7.8 الكسور كثيرة الحدود المصفوفية (matrix polynomial fractions) 

    يُقال إن كثيري حدود أوليان فيما بينهما إذا لم يكن لهما جذر مشترك. ولتوسيع هذا المفهوم إلى الحالة المصفوفية نعيد صياغة التعريف. يُسمّى كثير الحدود $ R(s) $ عاملاً مشتركاً أو قاسماً مشتركاً لـ $ D(s) $ و$ N(s) $ إذا كان كل من $ D(s) $ و$ N(s) $ يقبل القسمة على $ R(s) $ دون باقٍ. ويُسمّى كثير الحدود $ R(s) $ قاسماً مشتركاً أعظم (gcd) لـ $ D(s) $ و$ N(s) $ إذا (1) كان قاسماً مشتركاً لـ $ D(s) $ و$ N(s) $ و(2) يقبل القسمة دون باقٍ من كل قاسم مشترك آخر لـ $ D(s) $ و$ N(s) $. لاحظ أنه إذا كان $ R(s) $ قاسماً مشتركاً أعظم، فإن $ \alpha R(s) $ كذلك لأي ثابت غير صفري $ \alpha $. لذا فالقواسم المشتركة الأعظمية ليست فريدة.6 وبالاستناد إلى gcd، يكون كثير الحدين $ D(s) $ و$ N(s) $ أوليين فيما بينهما إذا كان gcd الخاص بهما $ R(s) $ ثابتاً غير صفري، أي كثير حدود من الدرجة 0؛ ويكونان غير أوليين فيما بينهما إذا كانت درجة gcd تساوي 1 أو أكثر. إذا كان $ R(s) $ قاسماً مشتركاً أعظم لـ $ N(s) $ و$ D(s) $ بدرجة 1 أو أعلى، فيمكننا كتابة $ N(s) = \bar{N}(s)R(s) $ و$ D(s) = \bar{D}(s)R(s) $. عندئذ يكون الكسر كثير الحدود $ \bar{N}(s)/\bar{D}(s) = \bar{N}(s)\bar{D}^{-1}(s) $ أولياً فيما بينه.

    لكل كثيري حدود $ N(s) $ و$ D(s) $ لدينا $ N(s)D^{-1}(s) = D^{-1}(s)N(s) $. أما في المصفوفات كثيرة الحدود فالوضع أكثر تعقيداً. أولاً، يُعرَّف معكوس المصفوفة كثيرة الحدود فقط إذا كانت مربعة. علاوة على ذلك، لأي مصفوفتين كثيرتي حدود مربعتيتين $ \mathbf{N}(s) $ و$ \mathbf{D}(s) $، عموماً يكون $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) \neq \mathbf{D}^{-1}(s)\mathbf{N}(s) $. وبسبب هذه الخاصية غير التبادلية تصبح مرتبة مصفوفات كثيرات الحدود أو مواضعها أمراً حاسماً في النقاش اللاحق.

    يمكن التعبير عن أي مصفوفة كسرية مناسبة $ q \times p $ على الصورة

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \tag {7.76} $$

    حيث إن $ \mathbf{N}(s) $ و$ \mathbf{D}(s) $ مصفوفتان كثيرتا حدود بأبعاد $ q \times p $ و$ p \times p $. فمثلاً يمكن التعبير عن المصفوفة الكسرية $ 2 \times 3 $ في المثال 7.6.2 على الصورة

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{r r r} s & 1 & s \\ - 1 & 1 & s + 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} s + 1 & 0 & 0 \\ 0 & (s + 1) (s + 2) & 0 \\ 0 & 0 & s (s + 3) \end{array} \right] ^ {- 1} \tag {7.77} $$

    العناصر القطرية الثلاثة لـ $ \mathbf{D}(s) $ في (7.77) هي أصغر مقامات مشتركة للأعمدة الثلاثة في $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. يُسمّى الكسر في (7.76) أو (7.77) كسرًا كثير الحدود يمينياً (right polynomial fraction) أو ببساطة كسرًا يمينياً. وبالمقابل للمعادلة (7.76)، فإن التعبير

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) $$

    حيث إن $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ و$ \bar{\mathbf{N}}(s) $ مصفوفتان كثيرتا حدود بأبعاد $ q \times q $ و$ q \times p $، يُسمّى كسرًا كثير الحدود يسارياً (left polynomial fraction) أو ببساطة كسرًا يسارياً.

    لتكن $ \mathbf{R}(s) $ أي مصفوفة كثير حدود بأبعاد $ p\times p $. عندئذ نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} (s) = [ \mathbf {N} (s) \mathbf {R} (s) ] [ \mathbf {D} (s) \mathbf {R} (s) ] ^ {- 1} \\ = \mathbf {N} (s) \mathbf {R} (s) \mathbf {R} ^ {- 1} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \\ \end{array} $$

    وهكذا فإن الكسور اليمنية غير فريدة، وكذلك الكسور اليسارية. وسنقدّم فيما يلي الكسور الأولية فيما بينها يمينياً (right coprime fractions).

    اعتبر $ \mathbf{A}(s) = \mathbf{B}(s)\mathbf{C}(s) $ حيث إن $ \mathbf{A}(s), \mathbf{B}(s) $ و$ \mathbf{C}(s) $ كثيرات حدود بمقاسات متوافقة. نسمي $ \mathbf{C}(s) $ قاسماً يمينياً لـ $ \mathbf{A}(s) $ ونسمي $ \mathbf{A}(s) $ مضاعفاً يسارياً لـ $ \mathbf{C}(s) $. وبالمثل نسمي $ \mathbf{B}(s) $ قاسماً يسارياً لـ $ \mathbf{A}(s) $ ونسمي $ \mathbf{A}(s) $ مضاعفاً يمينياً لـ $ \mathbf{B}(s) $.

    اعتبر مصفوفتين كثيرتي حدود $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ لهما العدد نفسه من الأعمدة. تُسمّى مصفوفة كثير حدود مربعة $ \mathbf{R}(s) $ قاسماً يمينياً مشتركاً لـ $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ إذا وجدت مصفوفتا كثير حدود $ \hat{\mathbf{D}}(s) $ و$ \hat{\mathbf{N}}(s) $ بحيث

    $$ \mathbf {D} (s) = \hat {\mathbf {D}} (s) \mathbf {R} (s) \quad \text{and} \quad \mathbf {N} (s) = \hat {\mathbf {N}} (s) \mathbf {R} (s) $$

    لاحظ أن $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ قد يكون لهما عدد مختلف من الصفوف.

    التعريف 7.2 تُسمّى مصفوفة كثير حدود مربعة $ \mathbf{M}(s) $ مصفوفة أحادية (unimodular matrix) إذا كان محددها غير صفري ومستقلاً عن $ s $.

    المصفوفات كثيرة الحدود التالية كلها مصفوفات أحادية:

    $$ \left[ \begin{array}{l l} 2 s & s ^ {2} + s + 1 \\ 2 & s + 1 \end{array} \right], \quad \left[ \begin{array}{c c} - 2 & s ^ {1 0} + s + 1 \\ 0 & 3 \end{array} \right], \quad \left[ \begin{array}{c c} s & s + 1 \\ s - 1 & s \end{array} \right] $$

    من الواضح أن حاصل ضرب مصفوفتين أحاديتين مصفوفة أحادية. اعتبر

    $$ \det \mathbf {M} (s) \det \mathbf {M} ^ {- 1} (s) = \det [ \mathbf {M} (s) \mathbf {M} ^ {- 1} (s) ] = \det \mathbf {I} = 1 $$

    مما يعني أنه إذا كان محدد $ \mathbf{M}(s) $ ثابتاً غير صفري، فإن محدد $ \mathbf{M}^{-1}(s) $ ثابت غير صفري أيضاً. وبالتالي فإن معكوس المصفوفة الأحادية $ \mathbf{M}(s) $ هو أيضاً مصفوفة أحادية.

    التعريف 7.3 تُسمّى مصفوفة كثير حدود مربعة $ \mathbf{R}(s) $ قاسماً يمينياً مشتركاً أعظم (gcd) لـ $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ إذا (i) كانت $ \mathbf{R}(s) $ قاسماً يمينياً مشتركاً لـ $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ و(ii) كانت $ \mathbf{R}(s) $ مضاعفاً يسارياً لكل قاسم يميني مشترك لـ $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $. إذا كان gcd مصفوفة أحادية، فإن $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ يُقال إنهما أوليان يمينياً (right coprime).

    وبالمقابل لهذا التعريف، تُسمّى مصفوفة كثير حدود مربعة $ \mathbf{R}(s) $ قاسماً يسارياً مشتركاً أعظم (gcld) لـ $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ إذا (i) كانت $ \mathbf{R}(s) $ قاسماً يسارياً مشتركاً لـ $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ و(ii) كانت $ \mathbf{R}(s) $ مضاعفاً يمينياً لكل قاسم يساري مشترك لـ $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $. إذا كان gcld مصفوفة أحادية، فإن $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ يُقال إنهما أوليان يسارياً (left coprime).

    التعريف 7.4 اعتبر مصفوفة كسرية مناسبة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مفككة على الصورة

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) = \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) $$

    حيث إن $ \mathbf{N}(s) $ و$ \mathbf{D}(s) $ أوليان يمينياً، و$ \bar{\mathbf{N}}(s) $ و$ \bar{\mathbf{D}}(s) $ أوليان يسارياً. عندئذ يُعرَّف كثير الحدود المميز لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ بأنه

    $$ \det \mathbf {D} (s) \qquad \text{or} \qquad \det \bar {\mathbf {D}} (s) $$

    وتُعرَّف درجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ بأنها

    $$ \deg \hat {\mathbf {G}} (s) = \deg \det \mathbf {D} (s) = \deg \det \bar {\mathbf {D}} (s) $$

    اعتبر

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) = [ \mathbf {N} (s) \mathbf {R} (s) ] [ \mathbf {D} (s) \mathbf {R} (s) ] ^ {- 1} \tag {7.78} $$

    ومن الواضح أن

    $$ \det \mathbf {D} (s) = \det [ \mathbf {D} (s) \mathbf {R} (s) ] = \det \mathbf {D} (s) \det \mathbf {R} (s) $$

    مما يعني

    $$ \det \mathbf {D} (s) = \det \mathbf {D} (s) + \det \mathbf {R} (s) $$

    وعليه يمكننا الاستنتاج أنه إذا كان $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ كسرًا أولياً فيما بينه، فإن $ \mathbf{D}(s) $ تمتلك أصغر درجة محددية ممكنة، وتُعرَّف الدرجة بأنها درجة مصفوفة التحويل. وبالتالي يمكن تعريف الكسر الأولي فيما بينه أيضاً بوصفه كسراً لمصفوفة كثير حدود ذات أصغر درجة محددية للمقام. ومن (7.78) نرى أن الكسور الأولية فيما بينها ليست فريدة؛ إذ يمكن أن تختلف بمصفوفة أحادية. وقد عُرّف كل قطب من أقطاب كل عنصر في $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ بأنه قطب لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. إذا كتبنا $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ فإن كل جذر لـ $ \det \mathbf{D}(s) $ هو قطب لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ إذا وفقط إذا كان $ \mathbf{N}(s) $ و$ \mathbf{D}(s) $ أوليين فيما بينهما. وهذا مطابق للحالة القياسية.

    قدمنا التعريفين 7.1 و7.4 لتعريف درجة المصفوفات الكسرية. ويمكن إثبات تكافؤهما باستخدام صيغة سميث-ماكميلان (Smith-McMillan form)، ولن نناقش ذلك هنا. ويُحال القارئ المهتم إلى المرجع 13 على سبيل المثال.