7.8.2 حساب الكسور الأولية فيما بينها للمصفوفات (matrix coprime fractions) 

أُعطِي كسر يميني $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $. إحدى الطرق لاختزاله إلى كسر يميني أولي فيما بينه هي حساب gcd. ويمكن تحقيق ذلك بتطبيق سلسلة من العمليات الأولية (elementary operations). وبمجرد حساب gcd على الصورة $ \mathbf{R}(s) $ نحسب $ \hat{\mathbf{N}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{R}^{-1}(s) $ و$ \hat{\mathbf{D}}(s) = \mathbf{D}(s)\mathbf{R}^{-1}(s) $. عندئذ $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) = \hat{\mathbf{N}}(s)\hat{\mathbf{D}}^{-1}(s) $ ويكون $ \hat{\mathbf{N}}(s)\hat{\mathbf{D}}^{-1}(s) $ كسراً يمينياً أولياً فيما بينه. ولن نناقش هذا الإجراء هنا. ويُحال القارئ المهتم إلى المرجع 6، الصفحات 590-591.

نمد الآن طريقة حساب الكسور الأولية فيما بينها القياسية في القسم 7.3 إلى الحالة المصفوفية. اعتبر مصفوفة كسرية مناسبة $ q \times p $ هي $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ معبَّراً عنها كما يلي

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \tag {7.81} $$

في هذا القسم نستخدم المتغيرات ذات الشرطة العلوية (overbar) للدلالة على الكسور اليسارية، وبدونها للدلالة على الكسور اليمينية. ومن الواضح أن (7.81) تعطي

$$ \bar {\mathbf {N}} (s) \mathbf {D} (s) = \bar {\mathbf {D}} (s) \mathbf {N} (s) $$

$$ \bar {\mathbf {D}} (s) (- \mathbf {N} (s)) + \bar {\mathbf {N}} (s) \mathbf {D} (s) = \mathbf {0} \tag {7.82} $$

سنبيّن أنه عند إعطاء كسر يساري $ \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $، ليس بالضرورة أولياً يسارياً، يمكننا الحصول على كسر يميني أولي فيما بينه $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ بحل معادلة مصفوفة كثيرات الحدود في (7.82). وبدلاً من حل (7.82) مباشرةً سنحوّلها إلى حل مجموعات من المعادلات الجبرية الخطية. وكما في (7.27) نعبّر عن مصفوفات كثيرات الحدود بافتراض أن أعلى درجة هي 4 لتسهيل الكتابة،

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {D}} (s) = \bar {\mathbf {D}} _ {0} + \bar {\mathbf {D}} _ {1} s + \bar {\mathbf {D}} _ {2} s ^ {2} + \bar {\mathbf {D}} _ {3} s ^ {3} + \bar {\mathbf {D}} _ {4} s ^ {4} \\ \bar {\mathbf {N}} (s) = \bar {\mathbf {N}} _ {0} + \bar {\mathbf {N}} _ {1} s + \bar {\mathbf {N}} _ {2} s ^ {2} + \bar {\mathbf {N}} _ {3} s ^ {3} + \bar {\mathbf {N}} _ {4} s ^ {4} \\ \mathbf {D} (s) = \mathbf {D} _ {0} + \mathbf {D} _ {1} s + \mathbf {D} _ {2} s ^ {2} + \mathbf {D} _ {3} s ^ {3} \\ \mathbf {N} (s) = \mathbf {N} _ {0} + \mathbf {N} _ {1} s + \mathbf {N} _ {2} s ^ {2} + \mathbf {N} _ {3} s ^ {3} \\ \end{array} $$

حيث إن $ \bar{\mathbf{D}}_i $ و$ \bar{\mathbf{N}}_i $ و$ \mathbf{D}_i $ و$ \mathbf{N}_i $ هي على الترتيب مصفوفات ثابتة بأبعاد $ q \times q $ و$ q \times p $ و$ p \times p $ و$ q \times p $. المصفوفات الثابتة $ \bar{\mathbf{D}}_i $ و$ \bar{\mathbf{N}}_i $ معلومة، أما $ \mathbf{D}_i $ و$ \mathbf{N}_i $ فتُحل. بالتعويض في (7.82) ومساواة المصفوفات الثابتة المرتبطة بـ

$ s^k $، لـ $ k = 0,1,\dots $، نحصل على

$$ \mathbf {S M} := \left[ \begin{array}{l l l l l l l l l l} \bar {\mathbf {D}} _ {0} & \bar {\mathbf {N}} _ {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \bar {\mathbf {D}} _ {1} & \bar {\mathbf {N}} _ {1} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {0} & \bar {\mathbf {N}} _ {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \bar {\mathbf {D}} _ {2} & \bar {\mathbf {N}} _ {2} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {1} & \bar {\mathbf {N}} _ {1} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {0} & \bar {\mathbf {N}} _ {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \bar {\mathbf {D}} _ {3} & \bar {\mathbf {N}} _ {3} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {2} & \bar {\mathbf {N}} _ {2} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {1} & \bar {\mathbf {N}} _ {1} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {0} & \bar {\mathbf {N}} _ {0} \\ \bar {\mathbf {D}} _ {4} & \bar {\mathbf {N}} _ {4} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {3} & \bar {\mathbf {N}} _ {3} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {2} & \bar {\mathbf {N}} _ {2} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {1} & \bar {\mathbf {N}} _ {1} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {4} & \bar {\mathbf {N}} _ {4} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {3} & \bar {\mathbf {N}} _ {3} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {2} & \bar {\mathbf {N}} _ {2} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {4} & \bar {\mathbf {N}} _ {4} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {3} & \bar {\mathbf {N}} _ {3} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {4} & \bar {\mathbf {N}} _ {4} \\ \end{array} \right] = 0 (7. 8 3) $$

هذه المعادلة هي النسخة المصفوفية من (7.28) وتُسمّى المصفوفة $ \mathbf{S} $ محصّلاً معمّماً (generalized resultant). لاحظ أن كل عمود كتلي من أعمدة $ D $ يضم $ q $ أعمدة $ D $ وأن كل عمود كتلي من أعمدة $ N $ يضم $ p $ أعمدة $ N $. المحصّل المعمّم $ \mathbf{S} $ كما هو مبين يحتوي أربعة أزواج من الأعمدة الكتلية $ D $ و$ N $؛ وبالتالي لديه مجموع $ 4(q + p) $ عموداً. وله ثمانية صفوف كتلية؛ وكل صف كتلي يحتوي على $ q $ صفوف. لذلك للمحصّل $ 8q $ صفاً.

نناقش الآن بعض الخصائص العامة لـ $ \mathbf{S} $ على افتراض أننا وجدنا الأعمدة المستقلة خطياً من اليسار إلى اليمين. يتبين أن كل عمود $ D $ في كل عمود كتلي $ D $ مستقل خطياً عن الأعمدة الواقعة على يساره (LHS). غير أن الحالة مختلفة لأعمدة $ N $. تذكّر أن في كل عمود كتلي $ N $ توجد $ p $ أعمدة $ N $. سنستخدم اصطلاح عمود $ N_i $ للدلالة على العمود $ i $ من أعمدة $ N $ في كل عمود كتلي $ N $. يتبين أنه إذا كان عمود $ N_i $ في أحد الأعمدة الكتلية $ N $ معتمداً خطياً على الأعمدة الواقعة على يساره، فإن جميع أعمدة $ N_i $ التالية ستكون، بسبب البنية التكرارية لـ $ \mathbf{S} $، معتمدة خطياً على الأعمدة الواقعة على يسارها. لتكن $ \mu_i $، حيث $ i = 1,2,\ldots,p $، عدد الأعمدة المستقلة خطياً من نوع $ N_i $ في $ \mathbf{S} $. تُسمّى هذه مؤشرات الأعمدة (column indices) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. أول عمود $ N_i $ يصبح معتمداً خطياً على الأعمدة الواقعة على يساره يُسمّى عمود $ N_i $ المعتمد الرئيس (primary dependent $ N_i $-column). ومن الواضح أن العمود $ N_i $ رقم $ (\mu_i + 1) $ هو العمود المعتمد الرئيس.

لكل عمود $ N_i $ معتمد رئيس، نحسب المتجه الصفري الأحادي (monic null vector) — أي الذي يكون آخر عنصر فيه 1 — للمصفوفة الجزئية التي تتكون من عمود $ N_i $ المعتمد الرئيس وجميع الأعمدة المستقلة خطياً الواقعة على يساره. يوجد في المجموع $ p $ من هذه المتجهات الصفرية الأحادية. ومن هذه المتجهات الصفرية الأحادية يمكننا الحصول على كسر يميني. هذا الكسر يكون أولياً يمينياً لأننا نستخدم أصغر قيم ممكنة لـ $ \mu_i $ وبالتالي تكون $ \mathbf{D}(s) $ الناتجة ذات أصغر درجات أعمدة ممكنة. يوضّح المثال التالي الإجراء.

مثال 7.8.1 أوجد كسراً يمينياً أولياً فيما بينه لمصفوفة التحويل في (7.75) أو

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {4 s - 1 0}{2 s + 1} & \frac {3}{s + 2} \\ \frac {1}{(2 s + 1) (s + 2)} & \frac {s + 1}{(s + 2) ^ {2}} \end{array} \right] \tag {7.84} $$

أولاً يجب إيجاد كسر يساري، ليس بالضرورة أولياً يسارياً. باستخدام أصغر مقام مشترك لكل صف نحصل بسهولة على

$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} (2 s + 1) (s + 2) & 0 \\ 0 & (2 s + 1) (s + 2) ^ {2} \end{array} \right] ^ {- 1} \\ \times \left[ \begin{array}{c c} (4 s - 1 0) (s + 2) & 3 (2 s + 1) \\ s + 2 & (s + 1) (2 s + 1) \end{array} \right] =: \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \\ \end{array} $$

وبالتالي نحصل على

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {D}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 2 s ^ {2} + 5 s + 2 & 0 \\ 0 & 2 s ^ {3} + 9 s ^ {2} + 1 2 s + 4 \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{l l} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} 5 & 0 \\ 0 & 1 2 \end{array} \right] s + \left[ \begin{array}{l l} 2 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right] s ^ {2} + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right] s ^ {3} \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {N}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 4 s ^ {2} - 2 s - 2 0 & 6 s + 3 \\ s + 2 & 2 s ^ {2} + 3 s + 1 \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} - 2 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c} - 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{array} \right] s + \left[ \begin{array}{c c} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right] s ^ {2} + \left[ \begin{array}{c c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s ^ {3} \\ \end{array} $$

نشكل المحصّل المعمّم ثم نستخدم تحليل QR الذي نوقش في القسم 7.3.1 للبحث عن الأعمدة المستقلة خطياً من اليسار إلى اليمين. وبما أنه أسهل إدخال منقول $ \mathbf{S} $، نكتب

$$ \begin{array}{l} d 1 = \left[ \begin{array}{l l l l l l l} 2 & 0 & 5 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]; d 2 = \left[ \begin{array}{l l l l l l l} 0 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 9 & 0 & 2 \end{array} \right]; \\ n 1 = \left[ - 2 0 2 - 2 1 4 0 0 0 \right]; n 2 = \left[ 3 1 6 3 0 2 0 0 \right]; \\ s = \left[ d 1 0 0 0 0; d 2 0 0 0 0; n 1 0 0 0 0; n 2 0 0 0 0; \dots \right. \\ 0 0 d 1 0 0; 0 0 d 2 0 0; 0 0 n 1 0 0; 0 0 n 2 0 0; \dots \\ 0 0 0 0 d 1; 0 0 0 0 d 2; 0 0 0 0 n 1; 0 0 0 0 n 2 ] ^ {\prime}; \\ [ q, r ] = q r (s) \\ \end{array} $$

نحتاج فقط إلى $ \mathfrak{r} $؛ لذلك لن نعرض المصفوفة $ \mathfrak{q} $. كما نوقش في القسم 7.3.1 نحتاج فقط إلى معرفة ما إذا كانت عناصر $ \mathfrak{r} $ صفراً لتحديد الاستقلال الخطي للأعمدة؛ ولذلك نمثل العناصر غير الصفرية بـ $ x, di, ni $. والنتيجة هي

$$ r = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c} d 1 & 0 & x & x & x & x & x & x & x & 0 & x & x \\ 0 & d 2 & x & x & x & x & x & x & 0 & x & x & x \\ 0 & 0 & n 1 & x & x & x & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & n 2 & x & x & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & 0 & d 1 & x & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d 2 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n 1 & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d 1 & x & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

نرى أن جميع أعمدة $ D $ مستقلة خطياً عن الأعمدة الواقعة على يسارها. وهناك عمودان مستقلان خطياً من أعمدة $ N1 $ وعمود مستقل واحد من أعمدة $ N2 $. وبذلك لدينا $ \mu_1 = 2 $ و$ \mu_2 = 1 $. العمود الثامن من $ \mathbf{S} $ هو عمود $ N2 $ المعتمد الرئيس. نحسب متجهاً صفرياً للمصفوفة الجزئية التي تتكون من عمود $ N2 $ المعتمد الرئيس وجميع أعمدته المستقلة خطياً الواقعة على يساره كما يلي

$$ \begin{array}{l} z 2 = \text{null} ([ d 1 0 0; d 2 0 0; n 1 0 0; n 2 0 0; \dots \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \end{array} $$

ثم نطبّع العنصر الأخير إلى 1 بكتابة

$$ z 2 b = z 2 / z 2 (8) $$

فنحصل على أول متجه صفري أحادي

$$ \text{ans} = \left[ \begin{array}{r r r r r r r r} 7 & - 1 & 1 & 2 & - 4 & 0 & 2 & 1 \end{array} \right] ^ {\prime} $$

العمود الحادي عشر من $ \mathbf{S} $ هو عمود $ N1 $ المعتمد الرئيس. نحسب متجهاً صفرياً للمصفوفة الجزئية التي تتكون من عمود $ N1 $ المعتمد الرئيس وجميع الأعمدة المستقلة خطياً الواقعة على يساره (أي بحذف العمود الثامن) كما يلي

$$ \begin{array}{l} z 1 = \text{null} ([ d 1 0 0 0 0; d 2 0 0 0 0; n 1 0 0 0 0; n 2 0 0 0 0; \dots \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \dots \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 0 d 1 0 0; 0 0 d 2 0 0; 0 0 n 1 0 0; \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left. 0 0 0 0 d 1; 0 0 0 0 d 2; 0 0 0 0 n 1 ] ^ {\prime}\right); \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & .\\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & . \\ & \end{array} $$

ثم نطبّع العنصر الأخير إلى 1 بكتابة

$$ z 1 b = z 1 / z 1 (1 0) $$

فنحصل على المتجه الصفري الأحادي الثاني على الصورة

$$ \text{ans} = [ 1 0 - 0. 5 1 0 1 0 2. 5 - 2 0 1 ] ^ {\prime} $$

وبالتالي نحصل على

$$ \left[ \begin{array}{c} - \mathbf {N} _ {0} \\ \dots \\ \mathbf {D} _ {0} \\ \dots \\ - \mathbf {N} _ {1} \\ \dots \\ \mathbf {D} _ {1} \\ \dots \\ - \mathbf {N} _ {2} \\ \dots \\ \mathbf {D} _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} - n _ {0} ^ {1 1} & - n _ {0} ^ {1 2} \\ - n _ {0} ^ {2 1} & - n _ {0} ^ {2 2} \\ \dots & \dots \\ d _ {0} ^ {1 1} & d _ {0} ^ {1 2} \\ d _ {0} ^ {2 1} & d _ {0} ^ {2 2} \\ \dots & \dots \\ - n _ {1} ^ {1 1} & - n _ {1} ^ {1 2} \\ - n _ {1} ^ {2 1} & - n _ {1} ^ {2 2} \\ \dots & \dots \\ d _ {1} ^ {1 1} & d _ {1} ^ {1 2} \\ d _ {1} ^ {2 1} & d _ {1} ^ {2 2} \\ \dots & \dots \\ - n _ {2} ^ {1 1} & - n _ {2} ^ {1 2} \\ - n _ {2} ^ {2 1} & - n _ {2} ^ {2 2} \\ \dots & \dots \\ d _ {2} ^ {1 1} & d _ {2} ^ {1 2} \\ d _ {2} ^ {2 1} & d _ {2} ^ {2 2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c } & 1 0 & 7 \\ - 0. 5 & - 1 \\ \dots & \dots \\ 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ \dots & \dots \\ 1 & - 4 \\ 0 & 0 \\ \dots & \dots \\ 2. 5 & 2 \\ 1 \\ \dots & \dots \\ - 2 \\ 0 & \\ \dots & \dots \\ 1 & \end{array} \right] \tag {7.85} $$

حيث كتبنا $ \mathbf{N}_i $ و$ \mathbf{D}_i $ صراحة مع الأسس العليا $ ij $ التي تدل على عنصر $ ij $ والرمز السفلي يدل على الدرجة. المتجهان الصفريان الأحاديان مرتبان كما هو مبين. ويمكن تبادل ترتيب المتجهين الصفريين كما سنناقش لاحقاً. أما الخانات الفارغة فيجب ملؤها بالصفر. لاحظ أن الخانة الفارغة في الموضع $ (8 \times 1) $ سببها حذف العمود الثاني المعتمد خطياً من $ N2 $ عند حساب المتجه الصفري الثاني. بمساواة العناصر المناظرة في (7.85) يمكننا الحصول بسهولة على

$$ \begin{array}{l} \mathbf {D} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} 2. 5 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right] s + \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s ^ {2} \\ = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} + 2. 5 s + 1 & 2 s + 1 \\ 0 & s + 2 \end{array} \right] \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf {N} (s) = \left[ \begin{array}{c c} - 1 0 & - 7 \\ 0. 5 & 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c} - 1 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s + \left[ \begin{array}{c c} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s ^ {2} \\ = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} - s - 1 0 & 4 s - 7 \\ 0. 5 & 1 \end{array} \right] \\ \end{array} $$

وعليه فإن $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ في (7.84) لها الكسر اليميني الأولي فيما بينها التالي:

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} (2 s - 5) (s + 2) & 4 s - 7 \\ 0. 5 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} (s + 2) (s + 0. 5) & 2 s + 1 \\ 0 & s + 2 \end{array} \right] ^ {- 1} \tag {7.86} $$

$ \mathbf{D}(s) $ في (7.86) مختزلة أعمدة بدرجات أعمدة $ \mu_1 = 2 $ و$ \mu_2 = 1 $. وبالتالي لدينا $ \deg \det \mathbf{D}(s) = 2 + 1 = 3 $ ودرجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ في (7.84) هي 3. وقد حُسبت الدرجة في المثال 7.7.1 على أنها 3 باستخدام التعريف 7.1.

بوجه عام، إذا كان للمحصّل المعمّم $ \mu_{i} $ أعمدة $ N_i $ مستقلة خطياً، فإن $ \mathbf{D}(s) $ مختزلة أعمدة بدرجات أعمدة $ \mu_{i} $. وبذلك نحصل على

$$ \begin{array}{l} \deg \hat {\mathbf {G}} (s) = \det \mathbf {D} (s) = \sum \mu_ {i} \\ = \text{Totalnumberoflinearlyindependent} N \text{- columns in S} \\ \end{array} $$

نبيّن الآن أن ترتيب درجات الأعمدة غير مهم. وبعبارة أخرى، يمكن تغيير ترتيب أعمدة $ \mathbf{N}(s) $ و$ \mathbf{D}(s) $. فمثلاً اعتبر مصفوفة التبديل

$$ \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $$

ولتكن $ \hat{\mathbf{D}}(s) = \mathbf{D}(s)\mathbf{P} $ و$ \hat{\mathbf{N}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{P} $. عندئذ تصبح الأعمدة الأولى والثانية والثالثة من $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ هي الأعمدة الثانية والثالثة والأولى من $ \hat{\mathbf{D}}(s) $ و$ \hat{\mathbf{N}}(s) $. ومع ذلك لدينا

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \hat {\mathbf {N}} (s) \hat {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) = [ \mathbf {N} (s) \mathbf {P} ] [ \mathbf {D} (s) \mathbf {P} ] ^ {- 1} = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) $$

وهذا يبيّن أن أعمدة $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ يمكن تبديلها عشوائياً. وهو ما يعادل تبديل ترتيب المتجهات الصفرية في (7.83). لذا فإن مجموعة درجات الأعمدة خاصية جوهرية للنظام تماماً مثل مجموعة مؤشرات القابلية للتحكم (controllability indices) (النظرية 6.3). ويمكن صياغة ما تقدم في نظرية. وهي امتداد للنظرية 7.4 إلى الحالة المصفوفية.

النظرية 7.M4 

لتكن $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $ كسراً يسارياً، ليس بالضرورة أولياً يسارياً. نستخدم مصفوفات معاملات $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ و$ \bar{\mathbf{N}}(s) $ لتشكيل المحصّل المعمّم $ \mathbf{S} $ المبين في (7.83) ونبحث عن أعمدته المستقلة خطياً من اليسار إلى اليمين. لتكن $ \mu_i, i = 1,2,\ldots,p $ أعداد الأعمدة المستقلة خطياً من نوع $ N_i $. عندئذ نحصل على

$$ \deg \hat {\mathbf {G}} (s) = \mu_ {1} + \mu_ {2} + \dots + \mu_ {p} \tag {7.87} $$

ويمكن الحصول على كسر يميني أولي فيما بينه $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ بحساب $ p $ متجهات صفرية أحادية للمصفوفات $ p $ المتشكلة من كل عمود $ N_i $ معتمد رئيس وجميع أعمدته المستقلة خطياً الواقعة على يساره.

الكسر اليميني الأولي فيما بينه الناتج عن حل المعادلة في (7.83) يمتلك خاصية إضافية مهمة. بعد إعادة الترتيب يمكن لمصفوفة معاملات درجات الأعمدة $ \mathbf{D}_{hc} $ أن تصبح دائماً مصفوفة مثلثية علوية وحدية (unit upper triangular) أي مصفوفة مثلثية علوية عناصر قطرها كلها 1. وتُسمّى مثل هذه $ \mathbf{D}(s) $ بأنها في صيغة السلم العمودي (column echelon form).

انظر المراجع 6، ص. 610-612؛ و13، ص. 483-487. بالنسبة إلى $ \mathbf{D}(s) $ في (7.86)، فإن مصفوفة معاملات درجات الأعمدة هي

$$ \mathbf {D} _ {h c} = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right] $$

وهي مثلثية علوية وحدية؛ وبالتالي فإن $ \mathbf{D}(s) $ في صيغة السلم العمودي. وعلى الرغم من أننا نحتاج في المناقشة اللاحقة إلى الاختزال العمودي فقط، فإن النتائج في القسم التالي تكون أجمل إذا كانت $ \mathbf{D}(s) $ في صيغة السلم العمودي.

وبالتماثل مع النقاش السابق يمكننا حساب كسر يساري أولي فيما بينه من كسر يميني $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ غير أولي يمينياً بالضرورة. وعندئذ، على نحو مماثل لـ (7.83)، نشكّل

$$ \left[ - \bar {\mathbf {N}} _ {0} \bar {\mathbf {D}} _ {0}: - \bar {\mathbf {N}} _ {1} \bar {\mathbf {D}} _ {1}: - \bar {\mathbf {N}} _ {2} \bar {\mathbf {D}} _ {2}: - \bar {\mathbf {N}} _ {3} \bar {\mathbf {D}} _ {3} \right] \mathbf {T} = \mathbf {0} \tag {7.88} $$

حيث

$$ \mathbf {T} := \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \mathbf {D} _ {0} & \mathbf {D} _ {1} & \mathbf {D} _ {2} & \mathbf {D} _ {3} & \mathbf {D} _ {4} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {N} _ {0} & \mathbf {N} _ {1} & \mathbf {N} _ {2} & \mathbf {N} _ {3} & \mathbf {N} _ {4} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \mathbf {0} & \mathbf {D} _ {0} & \mathbf {D} _ {1} & \mathbf {D} _ {2} & \mathbf {D} _ {3} & \mathbf {D} _ {4} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {N} _ {0} & \mathbf {N} _ {1} & \mathbf {N} _ {2} & \mathbf {N} _ {3} & \mathbf {N} _ {4} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {D} _ {0} & \mathbf {D} _ {1} & \mathbf {D} _ {2} & \mathbf {D} _ {3} & \mathbf {D} _ {4} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {N} _ {0} & \mathbf {N} _ {1} & \mathbf {N} _ {2} & \mathbf {N} _ {3} & \mathbf {N} _ {4} & \mathbf {0} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {D} _ {0} & \mathbf {D} _ {1} & \mathbf {D} _ {2} & \mathbf {D} _ {3} & \mathbf {D} _ {4} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {N} _ {0} & \mathbf {N} _ {1} & \mathbf {N} _ {2} & \mathbf {N} _ {3} & \mathbf {N} _ {4} \end{array} \right] \tag {7.89} $$

نبحث عن الصفوف المستقلة خطياً من الأعلى إلى الأسفل. عندئذ تكون جميع صفوف $ D $ مستقلة خطياً. لنستخدم مصطلح صف $ Ni $ للدلالة على الصف $ i $ من صفوف $ N $ في كل صف كتلي $ N $. إذا أصبح صف $ Ni $ معتمداً خطياً فإن جميع صفوف $ Ni $ في الصفوف الكتلية $ N $ اللاحقة ستكون معتمدة خطياً على الصفوف السابقة لها. يُسمّى أول صف $ Ni $ يصبح معتمداً خطياً صف $ Ni $ المعتمد الرئيس. لتكن $ \nu_{i}, i = 1,2,\ldots,q $، أعداد الصفوف المستقلة خطياً من نوع $ Ni $. تُسمّى هذه مؤشرات الصفوف (row indices) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. وبالمقابل للنظرية 7.M4 نحصل على النتيجة التالية.

نتيجة 7.M4 

لتكن $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ كسراً يمينياً، ليس بالضرورة أولياً يمينياً. نستخدم مصفوفات معاملات $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ لتشكيل المحصّل المعمّم $ \mathbf{T} $ المبين في (7.89) ونبحث عن صفوفه المستقلة خطياً من الأعلى إلى الأسفل. لتكن $ \nu_{i} $ لـ $ i = 1,2,\ldots,q $ أعداد الصفوف المستقلة خطياً من نوع $ Ni $ في $ \mathbf{T} $. عندئذ نحصل على

$$ \deg \hat {\mathbf {G}} (s) = v _ {1} + v _ {2} + \dots + v _ {q} $$

ويمكن الحصول على كسر يساري أولي فيما بينه $ \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $ بحساب $ q $ متجهات صفرية يسارية أحادية للمصفوفات $ q $ المتشكلة من كل صف $ Ni $ معتمد رئيس وجميع الصفوف المستقلة خطياً السابقة له.

المصفوفة كثير الحدود $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ الناتجة في نتيجة 7.M4 مختزلة صفوف بدرجات صفوف $ \{\nu_i, i = 1,2,\ldots,q\} $. وفي الواقع فهي في صيغة السلم الصفّي (row echelon form)، أي إن مصفوفة معاملات درجات الصفوف، بعد بعض تبديل الصفوف، تكون مصفوفة مثلثية سفلية وحدية (unit lower triangular).