}(s) = n $. وبالتالي لدينا $ \rho \mathbf{T}(n,n) = \rho \mathbf{T}(\infty,n) = n $. وبإجراء (7.49) على أعمدة $ \mathbf{T} $ نحصل على (7.51).
نبيّن الآن أنه إذا تحققت (7.51) فإن $ \hat{g}(s) = h(1)s^{-1} + h(2)s^{-2} + \dots $ يمكن التعبير عنها كدالة كسرية مناسبة تماماً من الدرجة $ n $. من شرط $ \rho \mathbf{T}(n+1,\infty) = \rho \mathbf{T}(n,\infty) = n $ يمكننا حساب $ \{\alpha_i, i=1,2,\ldots,n\} $ لتحقيق (7.49). ثم نستخدم (7.48) لحساب $ \{\beta_i, i=1,2,\ldots,n\} $. ومن ثم نحصل على
$$ \begin{array}{l} \hat {g} (s) = h (1) s ^ {- 1} + h (2) s ^ {- 2} + h (3) s ^ {- 3} \dots \\ = \frac {\beta_ {1} s ^ {n - 1} + \beta_ {2} s ^ {n - 2} + \cdots + \beta_ {n - 1} s + \beta_ {n}}{s ^ {n} + \alpha_ {1} s ^ {n - 1} + \alpha_ {2} s ^ {s - 2} + \cdots + \alpha_ {n - 1} s + \alpha_ {n}} \\ \end{array} $$
وبما أن $ n $ هو أصغر عدد صحيح يحقق الخاصية في (7.51)، فإن $ \deg \hat{g}(s) = n $. وهذا يكمّل برهان النظرية. Q.E.D.
بعد هذه المقدمة، نحن مستعدون لمناقشة مسألة التحقيق. اعتبر دالة تحويل مناسبة تماماً $ \hat{g}(s) $ معبراً عنها على الصورة
$$ \hat {g} (s) = h (1) s ^ {- 1} + h (2) s ^ {- 2} + h (3) s ^ {- 3} + \dots $$
إذا كان الثلاثي $ (\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c}) $ تحقيقاً لـ $ \hat{g} (s) $، فإن
$$ \hat {g} (s) = \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {b} = \mathbf {c} [ s (\mathbf {I} - s ^ {- 1} \mathbf {A}) ] ^ {- 1} \mathbf {b} $$
والتي تصبح، باستخدام (3.57)،
$$ \hat {g} (s) = \mathbf {c b s} ^ {- 1} + \mathbf {c A b s} ^ {- 2} + \mathbf {c A} ^ {2} \mathbf {b s} ^ {- 3} + \dots $$
وعليه نستنتج أن $ (\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c}) $ تحقيق لـ $ \hat{g} (s) $ إذا وفقط إذا
$$ h (m) = \mathbf {c A} ^ {m - 1} \mathbf {b} \quad \text{for} m = 1, 2, \dots \tag {7.52} $$
بالتعويض من (7.52) في مصفوفة هانكل $ \mathbf{T}(n,n) $ نحصل على
$$ \mathbf {T} (n, n) = \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {c b} & \mathbf {c A b} & \mathbf {c A ^ {2}} \mathbf {b} & \dots & \mathbf {c A} ^ {n - 1} \mathbf {b} \\ \mathbf {c A b} & \mathbf {c A ^ {2}} \mathbf {b} & \mathbf {c A ^ {3}} \mathbf {b} & \dots & \mathbf {c A} ^ {n} \mathbf {b} \\ \mathbf {c A ^ {2}} \mathbf {b} & \mathbf {c A ^ {3}} \mathbf {b} & \mathbf {c A ^ {4}} \mathbf {b} & \dots & \mathbf {c A} ^ {n + 1} \mathbf {b} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf {c A} ^ {n - 1} \mathbf {b} & \mathbf {c A ^ {n}} \mathbf {b} & \mathbf {c A} ^ {n + 1} \mathbf {b} & \dots & \mathbf {c A} ^ {2 (n - 1)} \mathbf {b} \end{array} \right] $$
والتي تشير، كما في (7.21)، إلى
$$ \mathbf {T} (n, n) = \mathcal {O C} \tag {7.53} $$
حيث إن $ \mathcal{O} $ و$ \mathcal{C} $ هما، على الترتيب، مصفوفتا القابلية للرصد والقابلية للتحكم بأبعاد $ n \times n $ للثلاثي $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) $. لنعرّف
$$ \tilde {\mathbf {T}} (n, n) = \left[ \begin{array}{l l l l l} h (2) & h (3) & h (4) & \dots & h (n + 1) \\ h (3) & h (4) & h (5) & \dots & h (n + 2) \\ h (4) & h (5) & h (6) & \dots & h (n + 3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h (n + 1) & h (n + 2) & h (n + 3) & \dots & h (2 n) \end{array} \right] \tag {7.54} $$
وهي المصفوفة الجزئية من $ \mathbf{T}(n + 1,n) $ بعد حذف الصف الأول أو المصفوفة الجزئية من $ \mathbf{T}(n,n + 1) $ بعد حذف العمود الأول. عندئذ يمكننا، كما في (7.53)، إظهار
$$ \tilde {\mathbf {T}} (n, n) = \mathcal {O} \mathbf {A} \mathcal {C} \tag {7.55} $$
وباستخدام (7.53) و(7.55) يمكننا الحصول على تحقيقات مختلفة عديدة. سنناقش هنا فقط تحقيقاً بصيغة مرافقة وآخر بصيغة متوازنة.
هناك طرق عديدة لتحليل $ \mathbf{T}(n,n) $ إلى $ \mathcal{OC} $. أبسطها اختيار $ \mathcal{O} = \mathbf{I} $ أو $ \mathcal{C} = \mathbf{I} $. إذا اخترنا $ \mathcal{O} = \mathbf{I} $ فإن (7.53) و(7.55) تعطيان $ \mathcal{C} = \mathbf{T}(n,n) $ و$ \mathbf{A} = \tilde{\mathbf{T}}(n,n)\mathbf{T}^{-1}(n,n) $. معادلة فضاء الحالة الموافقة لـ $ \mathcal{O} = \mathbf{I} $ و$ \mathcal{C} = \mathbf{T}(n,n) $ و$ \mathbf{A} = \tilde{\mathbf{T}}(n,n)\mathbf{T}^{-1}(n,n) $ هي
$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ - \alpha_ {1} & - \alpha_ {2} & - \alpha_ {3} & \dots & - \alpha_ {n - 1} & - \alpha_ {n} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} h (1) \\ h (2) \\ \vdots \\ h (n - 1) \\ h (n) \end{array} \right] u (t) \tag {7.56} $$
$$ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) $$
في الواقع، الصف الأول من $ \mathcal{O} = \mathbf{I} $ والعمود الأول من $ \mathcal{C} = \mathbf{T}(n,n) $ يعطيان $ \mathbf{c} $ و$ \mathbf{b} $ في (7.56). وبدلاً من إظهار $ \mathbf{A} = \tilde{\mathbf{T}}(n,n)\mathbf{T}^{-1}(n,n) $ نظهر
$$ \mathbf {A T} (n, n) = \tilde {\mathbf {T}} (n, n) \tag {7.57} $$
وباستخدام خاصية الإزاحة (shifting property) لمصفوفة الصيغة المرافقة في (7.56) يمكننا التحقق بسهولة من
$$ \mathbf {A} \left[ \begin{array}{c} h (1) \\ h (2) \\ \vdots \\ h (n) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} h (2) \\ h (3) \\ \vdots \\ h (n + 1) \end{array} \right], $$
$$ \mathbf {A} \left[ \begin{array}{c} h (2) \\ h (3) \\ \vdots \\ h (n + 1) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} h (3) \\ h (4) \\ \vdots \\ h (n + 2) \end{array} \right], \dots (7. 5 8) $$
نرى أن معاملات ماركوف لعمود ما تُزاح إلى أعلى بمقدار موضع واحد إذا ضُرب العمود مسبقاً بـ $ \mathbf{A} $. باستخدام هذه الخاصية يمكننا إثبات (7.57) بسهولة. وبالتالي فإن $ \mathcal{O} = \mathbf{I} $ و$ \mathcal{C} = \mathbf{T}(n,n) $ و$ \mathbf{A} = \bar{\mathbf{T}}(n,n)\mathbf{T}^{-1}(n,n) $ تولّد التحقيق في (7.56). وهو تحقيق بصيغة مرافقة. نستخدم الآن (7.52) لإظهار أن (7.56) بالفعل تحقيق. وبسبب شكل $ \mathbf{c} $ فإن $ \mathbf{cA}^m\mathbf{b} $ تساوي ببساطة العنصر العلوي في $ \mathbf{A}^m\mathbf{b} $ أو
$$ \mathbf {c b} = h (1), \quad \mathbf {c A b} = h (2), \quad \mathbf {c A} ^ {2} \mathbf {b} = h (3), \dots $$
وبالتالي فإن (7.56) تحقيق لـ $ \hat{g}(s) $. معادلة فضاء الحالة قابلة للرصد دائماً لأن $ \mathcal{O} = \mathbf{I} $ ذات رتبة كاملة. وهي قابلة للتحكم إذا كانت $ \mathcal{C} = \mathbf{T}(n, n) $ ذات رتبة $ n $.
مثال 7.5.1 اعتبر
$$ \begin{array}{l} \hat {g} (s) = \frac {4 s ^ {2} - 2 s - 6}{2 s ^ {4} + 2 s ^ {3} + 2 s ^ {2} + 3 s + 1} \\ = 0 \cdot s ^ {- 1} + 2 s ^ {- 2} - 3 s ^ {- 3} - 2 s ^ {- 4} + 2 s ^ {- 5} + 3. 5 s ^ {- 6} + \dots \tag {7.59} \\ \end{array} $$
نشكل $ \mathbf{T}(4,4) $ ونحسب رتبتها. الرتبة تساوي 3؛ وبالتالي فإن $ \hat{g} (s) $ في (7.59) درجتها 3، وللبسط والمقام عامل مشترك من الدرجة 1. لا حاجة إلى حذف العامل المشترك أولاً في التوسع في (7.59). ومن الاشتقاق السابق نحصل على
$$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{r r r} 2 & - 3 & - 2 \\ - 3 & - 2 & 2 \\ - 2 & 2 & 3. 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 2 & - 3 \\ 2 & - 3 & - 2 \\ - 3 & - 2 & 2 \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{r r r} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 0. 5 & - 1 & 0 \end{array} \right] \tag {7.60} $$
و
$$ \mathbf {b} = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 2 & - 3 \end{array} \right] ^ {\prime}, \quad \mathbf {c} = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right] $$
الثلاثي $ (\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c}) $ هو تحقيق أدنى لـ $ \hat{g} (s) $ في (7.59).
نذكر أن المصفوفة $ \mathbf{A} $ في (7.60) يمكن الحصول عليها دون حساب $ \tilde{\mathbf{T}}(n,n)\mathbf{T}^{-1}(n,n) $. باستخدام (7.49) يمكننا إظهار
$$ \mathbf {T} (3, 4) \mathbf {a} := \left[ \begin{array}{r r r r} 0 & 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & - 3 & - 2 & 2 \\ - 3 & - 2 & 2 & 3. 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \alpha_ {3} \\ \alpha_ {2} \\ \alpha_ {1} \\ 1 \end{array} \right] = \mathbf {0} $$
وبالتالي فإن $ \mathbf{a} $ متجه صفري لـ $ \mathbf{T}(3,4) $. دالة MATLAB
$$ t = \left[ \begin{array}{l l l l l l l l l l} 0 & 2 & - 3 & - 2; 2 & - 3 & - 2 & 2 & - 3 & - 2 & 2 & 3. 5 \end{array} \right]; a = n u l l (t) $$
تعطي $ a = [0.3333 \quad 0.6667 \quad -0.0000 \quad 0.6667]' $. نطبع العنصر الأخير من $ a $ إلى 1 بكتابة $ a / a $ (4) فنحصل على $ [0.5 \quad 1 \quad -0 \quad 1]' $. العناصر الثلاثة الأولى، مع عكس الإشارة، هي الصف الأخير من $ A $.
نناقش الآن تحليلاً مختلفاً لـ $ \mathbf{T}(n,n) = \mathcal{OC} $ يعطي تحقيقاً يحقق الخاصية
$$ \mathcal {C C} ^ {\prime} = \mathcal {O} ^ {\prime} \mathcal {O} $$
نستخدم أولاً تحليل القيم المفردة (singular-value decomposition) لكتابة $ \mathbf{T}(n,n) $ على الصورة
$$ \mathbf {T} (n, n) = \mathbf {K} \Lambda \mathbf {L} ^ {\prime} = \mathbf {K} \Lambda^ {1 / 2} \Lambda^ {1 / 2} \mathbf {L} ^ {\prime} \tag {7.61} $$
حيث إن $ \mathbf{K} $ و$ \mathbf{L} $ مصفوفتان متعامدتان و$ \Lambda^{1/2} $ مصفوفة قطرية تحوي القيم المفردة لـ $ \mathbf{T}(n,n) $ على القطر. لنختر
$$ \mathcal {O} = \mathrm {K} \Lambda^ {1 / 2} \quad \text{and} \quad \mathcal {C} = \Lambda^ {1 / 2} \mathrm {L} ^ {\prime} \tag {7.62} $$
فنحصل على
$$ \mathcal {O} ^ {- 1} = \Lambda^ {- 1 / 2} \mathbf {K} ^ {\prime} \quad \text{and} \quad \mathcal {C} ^ {- 1} = \mathbf {L} \Lambda^ {- 1 / 2} \tag {7.63} $$
لهذا الاختيار من $ \mathcal{C} $ و$ \mathcal{O} $، فإن ثلاثية المصفوفات
$$ \mathbf {A} = \mathcal {O} ^ {- 1} \tilde {\mathbf {T}} (n, n) \mathcal {C} ^ {- 1} \tag {7.64} $$
$$ \mathbf {b} = \text{first column of} \mathcal {C} \tag {7.65} $$
$$ \mathbf {c} = \text{first row of} \mathcal {O} \tag {7.66} $$
تشكّل تحقيقاً أدنى لـ $ \hat{g} (s) $. ولأجل هذا التحقيق نحصل على
$$ \mathcal {C C} ^ {\prime} = \Lambda^ {1 / 2} \mathbf {L} ^ {\prime} \mathbf {L} \Lambda^ {1 / 2} = \Lambda $$
و
$$ \mathcal {O} ^ {\prime} \mathcal {O} = \Lambda^ {1 / 2} \mathbf {K} ^ {\prime} \mathbf {K} \Lambda^ {1 / 2} = \Lambda = \mathcal {C C} ^ {\prime} $$
ولذلك يُسمّى تحقيقاً متوازناً. هذا التحقيق المتوازن يختلف عن التحقيق المتوازن الذي نوقش في القسم 7.4. ولا تتضح العلاقات بينهما.
مثال 7.5.2 اعتبر دالة التحويل في المثال 7.5.1. سنجد الآن تحقيقاً متوازناً من مصفوفات هانكل. نكتب
$\begin{array}{l}\mathrm{t = [02 - 3;2 - 3 - 2; - 3 - 22];tt = [2 - 3 - 2; - 3 - 22; - 2223.5]};\\ \mathrm{[k,s,1] = svd(t);} \end{array}$ $\mathbf{s}1 = \mathbf{sqrt}(\mathbf{s})$ $\mathrm{O = k^{*}s1,C = s1^{*}l^{\prime}}$ $\mathbf{a} = \mathbf{inv}(\mathbf{O})^{*}\mathbf{tt}^{*}\mathbf{inv}(\mathbf{C}),$ $\mathbf{b} = [\mathbf{C}(1,1);\mathbf{C}(2,1);\mathbf{C}(3,1)],\mathbf{c} = [\mathbf{O}(1,1)\quad \mathbf{O}(1,2)\quad \mathbf{O}(1,3)]$
فينتج التحقيق المتوازن التالي
$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} 0. 4 0 0 3 & - 1. 0 0 2 4 & 0. 4 8 0 5 \\ 1. 0 0 2 4 & - 0. 3 1 2 1 & - 0. 3 2 0 9 \\ - 0. 4 8 0 5 & - 0. 3 2 0 9 & - 0. 0 8 8 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{r} - 1. 2 8 8 3 \\ 0. 7 3 0 3 \\ 1. 0 6 1 4 \end{array} \right] u (t) \\ y (t) = \left[ - 1. 2 8 8 3 - 0. 7 3 0 3 - 1. 0 6 1 4 \right] \mathbf {x} (t) + 0 \cdot u (t) \\ \end{array} $$
وللتحقق من صحة هذه النتيجة نكتب $ [n, d] = ss2tf(a, b, c, 0) $، فنحصل على
$$ \hat {g} (s) = \frac {2 s - 3}{s ^ {3} + s + 0 . 5} $$
وهذا يساوي $ \hat{g}(s) $ في (7.59) بعد حذف العامل المشترك $ 2(s + 1) $.