7.7 التحقيقات الأدنى: حالة المصفوفة (Matrix Case) 

    قدمنا في القسم 7.2.1 التحقيقات الأدنى لدوال التحويل القياسية. والآن نناقش الحالة المصفوفية.

    النظرية 7.M2 

    معادلة فضاء الحالة $ (\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}) $ هي تحقيق أدنى (minimal realization) لمصفوفة كسرية مناسبة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ إذا وفقط إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ قابلاً للتحكم و$ (\mathbf{A},\mathbf{C}) $ قابلاً للرصد، أو إذا وفقط إذا

    $$ \dim \mathbf {A} = \deg \hat {\mathbf {G}} (s) $$

    البرهان: برهان الجزء الأول مشابه لبرهان النظرية 7.2. إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ غير قابل للتحكم أو كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ غير قابل للرصد، فإن معادلة فضاء الحالة تكون مكافئة في حالة الصفر (zero-state equivalent) لمعادلة ذات بُعد أصغر، وبالتالي فهي ليست أدنى. إذا كانت $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}) $ ذات بُعد $ n $ وقابلة للتحكم والرصد، وإذا كانت معادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $ $ (\bar{\mathbf{A}}, \bar{\mathbf{B}}, \bar{\mathbf{C}}, \bar{\mathbf{D}}) $، حيث $ \bar{n} < n $، تحقق $ \hat{\mathbf{G}}(s) $، فإن النظرية 4.1 تعطي $ \mathbf{D} = \bar{\mathbf{D}} $ و

    $$ \mathbf {C A} ^ {m} \mathbf {B} = \bar {\mathbf {C}} \bar {\mathbf {A}} ^ {m} \bar {\mathbf {B}} \quad \text{for} m = 0, 1, 2, \dots $$

    وعليه، كما في (7.22)، نحصل على

    $$ \mathcal {O C} = \bar {\mathcal {O}} _ {n} \bar {\mathcal {C}} _ {n} $$

    لاحظ أن $ \mathcal{O},\mathcal{C},\bar{\mathcal{O}}_n $ و$ \bar{C}_n $ هي على الترتيب مصفوفات بأبعاد $ nq\times n $ و$ n\times np $ و$ nq\times \bar{n} $ و$ \bar{n}\times np $. باستخدام متباينة سيلفستر (Sylvester inequality)

    $$ \rho (\mathcal {O}) + \rho (\mathcal {C}) - n \leq \rho (\mathcal {O C}) \leq \min (\rho (\mathcal {O}), \rho (\mathcal {C})) $$

    والتي تُبرهن في المرجع 6، ص. 31، ومع $ \rho(\mathcal{O}) = \rho(\mathcal{C}) = n $، نحصل على $ \rho(\mathcal{OC}) = n $. وبالمثل لدينا $ \rho(\bar{\mathcal{O}}_n\bar{\mathcal{C}}_n) = \bar{n} < n $. وهذا يناقض $ \rho(\mathcal{OC}) = \rho(\bar{\mathcal{O}}_n\mathcal{C}_n) $. وبالتالي فإن كل معادلة فضاء حالة قابلة للتحكم والرصد هي تحقيق أدنى.

    إظهار أن $ (\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}) $ أدنى إذا وفقط إذا كان $ \dim \mathbf{A} = \deg \hat{\mathbf{G}}(s) $ أكثر تعقيداً وسيُثبت في بقية هذا الفصل. Q.E.D.

    النظرية 7.M3 

    جميع التحقيقات الأدنى لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ متكافئة.

    البرهان: البرهان يتبع عن قرب برهان النظرية 7.3. لتكن $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}) $ و$ (\bar{\mathbf{A}}, \bar{\mathbf{B}}, \bar{\mathbf{C}}, \bar{\mathbf{D}}) $ أي تحقيقين أدنى ذوي بعد $ n $ لمصفوفة كسرية مناسبة $ q \times p $ هي $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. وكما في (7.23) و(7.24) نحصل على

    $$ \mathcal {O C} = \bar {\mathcal {O C}} \tag {7.67} $$

    و

    $$ \mathcal {O} \mathbf {A} \mathcal {C} = \bar {\mathcal {O}} \bar {\mathbf {A}} \bar {\mathcal {C}} \tag {7.68} $$

    في الحالة القياسية تكون $ \mathcal{O}, \mathcal{C}, \bar{\mathcal{O}} $ و$ \bar{\mathcal{C}} $ كلها مصفوفات مربعة غير منفردة بأبعاد $ n \times n $ ومعكوساتها معرّفة. هنا $ \mathcal{O} $ و$ \bar{\mathcal{O}} $ مصفوفتان بأبعاد $ nq \times n $ ورتبة $ n $؛ و$ \mathcal{C} $ و$ \bar{\mathcal{C}} $ مصفوفتان بأبعاد $ n \times np $ ورتبة $ n $. وهما ليستا مربعتين ولا تُعرّف معكوساتهما. لنعرف مصفوفة $ n \times np $

    $$ \mathcal {O} ^ {+} := \left(\mathcal {O} ^ {\prime} \mathcal {O}\right) ^ {- 1} \mathcal {O} ^ {\prime} \tag {7.69} $$

    وبما أن $ \mathcal{O}' $ هي $ n \times nq $ و$ \mathcal{O} $ هي $ nq \times n $، فإن المصفوفة $ \mathcal{O}'\mathcal{O} $ ذات أبعاد $ n \times n $ وهي، وفقاً للنظرية 3.8، غير منفردة. ومن الواضح أن

    $$ \mathcal {O} ^ {+} \mathcal {O} = (\mathcal {O} ^ {\prime} \mathcal {O}) ^ {- 1} \mathcal {O} ^ {\prime} \mathcal {O} = \mathbf {I} $$

    وبالتالي تُسمّى $ \mathcal{O}^+ $ المعكوس الزائف (pseudoinverse) أو المعكوس الأيسر (left inverse) لـ $ \mathcal{O} $. لاحظ أن $ \mathcal{O}\mathcal{O}^+ $ ذات أبعاد $ nq \times nq $ ولا تساوي مصفوفة الوحدة. وبالمثل نعرّف

    $$ \mathcal {C} ^ {+} := \mathcal {C} ^ {\prime} \left(\mathcal {C C} ^ {\prime}\right) ^ {- 1} \tag {7.70} $$

    وهي مصفوفة بأبعاد $ np \times n $ ولها الخاصية

    $$ \mathcal {C C} ^ {+} = \mathcal {C C} ^ {\prime} (\mathcal {C C} ^ {\prime}) ^ {- 1} = \mathbf {I} $$

    وبذلك تُسمّى $ \mathcal{C}^+ $ المعكوس الزائف أو المعكوس الأيمن (right inverse) لـ $ \mathcal{C} $. في الحالة القياسية، يُعرَّف تحويل التكافؤ في (7.25) على أنه $ \mathbf{P} = \bar{\mathcal{O}}^{-1}\mathcal{O} = \bar{\mathcal{C}}\mathcal{C}^{-1} $. والآن نستبدل المعكوسات بالمعكوسات الزائفة لنحصل على

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {P} := \bar {\mathcal {O}} ^ {+} \mathcal {O} = (\bar {\mathcal {O}} ^ {\prime} \bar {\mathcal {O}}) ^ {- 1} \bar {\mathcal {O}} ^ {\prime} \mathcal {O} (7.71) \\ = \bar {\mathcal {C}} \mathcal {C} ^ {+} = \bar {\mathcal {C}} \mathcal {C} ^ {\prime} \left(\mathcal {C} \mathcal {C} ^ {\prime}\right) ^ {- 1} (7.72) \\ \end{array} $$

    ويمكن التحقق من هذه المساواة مباشرةً بضرب $ (\bar{\mathcal{O}}^{\prime}\bar{\mathcal{O}}) $ مسبقاً و$ (\mathcal{C}\mathcal{C}^{\prime}) $ لاحقاً ثم استخدام (7.67). معكوس $ \mathbf{P} $ في الحالة القياسية هو $ \mathbf{P}^{-1} = \mathcal{O}^{-1}\bar{\mathcal{O}} = \mathcal{C}\bar{\mathcal{C}}^{-1} $. وفي الحالة المصفوفية يصبح

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {P} ^ {- 1} := \mathcal {O} ^ {+} \bar {\mathcal {O}} = \left(\mathcal {O} ^ {\prime} \mathcal {O}\right) ^ {- 1} \mathcal {O} ^ {\prime} \bar {\mathcal {O}} (7.73) \\ = \bar {C C} ^ {+} = \bar {C C} ^ {\prime} (\bar {C C} ^ {\prime}) ^ {- 1} (7.74) \\ \end{array} $$

    وهذا يمكن التحقق منه أيضاً باستخدام (7.67). ومن $ \bar{\mathcal{OC}} = \mathcal{OC} $ نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \bar {\mathcal {C}} = \left(\bar {\mathcal {O}} ^ {\prime} \bar {\mathcal {O}}\right) ^ {- 1} \bar {\mathcal {O}} ^ {\prime} \mathcal {O} \mathcal {C} = \mathbf {P C} \\ \bar {\mathcal {O}} = \mathcal {O C C} ^ {\prime} (\bar {\mathcal {C}} \bar {\mathcal {C}} ^ {\prime}) ^ {- 1} = \mathcal {O P} ^ {- 1} \\ \end{array} $$

    أعمدتهما الأولى $ p $ وصفوفهما الأولى $ q $ هي $ \bar{\mathbf{B}} = \mathbf{P}\mathbf{B} $ و$ \bar{\mathbf{C}} = \mathbf{C}\mathbf{P}^{-1} $. والمعادلة $ \bar{\mathcal{O}}\bar{\mathbf{A}}\bar{\mathcal{C}} = \mathcal{O}\mathbf{A}\mathcal{C} $ تعطي

    $$ \bar {\mathbf {A}} = \left(\bar {\mathcal {O}} ^ {\prime} \bar {\mathcal {O}}\right) ^ {- 1} \bar {\mathcal {O}} ^ {\prime} \mathcal {O} \mathbf {A C C} \bar {\mathcal {C}} ^ {\prime} \left(\bar {\mathcal {C}} \bar {\mathcal {C}} ^ {\prime}\right) ^ {- 1} = \mathbf {P A P} ^ {- 1} $$

    وهذا يبيّن أن جميع التحقيقات الأدنى لمصفوفة التحويل نفسها متكافئة. Q.E.D.

    نرى من برهان النظرية 7.M3 أن النتائج في الحالة القياسية يمكن مدّها مباشرة إلى الحالة المصفوفية إذا استُبدلت المعكوسات بالمعكوسات الزائفة. في MATLAB تقوم الدالة $ \operatorname{pinv} $ بتوليد المعكوس الزائف. وبالنسبة للتحقيق المتوازن الذي نوقش في القسم 7.4، لأن غراميان القابلية للتحكم والقابلية للرصد مصفوفتان مربعتان في حالتي SISO وMIMO على حد سواء، فإن كل النقاش في القسم 7.4 ينطبق على حالة MIMO دون أي تعديل.

    مثال 7.7.1 اعتبر مصفوفة التحويل في المثال 4.5.3 أو

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {4 s - 1 0}{2 s + 1} & \frac {3}{s + 2} \\ \frac {1}{(2 s + 1) (s + 2)} & \frac {1}{(s + 2) ^ {2}} \end{array} \right] \tag {7.75} $$

    يمكن حساب كثير الحدود المميز على أنه $ (2s + 1)(s + 2)^2 $. وبالتالي فإن درجة المصفوفة الكسرية هي 3. التحقيق ذو البعد 6 في (4.47) والتحقيق ذو البعد 4 في (4.52) ليسا تحقيقين أدنى بشكل واضح. ويمكن اختزالهما إلى تحقيقات أدنى باستدعاء دالة MATLAB ‏minreal. فمثلاً، من أجل (4.47) نكتب

    $$ \begin{array}{l} a = \left[ - 4. 5 0 - 6 0 - 2 0; 0 - 4. 5 0 - 6 0 - 2; 1 0 0 0 0 0; \dots \right. \\ 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0 ]; \\ b = \left[ \begin{array}{l l l l l l l l l} 1 & 0; 0 & 1; 0 & 0; 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]; \\ c = \left[ - 6 3 - 2 4 7. 5 - 2 4 3; 0 1 0. 5 1. 5 1 0. 5 \right]; d = \left[ 2 0; 0 0 \right]; \\ [ a m, b m, c m, d m ] = \text{min real} (a, b, c, d) \\ \end{array} $$

    فينتج

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 1. 3 3 8 7 & 0. 2 2 1 2 & - 1. 6 0 0 0 \\ 0. 2 5 3 3 5 & - 1. 1 6 8 2 & 4. 8 3 5 2 \\ 0. 0 0 3 6 & 0. 0 0 1 2 & - 1. 9 9 3 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{r r} - 0. 2 6 6 6 & 0. 2 0 2 6 \\ 0. 2 5 1 3 & - 0. 6 1 2 5 \\ 0. 0 0 0 4 & 0. 3 4 7 3 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} 3 2. 7 2 1 0 & 1 0. 8 1 9 8 & 8. 6 3 2 3 \\ - 0. 8 1 4 3 & - 0. 8 6 6 3 & 1. 8 2 6 6 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l l} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

    وبُعده يساوي درجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $؛ لذا فهو قابل للتحكم والرصد وهو تحقيق أدنى لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ في (7.75).