8.2.1 حل معادلة ليابونوف (Lyapunov Equation) 

تناقش هذه الفقرة الفرعية طريقة مختلفة لحساب كسب تغذية راجعة للحالة (state feedback gain) لإسناد القيم الذاتية (eigenvalue assignment). إلا أن هذه الطريقة لها قيد، وهو أن القيم الذاتية المختارة لا يمكن أن تتضمن أي قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ .

إجراء 8.1 

اعتبر الزوج القابل للتحكم (controllable pair) $ (\mathbf{A},\mathbf{b}) $ حيث $ \mathbf{A} $ من الرتبة $ n\times n $ و $ \mathbf{b} $ من الرتبة $ n\times 1 $ . أوجد متجها حقيقيا $ \mathbf{k} $ من الرتبة $ 1\times n $ بحيث يكون لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ أي مجموعة من القيم الذاتية المرغوبة التي لا تحتوي أي قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ .

اختر مصفوفة $ \mathbf{F} $ من الرتبة $ n \times n $ ذات مجموعة القيم الذاتية المرغوبة. يمكن اختيار شكل $ \mathbf{F} $ اعتباطيا وسيُناقش لاحقا.
اختر متجها اعتباطيا $ \bar{\mathbf{k}} $ من الرتبة $ 1 \times n $ بحيث يكون الزوج $ (\mathbf{F}, \bar{\mathbf{k}}) $ قابلا للملاحظة (observable).
حل $ \mathbf{T} $ الفريد في معادلة ليابونوف (Lyapunov equation) $ \mathbf{A}\mathbf{T} - \mathbf{T}\mathbf{F} = \mathbf{b}\bar{\mathbf{k}} $ .
احسب كسب التغذية الراجعة (feedback gain) $ \mathbf{k} = \bar{\mathbf{k}}\mathbf{T}^{-1} $

نبرر أولا الإجراء. إذا كانت $ \mathbf{T} $ غير منفردة (nonsingular)، فإن $ \bar{\mathbf{k}} = \mathbf{kT} $ ومعادلة ليابونوف $ \mathbf{A}\mathbf{T} - \mathbf{T}\mathbf{F} = \mathbf{b}\bar{\mathbf{k}} $ تقتضي

$$ (\mathbf {A} - \mathbf {b k}) \mathbf {T} = \mathbf {T F} \quad \text{or} \quad \mathbf {A} - \mathbf {b k} = \mathbf {T F T} ^ {- 1} $$

إذن فإن $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ و $ \mathbf{F} $ متشابهان (similar) ولهما مجموعة القيم الذاتية نفسها. وبذلك يمكن إسناد القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ اعتباطيا باستثناء قيم $ \mathbf{A} $ . كما نوقش في القسم 3.7، إذا كان $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ لا يشتركان في أي قيمة ذاتية، فإن حلّا $ \mathbf{T} $ يوجد في $ \mathbf{AT} - \mathbf{TF} = \mathbf{bk} $ لأي $ \mathbf{k} $ وهو فريد. إذا كان $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ يشتركان في قيم ذاتية، فقد يوجد الحل $ \mathbf{T} $ وقد لا يوجد تبعا لـ $ \mathbf{bk} $ . لإزالة هذا الغموض، نشترط ألا يكون لـ $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ قيم ذاتية مشتركة. وما تبقى إثباته هو عدم انفراد $ \mathbf{T} $ .

نظرية 8.4 

إذا كان $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ لا يشتركان في قيم ذاتية، فإن الحل الفريد $ \mathbf{T} $ لمعادلة $ \mathbf{A}\mathbf{T} - \mathbf{T}\mathbf{F} = \mathbf{b}\mathbf{k} $ يكون غير منفرد (nonsingular) إذا وفقط إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{b}) $ قابلا للتحكم (controllable) وكان $ (\mathbf{F},\mathbf{k}) $ قابلا للملاحظة (observable).

برهان: نبرهن النظرية لـ $ n = 4 $ . ليكن كثير الحدود المميِّز (characteristic polynomial) لـ $ \mathbf{A} $ هو

$$ \Delta (s) = s ^ {4} + \alpha_ {1} s ^ {3} + \alpha_ {2} s ^ {2} + \alpha_ {3} s + \alpha_ {4} \tag {8.20} $$

عندئذ لدينا

$$ \Delta (\mathbf {A}) = \mathbf {A} ^ {4} + \alpha_ {1} \mathbf {A} ^ {3} + \alpha_ {2} \mathbf {A} ^ {2} + \alpha_ {3} \mathbf {A} + \alpha_ {4} \mathbf {I} = \mathbf {0} $$

(نظرية كايلي-هاملتون (Cayley-Hamilton theorem)). لنعتبر

$$ \Delta (\mathbf {F}) := \mathbf {F} ^ {4} + \alpha_ {1} \mathbf {F} ^ {3} + \alpha_ {2} \mathbf {F} ^ {2} + \alpha_ {3} \mathbf {F} + \alpha_ {4} \mathbf {I} \tag {8.21} $$

إذا كانت $ \bar{\lambda}_i $ قيمة ذاتية (eigenvalue) لـ $ \mathbf{F} $ ، فإن $ \Delta(\bar{\lambda}_i) $ قيمة ذاتية لـ $ \Delta(\mathbf{F}) $ (مسألة 3.24). وبما أن $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ لا يشتركان في قيم ذاتية، فإن $ \Delta(\bar{\lambda}_i) \neq 0 $ لكل قيم $ \mathbf{F} $ الذاتية. ولأن محدد المصفوفة يساوي حاصل ضرب جميع قيمها الذاتية، فإن

$$ \det \Delta (\mathbf {F}) = \prod_ {i} \Delta (\bar {\lambda} _ {i}) \neq 0 $$

إذن فإن $ \Delta (\mathbf{F}) $ غير منفردة (nonsingular).

بإحلال $ \mathbf{A}\mathbf{T} = \mathbf{T}\mathbf{F} + \mathbf{b}\bar{\mathbf{k}} $ في $ \mathbf{A}^2\mathbf{T} - \mathbf{A}\mathbf{F}^2 $ نحصل على

$$ \begin{array}{l} \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {T} - \mathbf {T F} ^ {2} = \mathbf {A} (\mathbf {T F} + \mathbf {b k}) - \mathbf {T F} ^ {2} = \mathbf {A b k} + (\mathbf {A T} - \mathbf {T F}) \mathbf {F} \\ = \mathbf {A} \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} + \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} \\ \end{array} $$

وبالاستمرار إلى الأمام، نحصل على مجموعة المعادلات التالية:

$$ \begin{array}{l} \mathbf {I T} - \mathbf {T I} = \mathbf {0} \\ \mathbf {A T} - \mathbf {T F} = \mathbf {b k} \\ \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {T} - \mathbf {T F} ^ {2} = \mathbf {A b k} + \mathbf {b k F} \\ \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {T} - \mathbf {T F} ^ {3} = \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} + \mathbf {A} \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} + \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} ^ {2} \\ \mathbf {A} ^ {4} \mathbf {T} - \mathbf {T F} ^ {4} = \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} + \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} + \mathbf {A} \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} ^ {2} + \mathbf {b} \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} ^ {3} \\ \end{array} $$

نضرب المعادلة الأولى في $ \alpha_{4} $ ، والثانية في $ \alpha_{3} $ ، والثالثة في $ \alpha_{2} $ ، والرابعة في $ \alpha_{1} $ والخامسة في 1، ثم نجمعها. وبعد بعض المعالجات، نحصل في النهاية على

$$ \begin{array}{l} \Delta (\mathbf {A}) \mathbf {T} - \mathbf {T} \Delta (\mathbf {F}) = - \mathbf {T} \Delta (\mathbf {F}) \\ = \left[ \mathbf {b} \mathbf {A b} \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b} \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {b} \right] \left[ \begin{array}{l l l l} \alpha_ {3} & \alpha_ {2} & \alpha_ {1} & 1 \\ \alpha_ {2} & \alpha_ {1} & 1 & 0 \\ \alpha_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {k}} \\ \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} \\ \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} ^ {2} \\ \bar {\mathbf {k}} \mathbf {F} ^ {3} \end{array} \right] \tag {8.22} \\ \end{array} $$

حيث استخدمنا $ \Delta(\mathbf{A}) = \mathbf{0} $ . إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}) $ قابلا للتحكم (controllable) وكان $ (\mathbf{F}, \mathbf{k}) $ قابلا للملاحظة (observable)، فإن المصفوفات الثلاث بعد المساواة الأخيرة كلها غير منفردة. وبالتالي فإن (8.22) وعدم انفراد $ \Delta(\mathbf{F}) $ يقتضيان أن $ \mathbf{T} $ غير منفردة. إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}) $ غير قابل للتحكم و/أو كان $ (\mathbf{F}, \mathbf{k}) $ غير قابل للملاحظة، فإن حاصل ضرب المصفوفات الثلاث يكون منفردا. لذلك تكون $ \mathbf{T} $ منفردة. وهذا يثبت النظرية. Q.E.D.

نناقش الآن اختيار $ \mathbf{F} $ و $ \bar{\mathbf{k}} $ . إذا كانت لدينا مجموعة من القيم الذاتية المرغوبة، فهناك عدد لا نهائي من $ \mathbf{F} $ التي لها تلك المجموعة من القيم الذاتية. إذا كوّنا كثير حدود من المجموعة، يمكننا استخدام معاملاته لتكوين مصفوفة $ \mathbf{F} $ بصيغة رفيقة (companion form) كما في (7.14). لهذه $ \mathbf{F} $ ، يمكننا اختيار $ \bar{\mathbf{k}} $ على شكل $ [10 \cdots 0] $ ويكون $ (\mathbf{F}, \bar{\mathbf{k}}) $ قابلا للملاحظة. إذا كانت القيم الذاتية المرغوبة كلها مميزة، يمكننا أيضا استخدام الصيغة النمطية (modal form) التي نوقشت في القسم 4.4.1. مثلا، إذا كان $ n = 5 $ وإذا اختيرت القيم الذاتية الخمس المميزة على أنها $ \lambda_1 $ ، $ \alpha_1 \pm j\beta_1 $ و $ \alpha_2 \pm j\beta_2 $ ، عندئذ يمكن اختيار $ \mathbf{F} $ على النحو

$$ \mathbf {F} = \left[ \begin{array}{c c c c c} \lambda_ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_ {1} & \beta_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & - \beta_ {1} & \alpha_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_ {2} & \beta_ {2} \\ 0 & 0 & 0 & - \beta_ {2} & \alpha_ {2} \end{array} \right] \tag {8.23} $$

إنها مصفوفة قطرية كتلية (block diagonal matrix). لهذه $ \mathbf{F} $ ، إذا كان $ \bar{\mathbf{k}} $ يحوي على الأقل عنصرا غير صفري مرتبطا بكل كتلة قطرية مثل $ \bar{\mathbf{k}} = [11010] $ ، $ \bar{\mathbf{k}} = [11001] $ ، أو $ \bar{\mathbf{k}} = [11111] $ ، فإن $ (\mathbf{F},\bar{\mathbf{k}}) $ قابل للملاحظة (مسألة 6.16). وبالتالي فإن الخطوتين الأوليين من إجراء 8.1 بسيطتان جدا. بعد اختيار $ \mathbf{F} $ و $ \bar{\mathbf{k}} $ ، يمكننا استخدام دالة MATLAB المسماة lyp لحل معادلة ليابونوف في الخطوة 3. وهكذا فإن إجراء 8.1 سهل التنفيذ كما يوضح المثال التالي.

مثال 8.2.4 اعتبر الرقّاص المقلوب (inverted pendulum) الذي دُرس في مثال 8.2.3. معادلة فضاء الحالة للنبات معطاة في (8.18) وقد اختيرت القيم الذاتية المرغوبة على أنها $ -1 \pm j $ و $ -1.5 \pm 0.5j $ . نختار $ \mathbf{F} $ بصيغة نمطية (modal form) كما يلي

$$ \mathbf {F} = \left[ \begin{array}{r r r r} - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1. 5 & 0. 5 \\ 0 & 0 & - 0. 5 & - 1. 5 \end{array} \right] $$

و $ \bar{\mathbf{k}} = [1010] $ ونكتب

$$ \begin{array}{l} \text{a=[0100;00-10;0001;0050];b=[0;1;0;-2];} \\ \text{f=[-1100;-1-100;00-1.50.5;00-0.5-1.5];} \\ \text{kb=[1010];t=lyap(a,-f,-b^{*} k b) ;} \\ \text{k=kb^{*} i n v (t)} \end{array} $$

النتيجة هي $ [-1.6667 - 3.6667 - 8.5833 - 4.3333] $ ، وهي نفسها التي نحصل عليها باستخدام الدالة place. إذا استخدمنا $ \mathbf{k} = [1 1 1 1] $ ، فسوف نحصل على $ \mathbf{k} $ نفسها. لاحظ أن كسب التغذية الراجعة فريد في حالة SISO.