المسائل 

    7.1 معطى

    $$ \hat {g} (s) = \frac {s + 2}{(s ^ {2} - 1) (s + 2)} $$

    أوجد تحقيقًا (realization) قابلًا للتحكم (controllable) ثلاثي الأبعاد. تحقق من قابلية الملاحظة (observability).

    7.2 أوجد تحقيقًا قابلًا للملاحظة (observable) ثلاثي الأبعاد لدالة الانتقال في المسألة 7.1. تحقق من قابلية التحكم (controllability).
    7.3 أوجد تحقيقًا غير قابل للتحكم وغير قابل للملاحظة (uncontrollable and unobservable) لدالة الانتقال في المسألة 7.1. أوجد أيضًا تحقيقًا أدنى (minimal realization).

    7.4 اعتبر الدارة المبينة في الشكل 2.21(a). هل معادلة فضاء الحالة الثنائية الأبعاد المطوّرة في المسألة 2.11 قابلة للتحكم وقابلة للملاحظة؟ هل تُوصف الدارة بالكامل بدالة انتقالها؟ أوجد دارة أبسط تُوصف بالكامل بدالة الانتقال.

    7.5 اعتبر الدارة المبينة في الشكل 2.21(b). هل معادلة فضاء الحالة ثلاثية الأبعاد المطوّرة في المسألة 2.12 قابلة للتحكم وقابلة للملاحظة؟ هل تُوصف الدارة بالكامل بدالة انتقالها؟ أوجد دارة أبسط تُوصف بالكامل بدالة الانتقال.

    7.6 اعتبر الدارة المبينة في الشكل 2.22 والمدروسة في المسألة 2.13. احسب دالة الانتقال باستخدام المعاوقات (impedances). هل تُوصف الدارة بالكامل بدالة الانتقال؟ أوجد دارة أبسط تُوصف بالكامل بدالة الانتقال.

    7.7 استخدم ناتج Sylvester (Sylvester resultant) لإيجاد درجة دالة الانتقال في المسألة 7.1.

    7.8 استخدم ناتج Sylvester (Sylvester resultant) لاختزال $ (2s - 1) / (4s^2 - 1) $ إلى كسر أولي (coprime fraction).

    7.9 كوّن ناتج Sylvester (Sylvester resultant) لـ $ \hat{g}(s) = (s + 2)/(s^2 + 2s) $ بترتيب معاملات $ N(s) $ و$ D(s) $ بترتيب تنازلي لقوى $ s $ ثم ابحث عن الأعمدة المستقلة خطيًا من اليسار إلى اليمين. هل صحيح أن جميع أعمدة $ D $ مستقلة خطيًا عن الأعمدة على يسارها (LHS columns)؟ هل صحيح أن درجة $ \hat{g}(s) $ تساوي عدد أعمدة $ N $ المستقلة خطيًا؟

    7.10 اعتبر

    $$ \hat {g} (s) = \frac {\beta_ {1} s + \beta_ {2}}{s ^ {2} + \alpha_ {1} s + \alpha_ {2}} =: \frac {N (s)}{D (s)} $$

    وتحقيقه

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c} - \alpha_ {1} & - \alpha_ {2} \\\ 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ \beta_ {1} \beta_ {2} ] \mathbf {x} (t) $$

    بيّن أن معادلة فضاء الحالة قابلة للملاحظة (observable) إذا وفقط إذا كان ناتج Sylvester (Sylvester resultant) لـ $ D(s) $ و$ N(s) $ غير منفرد (nonsingular).

    7.11 كرر المسألة 7.10 لدالة انتقال من الدرجة 3 وتحقيقها بصيغة قابلة للتحكم (controllable-form realization).
    7.12 تحقق من النظرية 7.7 لـ $ \hat{g}(s) = 1/(s + 1)^2 $ .
    7.13 استخدم معلمات Markov (Markov parameters) لـ $ \hat{g}(s) = 1/(s + 1)^2 $ لإيجاد تحقيق بصيغة المرافق غير القابل للاختزال (irreducible companion-form realization).
    7.14 استخدم معلمات Markov (Markov parameters) لـ $ \hat{g}(s) = 1/(s + 1)^2 $ لإيجاد تحقيق متوازن غير قابل للاختزال (irreducible balanced-form realization).
    7.15 اعتبر معادلتي فضاء الحالة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 2 \\\ 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 2 2 ] \mathbf {x} (t) $$

    و

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 3 & - 2 \\\ 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 2 - 2 ] \mathbf {x} (t) $$

    هل هما تحقيقان أدنيان (minimal realizations)؟ هل هما مكافئان صفريتا الحالة (zero-state equivalent)؟ هل هما مكافئان جبريًا (algebraically equivalent)؟

    7.16 تم تطوير خوارزمية بسيطة بواسطة Laub وآخرين (1987) لحساب تحويل الموازنة (balancing transformation) مباشرة من تحقيق فضاء الحالة $ \{A, B, C\} $. راجع هذا المرجع أو طريقة القسم 7.4 للحصول على تحقيق متوازن (balanced realization) للنظام الآتي.

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} 0 & 0 & 0 & - 1 5 0 \\\ 1 & 0 & 0 & - 2 4 5 \\\ 0 & 1 & 0 & - 1 1 3 \\\ 0 & 0 & 1 & - 1 9 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] x (t) \\\ \end{array} $$

    7.17 أوجد نموذجًا مخفَّض الرتبة باستخدام طريقة الاقتطاع المتوازن (balanced truncation method) لنظام المسألة 7.1 (مسألة جديدة (New Problem)). استخرج استجابة الخطوة (step response) للنموذج الكامل وثلاثة نماذج مخفّضة متوازنة. أي نموذج مخفّض يطابق استجابة النموذج الأصلي بأفضل شكل؟ تلميح (Hint): استخدم دوال MATLAB ‏balreal وbalred وكذلك استجابة الخطوة.

    7.18 يمكن أيضًا بناء نموذج مخفّض الرتبة من تحقيق متوازن مُقسَّم (partition balanced realization) (7.44) باستخدام

    $$ \dot {\bar {x}} (t) = \bar {A} \bar {x} (t) + \bar {B} u (t), y (t) = \bar {C} \bar {x} (t) $$

    حيث

    $$ \begin{array}{l} \bar {A} = A _ {1 1} - A _ {1 2} A _ {2 2} ^ {- 1} A _ {2 1} \\\ \bar {B} = B _ {1} - A _ {1 2} A _ {2 2} ^ {- 1} B _ {2} \\\ \bar {C} = C _ {1} - C _ {2} A _ {2 2} ^ {- 1} A _ {2 1} \\\ \end{array} $$

    بيّن أنه إذا كان $ \{A,B,C\} $ متوازنًا (balanced)، فإن $ \{\bar{A},\bar{B},\bar{C}\} $ متوازن أيضًا.

    طبّق هذه التقنية على نظام المسألة 7.1 (مسألة جديدة (New Problem)) وكرّر مهمة المسألة 7.2 (مسألة جديدة (New Problem)) للمقارنة.

    7.19 أوجد كثيرات الحدود المميزة (characteristic polynomials) ودرجات المصفوفات الكسرية الصحيحة (proper rational matrices) الآتية

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {1} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {1}{s} & \frac {s + 3}{s + 1} \\\ \frac {1}{s + 3} & \frac {s}{s + 1} \end{array} \right], \quad \hat {\mathbf {G}} _ {2} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {1}{(s + 1) ^ {2}} & \frac {1}{(s + 1) (s + 2)} \\\ \frac {1}{s + 2} & \frac {1}{(s + 1) (s + 2)} \end{array} \right] $$

    و

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {3} (s) = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {1}{(s + 1) ^ {2}} & \frac {s + 3}{s + 2} & \frac {1}{s + 5} \\\ \frac {1}{(s + 3) ^ {2}} & \frac {s + 1}{s + 4} & \frac {1}{s} \end{array} \right] $$

    لاحظ أن كل مدخل من $ \hat{\mathbf{G}}_3(s) $ له أقطاب مختلفة عن المداخل الأخرى.

    7.20 استخدم الكسر الأيسر

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s & 1 \\\ - s & s \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c} 1 \\\ - 1 \end{array} \right] $$

    لتكوين ناتج معمّم (generalized resultant) كما في (7.83)، ثم ابحث عن الأعمدة المستقلة خطيًا من اليسار إلى اليمين. ما عدد أعمدة $ N $ المستقلة خطيًا؟ ما درجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $؟ أوجد كسرًا أوليًا أيمنًا (right coprime fraction) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $. هل الكسر الأيسر المعطى أولي (coprime)؟

    7.21 هل كل أعمدة $ D $ في الناتج المعمّم (generalized resultant) في المسألة 7.20 مستقلة خطيًا عن الأعمدة على يسارها (LHS columns)؟ الآن عند تكوين الناتج المعمّم، تُرتَّب مصفوفات معاملات $ D(s) $ و$ N(s) $ بترتيب تنازلي لقوى $ s $ بدلًا من التصاعدي كما في المسألة 7.20. هل صحيح أن جميع أعمدة $ D $ مستقلة خطيًا عن الأعمدة على يسارها؟ هل درجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ تساوي عدد أعمدة $ N $ المستقلة خطيًا؟ هل تصح النظرية 7.M4؟

    7.22 استخدم الكسر الأولي الأيمن (right coprime fraction) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ الذي حصلت عليه في المسألة 7.20 لتكوين ناتج معمّم كما في (7.89)، وابحث عن صفوفه المستقلة خطيًا من الأعلى إلى الأسفل، ثم أوجد كسرًا أوليًا أيسر (left coprime fraction) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $.

    7.23 أوجد كسرًا أوليًا أيمنًا (right coprime fraction) لـ

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {s ^ {2} + 1}{s ^ {3}} & \frac {2 s + 1}{s ^ {2}} \\\ \frac {s + 2}{s ^ {2}} & \frac {2}{s} \end{array} \right] $$

    ثم أوجد تحقيقًا أدنى (minimal realization).

    7.24 تحقق أن الكسر الأولي (coprime fraction) في المثال 7.9.1 أو

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 2 & 0 \\\ 0 & 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c} - 6 s - 1 2 & - 9 \\\ 0. 5 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} + 2. 5 s + 1 & 2 s + 1 \\\ 0 & s + 2 \end{array} \right] ^ {- 1} $$

    يساوي الكسر الأولي في (7.86).

    7.25 أوجد القاسم المشترك الأعظم (gcd) لـ

    $$ N (s) = \left[ \begin{array}{l l} - 1 & s ^ {2} + 2 s - 1 \end{array} \right], D (s) = \left[ \begin{array}{c c} s & 3 s + 1 \\\ - 1 & s ^ {2} + s - 2 \end{array} \right] $$

    المقابل لتمثيل MFD (MFD representation) لنظام معطى بـ $ \hat{G}(s) = N(s)D^{-1}(s) $ واحصل على العوامل الأولية (coprime factors) $ \{\bar{N}(s),\bar{D}(s)\} $.

    7.26 اعتبر مصفوفات دوال الانتقال (transfer function matrices) الآتية

    $$ \hat {G} _ {1} (s) = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {s}{s + 2} & 0 & \frac {s + 1}{s + 2} \\\ 0 & \frac {s + 1}{s ^ {2}} & \frac {1}{s} \end{array} \right], \hat {G} _ {2} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {s - 1}{s ^ {2} - 1} & \frac {1}{s - 1} \\\ \frac {s ^ {2}}{s ^ {2} - 1} & \frac {2}{s - 1} \end{array} \right] $$

    (a) أوجد تمثيل MFD أيسر (left MFD) لـ $ \hat{G}_1(s) $ وتمثيل MFD أيمن (right MFD) لـ $ \hat{G}_2(s) $ بحيث تكون $ D_1(s) $ و$ D_2(s) $ قطريتين (diagonal).
    (b) افترض أن الحد $ s - 1 $ في العنصر (1,1) من $ \hat{G}_2(s) $ يُختزل قبل الحصول على تمثيل MFD أيمن. ما الفرق بين تمثيلي MFD؟

    7.27 مصفوفة دالة الانتقال (transfer function matrix) لنظام معطاة بـ $ \hat{G}(s) = N(s) D^{-1}(s) $. لتكن علاقة القاسم المشترك الأعظم (gcd) لـ $ N(s) $ و$ D(s) $ معطاة بـ

    $$ \left[ \begin{array}{l l} u _ {1 1} & u _ {1 2} \\\ u _ {2 1} & u _ {2 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} D \\\ N \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} R \\\ 0 \end{array} \right] o r \left[ \begin{array}{l} D \\\ N \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} v _ {1 1} & v _ {1 2} \\\ v _ {2 1} & v _ {2 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R \\\ 0 \end{array} \right] $$

    برهن أن $ u_{22} $ غير منفرد (nonsingular) وأن $ \hat{G}(s) $ يمكن تمثيله بتمثيل MFD غير قابل للاختزال كما يلي

    $$ \hat {G} (s) = \bar {D} (s) ^ {- 1} \bar {N} (s) = - u _ {2 2} ^ {- 1} (s) u _ {2 1} (s) $$

    7.28 أوجد أقطاب مصفوفة دالة الانتقال (transfer function matrix)

    $$ \hat {G} (s) = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {s}{s + 1} & \frac {1}{s + 2} & 0 \\\ 1 & \frac {s}{(s + 1) (s + 2)} & s \\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

    7.29 يمكن أيضًا الحصول على أقطاب وأصفار مصفوفة دالة الانتقال (transfer function matrix) $ \hat{G}(s) $ بواسطة صيغة Smith-McMillan (Smith-McMillan form) لـ $ \hat{G}(s) $. راجع الأدبيات واحصل على أقطاب وأصفار النظام المعطى في المسألة 7.7 (مسألة جديدة (New Problem)).

    7.30 أوجد تحقيقًا من نوع المتحكم (controller type realization) لـ

    $$ \begin{array}{l} \hat {G} (s) = \left[ \begin{array}{l l} \frac {1}{s + 1} & \frac {2}{s + 1} \\\ \frac {- 1}{(s + 1) (s + 2)} & \frac {1}{s + 2} \end{array} \right] \\\ = \left[ \begin{array}{c c} s + 2 & 2 (s + 2) \\\ - 1 & s + 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} (s + 1) (s + 2) & 0 \\\ 0 & (s + 1) (s + 2) \end{array} \right] ^ {- 1} \\\ \end{array} $$

    7.31 اعتبر دالة الانتقال $ \hat{G}(s) = N(s) D^{-1}(s) $ في المسألة 7.9 (مسألة جديدة (New Problem)). بيّن أن قاسمًا مشتركًا أعظم (gcd) لـ $ N(s) $ و$ D(s) $ يُعطى بـ

    $$ R (s) = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 1 \\\ 0 & s + 2 \end{array} \right] $$

    واستخرج تحقيقًا غير قابل للاختزال لـ $ \hat{G}(s) $.

    الحلول 

    7.1

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{r r r} - 2 & 1 & 2 \\\ 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] u, \quad y = [ 0 1 2 ] \mathbf {x} $$

    غير قابلة للملاحظة (observable).

    7.3

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c c c} - 2 & 1 & 2 & a _ {1} \\\ 1 & 0 & 0 & a _ {2} \\\ 0 & 1 & 0 & a _ {3} \\\ 0 & 0 & 0 & a _ {4} \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] u, \quad y = [ 0 1 - 1 c _ {4} ] \mathbf {x} $$

    لأي $ a_i $ و$ c_4 $، فهو تحقيق غير قابل للتحكم وغير قابل للملاحظة (uncontrollable and unobservable).

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\\ 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \end{array} \right] u, \quad y = [ 0 1 ] \mathbf {x} $$

    تحقيق قابل للتحكم وقابل للملاحظة.

    7.8 حل المتجه الصفري الأحادي (monic null vector) لـ

    $$ \left[ \begin{array}{r r r r} - 1 & - 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 2 & - 1 & - 1 \\\ 4 & 0 & 0 & 2 \\\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} - N _ {0} \\\ D _ {0} \\\ - N _ {1} \\\ D _ {1} \end{array} \right] = \mathbf {0} $$

    على صورة $ [-0.5 0.5 0 1] $. وبالتالي $ 0.5 / (0.5 + s) = 1 / (2s + 1) $.

    7.13

    $$ \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\\ - 2 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \end{array} \right] u, \quad y = [ 1 0 ] \mathbf {x} $$

    7.19

    $$ \Delta_ {1} (s) = s (s + 1) (s + 3), \quad \deg = 3 $$
    $$ \Delta_ {2} (s) = (s + 1) ^ {3} (s + 2) ^ {2}, \quad \deg = 5 $$
    $$ \Delta_ {3} (s) = (s + 1) ^ {2} (s + 3) ^ {2} (s + 2) (s + 4) (s + 5) s, \quad \deg = 8 $$

    7.23 يمكن حساب كسره الأولي الأيمن (right coprime fraction) من أي كسر أيسر كالتالي

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 2. 5 & s + 0. 5 \\\ 2. 5 & s + 2. 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} 0. 5 s & s ^ {2} + 0. 5 s \\\ s - 0. 5 & - 0. 5 \end{array} \right] ^ {- 1} $$

    أو، بتبديل عموديها،

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{l l} s + 0. 5 & 2. 5 \\\ s + 2. 5 & 2. 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} + 0. 5 s & 0. 5 s \\\ - 0. 5 & s - 0. 5 \end{array} \right] ^ {- 1} $$

    وباستخدام الأخيرة نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c c} - 0. 5 & - 0. 2 5 & - 0. 2 5 \\\ 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0. 5 & 0. 5 \end{array} \right] \mathbf {x} + \left[ \begin{array}{c c} 1 & - 0. 5 \\\ 0 & 0 \\\ 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {u} \\\ \mathbf {y} = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 0. 5 & 2. 5 \\\ 1 & 2. 5 & 2. 5 \end{array} \right] \mathbf {x} \\\ \end{array} $$