7.6 درجة مصفوفات التحويل (transfer matrices) 

    تُعرَّف درجة الدالة الكسرية المناسبة (proper rational function) بأنها درجة مقامها إذا كان المقام والبسط أوليين فيما بينهما. ويمكننا أيضاً تعريف درجة للمصفوفات الكسرية المناسبة. إحدى الطرق هي كتابة مصفوفة كسرية مناسبة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ على الصورة $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $، حيث إن $ \mathbf{N}(s) $ و$ \mathbf{D}(s) $ مصفوفتان كثيرتا حدود (polynomial matrices) ثم تطوير مفهوم الأولية فيما بينها (coprimeness) لمصفوفتين كثيرتي حدود. سيُناقش ذلك في أقسام لاحقة. في هذا القسم سنعرّف الدرجة مباشرة من مصفوفة كسرية. هذه المقاربة أبسط وستكشف الفرق المهم بين الدوال الكسرية القياسية والمصفوفية. إلا أن النتيجة يمكن استخدامها فقط لمناقشة التحقيقات الأدنى وليس لتطوير طرائق التصميم.

    اعتبر مصفوفة كسرية مناسبة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. نفترض أن كل عنصر من عناصر $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ هو كسر أولي فيما بينه ومناسب؛ أي إن بسطه ومقامه لا يشتركان في جذر وأن درجة البسط لا تتجاوز درجة المقام. وسيبقى هذا الافتراض قائماً في بقية هذا النص. نسمّي محدد أي مصفوفة فرعية ذات أبعاد $ r \times r $ من $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ محدداً فرعياً (minor) من الرتبة $ r $.

    التعريف 7.1 يُعرَّف كثير الحدود المميز (characteristic polynomial) لمصفوفة كسرية مناسبة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ بأنه أصغر مقام مشترك (least common denominator) لكل المحددات الفرعية لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. وتُعرَّف درجة كثير الحدود المميز بأنها درجة ماكميلان (McMillan degree) أو ببساطة درجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $، ويُرمز إليها بـ $ \delta \hat{\mathbf{G}}(s) $.

    مثال 7.6.1 اعتبر المصفوفتين الكسريتين

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {1} (s) = \left[ \begin{array}{l l} \frac {1}{s + 1} & \frac {1}{s + 1} \\ \frac {1}{s + 1} & \frac {1}{s + 1} \end{array} \right], \quad \hat {\mathbf {G}} _ {2} (s) = \left[ \begin{array}{l l} \frac {2}{s + 1} & \frac {1}{s + 1} \\ \frac {1}{s + 1} & \frac {1}{s + 1} \end{array} \right] $$

    للمصفوفة $ \hat{\mathbf{G}}_1(s) $ المحددات الفرعية من الرتبة 1 هي $ 1/(s+1), 1/(s+1), 1/(s+1) $، و$ 1/(s+1) $، والمحدد الفرعي من الرتبة 2 هو 0. لذا فإن كثير الحدود المميز لـ $ \hat{\mathbf{G}}_1(s) $ هو $ s+1 $ و$ \delta \hat{\mathbf{G}}_1(s) = 1 $. وللمصفوفة $ \hat{\mathbf{G}}_2(s) $ المحددات الفرعية من الرتبة 1 هي $ 1/(s+1), 1/(s+1), 1/(s+1) $، و$ 1/(s+1) $، والمحدد الفرعي من الرتبة 2 هو $ 1/(s+1)^2 $. لذا فإن كثير الحدود المميز لـ $ \hat{\mathbf{G}}_2(s) $ هو $ (s+1)^2 $ و$ \delta \hat{\mathbf{G}}_2(s) = 2 $.

    ومن هذا المثال نرى أن كثير الحدود المميز لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ يختلف عموماً عن مقام محدد $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ [إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مربعة] ويختلف أيضاً عن أصغر مقام مشترك لجميع عناصر $ \hat{\mathbf{G}}(s) $.

    مثال 7.6.2 اعتبر المصفوفة الكسرية $ 2 \times 3 $

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {s}{s + 1} & \frac {1}{(s + 1) (s + 2)} & \frac {1}{s + 3} \\ \frac {- 1}{s + 1} & \frac {1}{(s + 1) (s + 2)} & \frac {1}{s} \end{array} \right] $$

    المحددات الفرعية من الرتبة 1 هي العناصر الستة لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. وللمصفوفة المحددات الفرعية الثلاثة التالية من الرتبة 2:

    $$ \begin{array}{l} \frac {s}{(s + 1) ^ {2} (s + 2)} + \frac {1}{(s + 1) ^ {2} (s + 2)} = \frac {s + 1}{(s + 1) ^ {2} (s + 2)} = \frac {1}{(s + 1) (s + 2)} \\ \frac {s}{s + 1} \cdot \frac {1}{s} + \frac {1}{(s + 1) (s + 3)} = \frac {s + 4}{(s + 1) (s + 3)} \\ \frac {1}{(s + 1) (s + 2) s} - \frac {1}{(s + 1) (s + 2) (s + 3)} = \frac {3}{s (s + 1) (s + 2) (s + 3)} \\ \end{array} $$

    أصغر مقام مشترك لجميع هذه المحددات الفرعية هو $ s(s + 1)(s + 2)(s + 3) $. وبالتالي فإن درجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ تساوي 4.

    في حساب كثير الحدود المميز يجب اختزال كل محدد فرعي إلى كسر أولي فيما بينه كما فعلنا في المثال السابق، وإلا سنحصل على نتيجة خاطئة. نناقش حالتين خاصتين. إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ذات أبعاد $ 1 \times p $ أو $ q \times 1 $، فلا توجد محددات فرعية من الرتبة 2 أو أعلى. وبذلك يساوي كثير الحدود المميز أصغر مقام مشترك لجميع عناصر $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. وبشكل خاص، إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ قياسية، فإن كثير الحدود المميز يساوي مقامها. وإذا كان لكل عنصر من عناصر $ q \times p $ من $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ أقطاب تختلف عن أقطاب جميع العناصر الأخرى مثل

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {1}{(s + 1) ^ {2} (s + 2)} & \frac {s + 2}{s ^ {2}} \\ \frac {s - 2}{s + 3} & \frac {s}{(s + 5) (s - 3)} \end{array} \right] $$

    فإن المحددات الفرعية لا تحتوي على أقطاب بتكرارات أعلى من تلك الموجودة في كل عنصر. وبالتالي فإن كثير الحدود المميز يساوي حاصل ضرب مقامات جميع عناصر $ \hat{\mathbf{G}}(s) $.

    ولختام هذا القسم نذكر خاصيتين مهمتين. لتكن $ (\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}) $ تحقيقاً قابلاً للتحكم وقابلاً للرصد لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. عندئذ لدينا

    • أصغر مقام مشترك أحادي (monic) لجميع المحددات الفرعية لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ $ = $ كثير الحدود المميز لـ $ \mathbf{A} $.
    • أصغر مقام مشترك أحادي (monic) لجميع عناصر $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ $ = $ كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial) لـ $ \mathbf{A} $.

    ولإثباتهما، راجع المرجع 4، الصفحات 302-304.