7.8.1 الاختزال العمودي والصفّي (column and row reducedness) 

لتطبيق التعريف 7.4 يجب حساب محدد مصفوفة كثير حدود. ويمكن تجنب ذلك إذا كانت الكسور الأولية فيما بينها تمتلك خاصية إضافية كما سنناقش الآن.

تُعرّف درجة المتجه كثير الحدود بأنها أعلى أسّ لـ $ s $ في جميع عناصره. اعتبر مصفوفة كثير حدود $ \mathbf{M}(s) $. نعرّف

$$ \delta_ {c i} \mathbf {M} (s) = \text{degree of ith column of} \mathbf {M} (s) $$

$$ \delta_ {r i} \mathbf {M} (s) = \text{degree of ith row of} \mathbf {M} (s) $$

ونسمي $ \delta_{ci} $ درجة العمود (column degree) و$ \delta_{ri} $ درجة الصف (row degree). فمثلاً المصفوفة

$$ \mathbf {M} (s) = \left[ \begin{array}{c c c} s + 1 & s ^ {3} - 2 s + 5 & - 1 \\ s - 1 & s ^ {2} & 0 \end{array} \right] $$

لها $ \delta_{c1} = 1 $ و$ \delta_{c2} = 3 $ و$ \delta_{c3} = 0 $ و$ \delta_{r1} = 3 $ و$ \delta_{r2} = 2 $.

التعريف 7.5 تُسمّى مصفوفة كثير حدود غير منفردة $ \mathbf{M}(s) $ مختزلة أعمدة (column reduced) إذا

$ \deg \det \mathbf{M}(s) = \sum $ درجات الأعمدة كلها

وتُسمّى مختزلة صفوف (row reduced) إذا

$ \deg \det \mathbf{M}(s) = \sum $ درجات الصفوف كلها

قد تكون المصفوفة مختزلة أعمدة وليست مختزلة صفوفاً والعكس. فمثلاً المصفوفة

$$ \mathbf {M} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 3 s ^ {2} + 2 s & 2 s + 1 \\ s ^ {2} + s - 3 & s \end{array} \right] \tag {7.79} $$

محددها $ s^3 - s^2 + 5s + 3 $. درجته تساوي مجموع درجتي العمودين 2 و1. لذا فإن $ \mathbf{M}(s) $ في (7.79) مختزلة أعمدة. أما درجات الصفوف في $ \mathbf{M}(s) $ فهي 2 و2؛ ومجموعهما أكبر من 3. لذا فإن $ \mathbf{M}(s) $ ليست مختزلة صفوفاً. المصفوفة كثيرة الحدود القطرية تكون دائماً مختزلة أعمدة وصفوفاً. إذا لم تكن مصفوفة كثير حدود مربعة مختزلة أعمدة، فإن درجة محددها أقل من مجموع درجات أعمدتها.

لتكن $ \delta_{ci}\mathbf{M}(s) = k_{ci} $ ولنعرف $ \mathbf{H}_c(s) = \mathrm{diag}(s^{k_{c1}},s^{k_{c2}},\dots) $. عندئذ يمكن كتابة المصفوفة كثيرة الحدود $ \mathbf{M}(s) $ على الصورة

$$ \mathbf {M} (s) = \mathbf {M} _ {h c} \mathbf {H} _ {c} (s) + \mathbf {M} _ {l c} (s) \tag {7.80} $$

فمثلاً $ \mathbf{M}(s) $ في (7.79) لها درجات أعمدة 2 و1 ويمكن كتابتها على الصورة

$$ \mathbf {M} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} s ^ {2} & 0 \\ 0 & s \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} 2 s & 1 \\ s - 3 & 0 \end{array} \right] $$

تُسمّى المصفوفة الثابتة $ \mathbf{M}_{hc} $ مصفوفة معاملات درجات الأعمدة (column-degree coefficient matrix)؛ العمود $ i $ فيها هو معاملات العمود $ i $ من $ \mathbf{M}(s) $ الموافقة لـ $ s^{k_{ci}} $. وتحتوي المصفوفة كثير الحدود $ \mathbf{M}_{lc}(s) $ على الحدود المتبقية ويكون لعمودها $ i $ درجة أقل من $ k_{ci} $. إذا كُتبت $ \mathbf{M}(s) $ كما في (7.80)، فيمكن التحقق أن $ \mathbf{M}(s) $ مختزلة أعمدة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة معاملات درجات الأعمدة $ \mathbf{M}_{hc} $ غير منفردة. وبالمقابل لـ (7.80)، يمكننا كتابة $ \mathbf{M}(s) $ على الصورة

$$ \mathbf {M} (s) = \mathbf {H} _ {r} (s) \mathbf {M} _ {h r} + \mathbf {M} _ {l r} (s) $$

حيث إن $ \delta_{ri}\mathbf{M}(s) = k_{ri} $ و$ \mathbf{H}_r(s) = \mathrm{diag}(s^{k_{r1}},s^{k_{r2}},\dots) $. وتُسمّى المصفوفة $ \mathbf{M}_{hr} $ مصفوفة معاملات درجات الصفوف (row-degree coefficient matrix). وعندئذ تكون $ \mathbf{M}(s) $ مختزلة صفوف إذا وفقط إذا كانت $ \mathbf{M}_{hr} $ غير منفردة.

اعتبر $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $. إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مناسبة تماماً، فإن $ \delta_{ci}\mathbf{N}(s) < \delta_{ci}\mathbf{D}(s) $، لـ $ i = 1,2,\ldots,p $، أي إن درجات أعمدة $ \mathbf{N}(s) $ أقل من درجات الأعمدة المناظرة في $ \mathbf{D}(s) $. وإذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مناسبة، فإن $ \delta_{ci}\mathbf{N}(s) \leq \delta_{ci}\mathbf{D}(s) $، لـ $ i = 1,2,\ldots,p $. إلا أن العكس ليس بالضرورة صحيحاً. فمثلاً اعتبر

$$ \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) = [ 1 2 ] \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} & s - 1 \\ s + 1 & 1 \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \frac {- 2 s - 1}{1} \frac {2 s ^ {2} - s + 1}{1} \right] $$

على الرغم من أن $ \delta_{ci}\mathbf{N}(s) < \delta_{ci}\mathbf{D}(s) $ لـ $ i = 1,2 $، فإن $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ ليست مناسبة تماماً. والسبب أن $ \mathbf{D}(s) $ ليست مختزلة أعمدة.

النظرية 7.8 

لتكن $ \mathbf{N}(s) $ و$ \mathbf{D}(s) $ مصفوفتين كثيرتي حدود بأبعاد $ q \times p $ و$ p \times p $، ولتكن $ \mathbf{D}(s) $ مختزلة أعمدة. عندئذ تكون المصفوفة الكسرية $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ مناسبة (أو مناسبة تماماً) إذا وفقط إذا

$$ \delta_ {c i} \mathbf {N} (s) \leq \delta_ {c i} \mathbf {D} (s) \quad [ \delta_ {c i} \mathbf {N} (s) < \delta_ {c i} \mathbf {D} (s) ] $$

لـ $ i = 1,2,\ldots ,p $

البرهان: جزء الضرورة يتبع من المثال السابق. نبيّن الكفاية. وفقاً لـ (7.80) نكتب

$$ \mathbf {D} (s) = \mathbf {D} _ {h c} \mathbf {H} _ {c} (s) + \mathbf {D} _ {l c} (s) = [ \mathbf {D} _ {h c} + \mathbf {D} _ {l c} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) ] \mathbf {H} _ {c} (s) $$

$$ \mathbf {N} (s) = \mathbf {N} _ {h c} \mathbf {H} _ {c} (s) + \mathbf {N} _ {l c} (s) = [ \mathbf {N} _ {h c} + \mathbf {N} _ {l c} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) ] \mathbf {H} _ {c} (s) $$

ومن ثم نحصل على

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) := \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) = \left[ \mathbf {N} _ {h c} + \mathbf {N} _ {l c} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) \right] \left[ \mathbf {D} _ {h c} + \mathbf {D} _ {l c} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) \right] ^ {- 1} $$

وبما أن $ \mathbf{D}_{lc}(s)\mathbf{H}_c^{-1}(s) $ و$ \mathbf{N}_{lc}(s)\mathbf{H}_c^{-1}(s) $ تقتربان من الصفر عند $ s\to \infty $، فإن

$$ \lim _ {s \rightarrow \infty} \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {N} _ {h c} \mathbf {D} _ {n c} ^ {- 1} $$

حيث إن $ \mathbf{D}_{hc} $ غير منفردة بحسب الفرض. الآن إذا كان $ \delta_{ci}\mathbf{N}(s)\leq \delta_{ci}\mathbf{D}(s) $ فإن $ \mathbf{N}_{hc} $ مصفوفة ثابتة غير صفرية. وبالتالي فإن $ \hat{\mathbf{G}} (\infty) $ ثابت غير صفري و$ \hat{\mathbf{G}} (s) $ مناسبة. وإذا كان $ \delta_{ci}\mathbf{N}(s) < \delta_{ci}\mathbf{D}(s) $ فإن $ \mathbf{N}_{hc} $ مصفوفة صفرية. وبالتالي $ \hat{\mathbf{G}} (\infty) = \mathbf{0} $ و$ \hat{\mathbf{G}} (s) $ مناسبة تماماً. وهذا يثبت النظرية. Q.E.D.

نذكر نظير النظرية 7.8 دون برهان.

نتيجة 7.8 

لتكن $ \bar{\mathbf{N}}(s) $ و$ \bar{\mathbf{D}}(s) $ مصفوفتين كثيرتي حدود بأبعاد $ q \times p $ و$ q \times q $، ولتكن $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ مختزلة صفوفاً. عندئذ تكون المصفوفة الكسرية $ \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $ مناسبة (أو مناسبة تماماً) إذا وفقط إذا

$$ \delta_ {r i} \bar {\mathbf {N}} (s) \leq \delta_ {r i} \bar {\mathbf {D}} (s) \quad [ \delta_ {r i} \bar {\mathbf {N}} (s) < \delta_ {r i} \bar {\mathbf {D}} (s) ] $$

لـ $ i = 1,2,\ldots ,q $