7.9 تحقيق من الكسور الأولية فيما بينها للمصفوفات (matrix coprime fractions) 

كي لا تُربكنا الرموز، سنناقش تحقيق مصفوفة كسرية مناسبة تماماً $ 2 \times 2 $ هي $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مكتوبة على الصورة

$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \tag {7.90} $$

حيث إن $ \mathbf{N}(s) $ و$ \mathbf{D}(s) $ أوليان يمينياً و$ \mathbf{D}(s) $ في صيغة السلم العمودي (column echelon form). نفترض أيضاً أن درجات أعمدة $ \mathbf{D}(s) $ هي $ \mu_1 = 4 $ و$ \mu_2 = 2 $. نعرّف أولاً

$$ \mathbf {H} (s) := \left[ \begin{array}{c c} s ^ {\mu_ {1}} & 0 \\ 0 & s ^ {\mu_ {2}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {4} & 0 \\ 0 & s ^ {2} \end{array} \right] \tag {7.91} $$

$$ \mathbf {L} (s) := \left[ \begin{array}{c c} s ^ {\mu_ {1} - 1} & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 0 \\ 0 & s ^ {\mu_ {2} - 1} \\ \vdots & \vdots \\ 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {3} & 0 \\ s ^ {2} & 0 \\ s & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & s \\ 0 & 1 \end{array} \right] \tag {7.92} $$

إجراء تطوير تحقيق لـ

$$ \hat {\mathbf {y}} (s) = \hat {\mathbf {G}} (s) \hat {\mathbf {u}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {u}} (s) $$

يشابه إلى حد كبير الحالة القياسية من (7.3) حتى (7.9). نعرّف أولاً متغيراً جديداً $ \mathbf{v}(t) $ بحيث $ \hat{\mathbf{v}}(s) = \mathbf{D}^{-1}(s)\hat{\mathbf{u}}(s) $. لاحظ أن $ \hat{\mathbf{v}}(s) $، والتي تُسمّى حالة زائفة (pseudo state)، هي متجه عمودي $ 2 \times 1 $. عندئذ نحصل على

$$ \mathbf {D} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) = \hat {\mathbf {u}} (s) \tag {7.93} $$

$$ \hat {\mathbf {y}} (s) = \mathbf {N} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) \tag {7.94} $$

لنعرّف متغيرات الحالة كما يلي

$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {x}} (s) = \mathbf {L} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {\mu_ {1} - 1} & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 0 \\ 0 & s ^ {\mu_ {2} - 1} \\ \vdots & \vdots \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \hat {v} _ {1} (s) \\ \hat {v} _ {2} (s) \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{l} s ^ {3} \hat {v} _ {1} (s) \\ s ^ {2} \hat {v} _ {1} (s) \\ s \hat {v} _ {1} (s) \\ \hat {v} _ {1} (s) \\ s \hat {v} _ {2} (s) \\ \hat {v} _ {2} (s) \end{array} \right] =: \left[ \begin{array}{l} x _ {1} (s) \\ x _ {2} (s) \\ x _ {3} (s) \\ x _ {4} (s) \\ x _ {5} (s) \\ x _ {6} (s) \end{array} \right] \tag {7.95} \\ \end{array} $$

أو في المجال الزمني،

$$ \begin{array}{l} x _ {1} (t) = \nu_ {1} ^ {(3)} (t), \quad x _ {2} (t) = \ddot {\nu} _ {1} (t), \quad x _ {3} (t) = \dot {\nu} _ {1} (t), \quad x _ {4} (t) = \nu_ {1} (t) \\ x _ {5} (t) = \dot {v} _ {2} (t), \quad x _ {6} (t) = v _ {2} (t) \\ \end{array} $$

هذا متجه حالة بعده $ \mu_1 + \mu_2 = 6 $. وتستلزم هذه التعريفات فوراً

$$ \dot {x} _ {2} = x _ {1}, \quad \dot {x} _ {3} = x _ {2}, \quad \dot {x} _ {4} = x _ {3}, \quad \dot {x} _ {6} = x _ {5} \tag {7.96} $$

نستخدم الآن (7.93) لتطوير معادلات $ \dot{x}_1 $ و$ \dot{x}_5 $. نكتب أولاً $ \mathbf{D}(s) $ على الصورة

$$ \mathbf {D} (s) = \mathbf {D} _ {h c} \mathbf {H} (s) + \mathbf {D} _ {l c} \mathbf {L} (s) \tag {7.97} $$

حيث إن $ \mathbf{H}(s) $ و$ \mathbf{L}(s) $ معرّفتان في (7.91) و(7.92). لاحظ أن $ \mathbf{D}_{hc} $ و$ \mathbf{D}_{lc} $ مصفوفتان ثابتتان وأن مصفوفة معاملات درجات الأعمدة $ \mathbf{D}_{hc} $ مصفوفة مثلثية علوية وحدية. بالتعويض من (7.97) في (7.93) نحصل على

$$ [ \mathbf {D} _ {h c} \mathbf {H} (s) + \mathbf {D} _ {l c} \mathbf {L} (s) ] \hat {\mathbf {v}} (s) = \hat {\mathbf {u}} (s) $$

أو

$$ \mathbf {H} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) + \mathbf {D} _ {h c} ^ {- 1} \mathbf {D} _ {l c} \mathbf {L} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) = \mathbf {D} _ {h c} ^ {- 1} \hat {\mathbf {u}} (s) $$

ومن ثم نحصل، باستخدام (7.95)، على

$$ \mathbf {H} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) = - \mathbf {D} _ {h c} ^ {- 1} \mathbf {D} _ {l c} \hat {\mathbf {x}} (s) + \mathbf {D} _ {h c} ^ {- 1} \hat {\mathbf {u}} (s) \tag {7.98} $$

لتكن

$$ \mathbf {D} _ {h c} ^ {- 1} \mathbf {D} _ {l c} =: \left[ \begin{array}{c c c c c c} \alpha_ {1 1 1} & \alpha_ {1 1 2} & \alpha_ {1 1 3} & \alpha_ {1 1 4} & \alpha_ {1 2 1} & \alpha_ {1 2 2} \\ \alpha_ {2 1 1} & \alpha_ {2 1 2} & \alpha_ {2 1 3} & \alpha_ {2 1 4} & \alpha_ {2 2 1} & \alpha_ {2 2 2} \end{array} \right] \tag {7.99} $$

$$ \mathbf {D} _ {h c} ^ {- 1} =: \left[ \begin{array}{l l} 1 & b _ {1 2} \\ 0 & 1 \end{array} \right] \tag {7.100} $$

لاحظ أن معكوس المصفوفة المثلثية العلوية الوحدية هو أيضاً مصفوفة مثلثية علوية وحدية. بالتعويض من (7.99) و(7.100) في (7.98) واستخدام $ s\hat{x}_1(s) = s^4\hat{v}_1(s) $ و$ s\hat{x}_5(s) = s^2\hat{v}_2(s) $ نحصل على

$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} s \hat {x} _ {1} (s) \\ s \hat {x} _ {5} (s) \end{array} \right] = - \left[ \begin{array}{l l l l l l} \alpha_ {1 1 1} & \alpha_ {1 1 2} & \alpha_ {1 1 3} & \alpha_ {1 1 4} & \alpha_ {1 2 1} & \alpha_ {1 2 2} \\ \alpha_ {2 1 1} & \alpha_ {2 1 2} & \alpha_ {2 1 3} & \alpha_ {2 1 4} & \alpha_ {2 2 1} & \alpha_ {2 2 2} \end{array} \right] \hat {\mathbf {x}} (s) \\ + \left[ \begin{array}{c c} 1 & b _ {1 2} \\ 0 & 1 \end{array} \right] \hat {\mathbf {u}} (s) \\ \end{array} $$

والتي تصبح في المجال الزمني

$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {x} _ {1} (t) \\ \dot {x} _ {5} (t) \end{array} \right] = - \left[ \begin{array}{c c c c c c} \alpha_ {1 1 1} & \alpha_ {1 1 2} & \alpha_ {1 1 3} & \alpha_ {1 1 4} & \alpha_ {1 2 1} & \alpha_ {1 2 2} \\ \alpha_ {2 1 1} & \alpha_ {2 1 2} & \alpha_ {2 1 3} & \alpha_ {2 1 4} & \alpha_ {2 2 1} & \alpha_ {2 2 2} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ + \left[ \begin{array}{c c} 1 & b _ {1 2} \\ 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \tag {7.101} \\ \end{array} $$

إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ مناسبة تماماً، فإن درجات أعمدة $ \mathbf{N}(s) $ أقل من درجات الأعمدة المناظرة في $ \mathbf{D}(s) $. وعليه يمكننا كتابة $ \mathbf{N}(s) $ على الصورة

$$ \mathbf {N} (s) = \left[ \begin{array}{l l l l l l} \beta_ {1 1 1} & \beta_ {1 1 2} & \beta_ {1 1 3} & \beta_ {1 1 4} & \beta_ {1 2 1} & \beta_ {1 2 2} \\ \beta_ {2 1 1} & \beta_ {2 1 2} & \beta_ {2 1 3} & \beta_ {2 1 4} & \beta_ {2 2 1} & \beta_ {2 2 2} \end{array} \right] \mathbf {L} (s) \tag {7.102} $$

وبالتعويض في (7.94) واستخدام $ \hat{\mathbf{x}}(s) = \mathbf{L}(s)\hat{\mathbf{v}}(s) $ نحصل على

$$ \hat {\mathbf {y}} (s) = \left[ \begin{array}{l l l l l l} \beta_ {1 1 1} & \beta_ {1 1 2} & \beta_ {1 1 3} & \beta_ {1 1 4} & \beta_ {1 2 1} & \beta_ {1 2 2} \\ \beta_ {2 1 1} & \beta_ {2 1 2} & \beta_ {2 1 3} & \beta_ {2 1 4} & \beta_ {2 2 1} & \beta_ {2 2 2} \end{array} \right] \hat {\mathbf {x}} (s) \tag {7.103} $$

وبجمع (7.96) و(7.101) و(7.103) نحصل على التحقيق التالي لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $:

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c c c} - \alpha_ {1 1 1} & - \alpha_ {1 1 2} & - \alpha_ {1 1 3} & - \alpha_ {1 1 4} & \vdots & - \alpha_ {1 2 1} & - \alpha_ {1 2 2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ - \alpha_ {2 1 1} & - \alpha_ {2 1 2} & - \alpha_ {2 1 3} & - \alpha_ {2 1 4} & \vdots & - \alpha_ {2 2 1} & - \alpha_ {2 2 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\ + \left[ \begin{array}{c c} 1 & b _ {1 2} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \dots & \dots \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$

$$ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l l l} \beta_ {1 1 1} & \beta_ {1 1 2} & \beta_ {1 1 3} & \beta_ {1 1 4} & \vdots & \beta_ {1 2 1} & \beta_ {1 2 2} \\ \beta_ {2 1 1} & \beta_ {2 1 2} & \beta_ {2 1 3} & \beta_ {2 1 4} & \vdots & \beta_ {2 2 1} & \beta_ {2 2 2} \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \tag {7.104} $$

هذه معادلة فضاء حالة بعدُها $ (\mu_{1} + \mu_{2}) $. لمصفوفة A كتلتان قطريتان بصيغة مرافقة؛ واحدة بمرتبة $ \mu_{1} = 4 $ والأخرى بمرتبة $ \mu_{2} = 2 $. والكتل خارج القطر صفرية باستثناء صفوفها الأولى. هذه معادلة فضاء الحالة تعميم لمعادلة (7.9) لمصفوفات تحويل ذات دخلين وخرجين. يمكننا بسهولة إظهار أن (7.104) قابلة للتحكم دائماً وتسمّى تحقيقاً بصيغة القابلية للتحكم (controllable-form realization). علاوة على ذلك فإن مؤشرات القابلية للتحكم تساوي $ \mu_{1} = 4 $ و$ \mu_{2} = 2 $. وكما في (7.9) فإن معادلة فضاء الحالة في (7.104) قابلة للرصد إذا وفقط إذا كان $ \mathbf{D}(s) $ و$ \mathbf{N}(s) $ أوليين يمينياً. ولبرهان ذلك راجع المرجع 6، ص. 282. وبما أننا بدأنا بكسر أولي فيما بينه $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $، فإن التحقيق في (7.104) قابل للرصد أيضاً. وخلاصة القول إن التحقيق في (7.104) قابل للتحكم والرصد وبُعده يساوي $ \mu_1 + \mu_{2} $ وبالرجوع إلى النظرية 7.M4 يساوي درجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. وهذا يثبت الجزء الثاني من النظرية 7.M2؛ أي إن معادلة فضاء الحالة أدنى أو قابلة للتحكم والرصد إذا وفقط إذا كان بُعدها يساوي درجة مصفوفة التحويل.

مثال 7.9.1 اعتبر مصفوفة التحويل في المثال 7.7.1. هناك قدّمنا تحقيقاً أدنى أُخذ باختزال التحقيق غير الأدنى في (4.47). والآن سنطوّر مباشرة تحقيقاً أدنى باستخدام كسر أولي فيما بينه. نكتب أولاً

مصفوفة التحويل كما يلي

$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {4 s - 1 0}{2 s + 1} & \frac {3}{s + 2} \\ \frac {1}{(2 s + 1) (s + 2)} & \frac {s + 1}{(s + 2) ^ {2}} \end{array} \right] =: \hat {\mathbf {G}} (\infty) + \hat {\mathbf {G}} _ {s p} (s) \\ = \left[ \begin{array}{l l} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c} \frac {- 1 2}{2 s + 1} & \frac {3}{s + 2} \\ \frac {1}{(2 s + 1) (s + 2)} & \frac {s + 1}{(s + 2) ^ {2}} \end{array} \right] \\ \end{array} $$

كما في المثال 7.8.1 يمكننا إيجاد كسر يميني أولي فيما بينه للجزء المناسب تماماً من $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ على الصورة

$$ \hat {\mathbf {G}} _ {s p} (s) = \left[ \begin{array}{c c} - 6 s - 1 2 & - 9 \\ 0. 5 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} + 2. 5 s + 1 & 2 s + 1 \\ 0 & s + 2 \end{array} \right] ^ {- 1} $$

لاحظ أن مصفوفة المقام هي نفسها في (7.86). انظر المسألة 7.24. ومن الواضح أن $ \mu_1 = 2 $ و$ \mu_2 = 1 $. نعرّف

$$ \mathbf {H} (s) = \left[ \begin{array}{l l} s ^ {2} & 0 \\ 0 & s \end{array} \right], \quad \mathbf {L} (s) = \left[ \begin{array}{l l} s & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] $$

وبالتالي نحصل على

$$ \mathbf {D} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {H} (s) + \left[ \begin{array}{l l l} 2. 5 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] \mathbf {L} (s) $$

$$ \mathbf {N} (s) = \left[ \begin{array}{c c c} - 6 & - 1 2 & - 9 \\ 0 & 0. 5 & 1 \end{array} \right] \mathbf {L} (s) $$

نحسب

$$ \mathbf {D} _ {h c} ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right] $$

$$ \mathbf {D} _ {h c} ^ {- 1} \mathbf {D} _ {k ^ {\prime}} = \left[ \begin{array}{l l} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l} 2. 5 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l} 2. 5 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] $$

وبذلك يكون تحقيق أدنى لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ هو

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} - 2. 5 & - 1 & \vdots & 3 \\ 1 & 0 & \vdots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \vdots & - 2 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c c} 1 & - 2 \\ 0 & 0 \\ \dots & \dots \\ 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} - 6 & - 1 2 & \vdots & - 9 \\ 0 & 0. 5 & \vdots & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c c} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \tag {7.105} \\ \end{array} $$

لمصفوفة A كتلتان قطريتان بصيغة مرافقة: إحداهما بمرتبة 2 والأخرى بمرتبة 1. هذا التحقيق ثلاثي الأبعاد تحقيق أدنى وهو في صيغة القابلية للتحكم. وبمقارنته بالتحقيق الأدنى في المثال 7.7.1 نجد أن تحقيق صيغة القابلية للتحكم في (7.105) يتكوّن من كثير من الأصفار والواحدات، ولذلك فإن تحقيقه بدارات المضخم التشغيلي (op-amp) سيستخدم عدداً أقل من المكونات. لذا فإن التحقيق باستخدام كسر أولي فيما بينه مهم.

وبالمقابل لهذا التحقيق الأدنى، إذا استخدمنا $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $ حيث إن $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ و$ \bar{\mathbf{N}}(s) $ أوليان يسارياً و$ \bar{\mathbf{D}}(s) $ في صيغة السلم الصفّي (row echelon form) بدرجات صفوف $ \{\nu_i, i = 1,2,\ldots,q\} $، فيمكننا الحصول على تحقيق بصيغة القابلية للرصد (observable-form realization) بمؤشرات رصد $ \{\nu_i, i = 1,2,\ldots,q\} $. ولن نكرر ذلك هنا.

نلخّص النتائج الأساسية فيما يلي. كما في حالة SISO، تكون معادلة فضاء الحالة في MIMO ذات البعد $ n $ قابلة للتحكم وقابلة للرصد إذا كانت مصفوفة التحويل درجتها $ n $. وإذا عُبِّر عن مصفوفة تحويل مناسبة ككسر يميني أولي فيما بينه مع تحقق الاختزال العمودي، فإن التحقيق الناتج من الإجراء السابق سيكون قابلاً للتحكم والرصد تلقائياً.

لتكن $ (\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}) $ تحقيقاً أدنى لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ولتكن $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ كسوراً أولية فيما بينها: $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ مختزلة صفوفاً و$ \mathbf{D}(s) $ مختزلة أعمدة. عندئذ لدينا

$$ \mathbf {C} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ^ {- 1} \mathbf {B} + \mathbf {D} = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) = \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) $$

مما يعني

$$ \begin{array}{l} \frac {1}{\det (s \mathbf {I} - \mathbf {A})} \mathbf {C} [ \operatorname {A d j} (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) ] \mathbf {B} + \mathbf {D} = \frac {1}{\det \mathbf {D} (s)} \mathbf {N} (s) [ \operatorname {A d j} (\mathbf {D} (s)) ] \\ = \frac {1}{\det \bar {\mathbf {D}} (s)} [ \operatorname {A d j} (\bar {\mathbf {D}} (s)) ] \bar {\mathbf {N}} (s) \\ \end{array} $$

وبما أن كثيرات الحدود الثلاثة $ \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ و$ \det\mathbf{D}(s) $ و$ \det\bar{\mathbf{D}}(s) $ لها الدرجة نفسها، فيجب أن تمثل كثير الحدود نفسه مع احتمال اختلاف معاملات المقدمة. لذا نستنتج ما يلي:

$ \deg \hat{\mathbf{G}}(s) = \deg \det \mathbf{D}(s) = \deg \det \bar{\mathbf{D}}(s) = \dim \mathbf{A} $.
كثير الحدود المميز لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) = k_1 $ det $ \mathbf{D}(s) = k_2 $ det $ \bar{\mathbf{D}}(s) = k_3 $ det $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $ لثوابت غير صفرية $ k_i $.
مجموعة درجات الأعمدة لـ $ \mathbf{D}(s) $ تساوي مجموعة مؤشرات القابلية للتحكم لـ $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $
مجموعة درجات الصفوف لـ $ \mathbf{D}(s) $ تساوي مجموعة مؤشرات القابلية للرصد لـ $ (\mathbf{A},\mathbf{C}) $

نرى أن الكسور الأولية فيما بينها ومعادلات فضاء الحالة القابلة للتحكم والرصد تحمل جوهرياً المعلومات نفسها. لذا يمكن استخدام أي من الوصفين في التحليل والتصميم.