8.3.1 التتبع المتين ورفض الاضطراب (Robust Tracking and Disturbance Rejection)* 

قد تتغير معادلة فضاء الحالة ودالة التحويل (transfer function) المطوَّرتان لوصف نبات (plant) بسبب تغيّر الحمل أو البيئة أو التقادم. لذا فإن تغيّرات معلمات النبات (plant parameter variations) تحدث كثيرا في الممارسة. وتُسمى المعادلة المستخدمة في التصميم غالبا المعادلة الاسمية (nominal equation). إن كسب التغذية الأمامية (feedforward gain) $ p $ في (8.25)، المحسوب لدالة تحويل النبات الاسمية، قد لا يعطي $ \hat{g}_f(0) = 1 $ لدوال تحويل نبات غير اسمية. عندئذ لن يتتبع الخرج تقاربيا أي دخل مرجعي خطوي. ويقال إن هذا التتبع غير متين (nonrobust).

في هذه الفقرة الفرعية نناقش تصميما مختلفا يمكنه تحقيق تتبع متين (robust tracking) ورفض الاضطراب (disturbance rejection). اعتبر نباتا موصوفا بـ(8.1). نفترض الآن أن اضطرابا ثابتا $ w $ بسعة مجهولة يدخل عند مدخل النبات كما في الشكل 8.4(a). عندئذ يجب تعديل معادلة فضاء الحالة كما يلي

$$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) + \mathbf {b} w (t) \tag {8.26} \\ y (t) = \mathbf {c x} (t) \\ \end{array} $$

المشكلة هي تصميم نظام كلي بحيث يتتبع الخرج $ y(t) $ تقاربيا أي دخل مرجعي خطوي حتى مع وجود اضطراب $ w(t) $ ومع تغيّرات معلمات النبات. يُسمى هذا تتبعا متينا ورفضا للاضطراب. لتحقيق هذا التصميم، بالإضافة إلى إدخال تغذية راجعة للحالة، سنُدخل مُكاملًا (integrator) وتغذية راجعة وحدوية (unity feedback) من الخرج كما في الشكل 8.4(a). لتكن إشارة خرج المُكامل $ x_{a}(t) $ ، متغير حالة مُعزَّز (augmented state variable). عندئذ يكون للنظام متجه الحالة المُعزَّز $ [\mathbf{x}' x_a]' $ . ومن الشكل 8.4(a)، لدينا

$$ \dot {x} _ {a} (t) = r (t) - y (t) = r (t) - \mathbf {c x} (t) \tag {8.27} $$

$$ u (t) = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {k} & k _ {a} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {x} (t) \\ x _ {a} (t) \end{array} \right] \tag {8.28} $$

لأغراض التيسير، تُعاد تغذية الحالة إلى $ u $ بشكل موجب كما هو موضح. بإحلال ذلك في (8.26) نحصل على

$$ \left[ \begin{array}{c} \dot {\mathbf {x}} (t) \\ \dot {x} _ {a} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} + \mathbf {b k} & \mathbf {b} k _ {a} \\ - \mathbf {c} & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ x _ {a} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right] r (t) + \left[ \begin{array}{l} \mathbf {b} \\ 0 \end{array} \right] w (t) \tag {8.29} $$

$$ y (t) = [ \mathbf {c} 0 ] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {x} (t) \\ x _ {a} (t) \end{array} \right] $$

هذا يصف النظام في الشكل 8.4(a).

(a)

(b)

(c)
الشكل 8.4 (a) تغذية راجعة للحالة مع نموذج داخلي (internal model). (b) تبادل جامعَيْن (summers). (c) مخطط كتل لدالة التحويل (transfer-function block diagram).

نظرية 8.5 

إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{b}) $ قابلا للتحكم وإذا كانت $ \hat{g} (s) = \mathbf{c}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{b} $ لا تحتوي صفرا عند $ s = 0 $ ، فإن جميع القيم الذاتية لمصفوفة A في (8.29) يمكن إسنادها اعتباطيا باختيار كسب التغذية الراجعة $ [\mathbf{k}k_{a}] $ .

برهان: نبرهن النظرية لـ $ n = 4 $ . نفترض أن $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{b} $ و $ \mathbf{c} $ قد حُولت إلى الصيغة القابلة للتحكم (controllable form) في (8.7) وأن دالة التحويل (transfer function) تساوي (8.8). عندئذ تكون دالة تحويل النبات بلا صفر عند $ s = 0 $ إذا وفقط إذا كان $ \beta_4 \neq 0 $ . نُظهر الآن أن الزوج

$$ \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} & \mathbf {0} \\ - \mathbf {c} & 0 \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{l} \mathbf {b} \\ 0 \end{array} \right] \tag {8.30} $$

قابل للتحكم إذا وفقط إذا كان $ \beta_4 \neq 0 $ . لاحظ أننا افترضنا $ n = 4 $ ، ولذلك فإن بُعد (8.30) هو خمسة بسبب متغير الحالة المُعزَّز الإضافي $ x_a $ . مصفوفة القابلية للتحكم (controllability matrix) لـ(8.30) هي

$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {b} & \mathbf {A b} & \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {b} & \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {b} & \mathbf {A} ^ {4} \mathbf {b} \\ 0 & - \mathbf {c b} & - \mathbf {c A b} & - \mathbf {c A} ^ {2} \mathbf {b} & - \mathbf {c A} ^ {3} \mathbf {b} \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & - \alpha_ {1} & \alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2} & - \alpha_ {1} \left(\alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2}\right) + \alpha_ {2} \alpha_ {1} - \alpha_ {3} & a _ {1 5} \\ 0 & 1 & - \alpha_ {1} & \alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2} & a _ {2 5} \\ 0 & 0 & 1 & - \alpha_ {1} & a _ {3 5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a _ {4 5} \\ 0 & - \beta_ {1} & \beta_ {1} \alpha_ {1} - \beta_ {2} & - \beta_ {1} \left(\alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2}\right) + \beta_ {2} \alpha_ {1} - \beta_ {3} & a _ {5 5} \end{array} \right] \\ \end{array} $$

حيث لم يُكتب العمود الأخير لتوفير المساحة. رتبة المصفوفة لا تتغير بالعمليات الأولية. بإضافة الصف الثاني مضروبا في $ \beta_{1} $ إلى الصف الأخير، وبإضافة الصف الثالث مضروبا في $ \beta_{2} $ إلى الصف الأخير، وبإضافة

الصف الرابع مضروبا في $ \beta_{3} $ إلى الصف الأخير نحصل على

$$ \left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & - \alpha_ {1} & \alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2} & - \alpha_ {1} \left(\alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2}\right) + \alpha_ {2} \alpha_ {1} - \alpha_ {3} & a _ {1 5} \\ 0 & 1 & - \alpha_ {1} & \alpha_ {1} ^ {2} - \alpha_ {2} & a _ {2 5} \\ 0 & 0 & 1 & - \alpha_ {1} & a _ {3 5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a _ {4 5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \beta_ {4} \end{array} \right] \tag {8.31} $$

محددها يساوي $ -\beta_4 $ . وبالتالي فالمصفوفة غير منفردة إذا وفقط إذا كان $ \beta_4 \neq 0 $ . وخلاصة القول إن إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}) $ قابلا للتحكم وإذا كانت $ \hat{g}(s) $ لا تحتوي صفرا عند $ s = 0 $ ، فإن الزوج في (8.30) قابل للتحكم. ويترتب على نظرية 8.3 أن جميع القيم الذاتية لمصفوفة A في (8.29) يمكن إسنادها اعتباطيا باختيار كسب التغذية الراجعة $ [\mathbf{k} k_a] $ . Q.E.D.

نذكر أن قابلية التحكم للزوج في (8.30) يمكن أيضا تفسيرها من إلغاء قطب-صفر (pole-zero cancelation). إذا كانت لدالة تحويل النبات قيمة صفرية عند $ s = 0 $ ، فإن ربط المُكامل، الذي دالة تحويله $ 1 / s $ ، على التوالي مع النبات سيؤدي إلى إلغاء قطب-صفر لـ $ s $ ولن تكون معادلة فضاء الحالة التي تصف هذا الربط قابلة للتحكم. من ناحية أخرى، إذا لم تكن لدالة تحويل النبات قيمة صفرية عند $ s = 0 $ ، فلن يحدث إلغاء قطب-صفر وسيكون الربط قابلا للتحكم.

اعتبر مرة أخرى (8.29). نفترض أن مجموعة من $ (n + 1) $ القيم الذاتية المستقرة المرغوبة أو، على نحو مكافئ، كثير حدود مرغوب $ \Delta_f(s) $ من الدرجة $ n + 1 $ قد اختير وأن كسب التغذية الراجعة $ [\mathbf{k}k_a] $ قد وُجد بحيث

$$ \Delta_ {f} (s) = \det \left[ \begin{array}{c c} s \mathbf {I} - \mathbf {A} - \mathbf {b k} & - \mathbf {b} k _ {a} \\ \mathbf {c} & s \end{array} \right] \tag {8.32} $$

نُظهر الآن أن الخرج $ y $ سيتتبع تقاربيا وبمتانة أي دخل مرجعي خطوي $ r = a $ ويرفض أي اضطراب خطوي بسعة مجهولة. بدلا من تأسيس هذه الدعوى مباشرة من (8.29)، سنطوِّر مخططا مكافئا للشكل 8.4(a) ثم نؤسس الدعوى. أولا نبدّل الجامعين بين $ \nu $ و $ \bar{u} $ كما في الشكل 8.4(b). وهذا مسموح لأن $ \bar{u} = \nu + kx + w $ قبل التبديل وبعده. دالة التحويل من $ \bar{\nu} $ إلى $ y $ هي

$$ \hat {\bar {g}} (s) := \frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)} := \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A} - \mathbf {b k}) ^ {- 1} \mathbf {b} \tag {8.33} $$

مع $ \bar{D}(s) = \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ . وعليه يمكن إعادة رسم الشكل 8.4(a) كما في الشكل 8.4(c). بعد ذلك نُثبت العلاقة بين $ \Delta_f(s) $ في (8.32) و $ \hat{\pmb{g}}(s) $ في (8.33). ومن السهل التحقق من المساواة التالية:

$$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {I} & \mathbf {0} \\ - \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A} - \mathbf {b k}) ^ {- 1} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s \mathbf {I} - \mathbf {A} - \mathbf {b k} & - \mathbf {b} k _ {a} \\ \mathbf {c} & s \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} s \mathbf {I} - \mathbf {A} - \mathbf {b k} & - \mathbf {b} k _ {a} \\ 0 & s + \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A} - \mathbf {b k}) ^ {- 1} \mathbf {b} k _ {a} \end{array} \right] \\ \end{array} $$

أخذ محدداتها واستخدام (8.32) و(8.33) يعطي

$$ 1 \cdot \Delta_ {f} (s) = \bar {D} (s) \left(s + \frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)} k _ {a}\right) $$

مما يعني

$$ \Delta_ {f} (s) = s \bar {D} (s) + k _ {u} \bar {N} (s) $$

وهذه معادلة أساسية.

من الشكل 8.4(c)، يمكن حساب دالة التحويل من $ w $ إلى $ y $ بسهولة كما يلي

$$ \hat {g} _ {y w} = \frac {\frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)}}{1 + \frac {k _ {a} \bar {N} (s)}{s \bar {D} (s)}} = \frac {s \bar {N} (s)}{s \bar {D} (s) + k _ {a} \bar {N} (s)} = \frac {s \bar {N} (s)}{\Delta_ {f} (s)} $$

إذا كان الاضطراب $ w(t) = \bar{w} $ لكل $ t \geq 0 $ ، حيث $ \bar{w} $ ثابت مجهول، فإن $ \hat{w}(s) = \bar{w}/s $ والخرج المقابل يُعطى بـ

$$ \hat {y} _ {w} (s) = \frac {s \bar {N} (s)}{\Delta_ {f} (s)} \frac {\bar {w}}{s} = \frac {\bar {w} \bar {N} (s)}{\Delta_ {f} (s)} \tag {8.34} $$

وبما أن القطب عند $ s = 0 $ في (8.34) مُلغى، فإن جميع الأقطاب المتبقية لـ $ \hat{y}_w(s) $ هي أقطاب مستقرة. لذلك فإن استجابة الزمن المقابلة، لأي $ \bar{w} $ ، ستتلاشى عندما $ t \to \infty $ . الشرط الوحيد لتحقيق رفض الاضطراب هو أن يكون لـ $ \hat{y}_w(s) $ أقطاب مستقرة فقط. وبالتالي يستمر الرفض حتى إذا وُجدت تغيّرات في معلمات النبات وتغيرات في كسب التغذية الأمامية $ k_a $ وكسب التغذية الراجعة $ \mathbf{k} $ طالما ظل النظام الكلي مستقرا. ومن ثم يُقمع الاضطراب عند الخرج تقاربيا وبمتانة.

دالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ هي

$$ \hat {g} _ {y r} (s) = \frac {\frac {k _ {a}}{s} \frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)}}{1 + \frac {k _ {a}}{s} \frac {\bar {N} (s)}{\bar {D} (s)}} = \frac {k _ {a} \bar {N} (s)}{s \bar {D} (s) + k _ {a} \bar {N} (s)} = \frac {k _ {a} \bar {N} (s)}{\Delta_ {f} (s)} $$

نرى أن

$$ \hat {g} _ {y r} (0) = \frac {k _ {a} \bar {N} (0)}{0 \cdot \bar {D} (0) + k _ {a} \bar {N} (0)} = \frac {k _ {a} \bar {N} (0)}{k _ {a} \bar {N} (0)} = 1 \tag {8.35} $$

وتظل المعادلة (8.35) صحيحة حتى إذا وُجدت اضطرابات معلمية في دالة تحويل النبات والمكاسب. وبالتالي فإن التتبع التقاربي لأي دخل مرجعي خطوي متين. لاحظ أن هذا التتبع المتين يتحقق حتى مع اضطرابات معلمية كبيرة جدا طالما بقي النظام الكلي مستقرا.

نرى أن التصميم يتحقق بإدخال مُكامل كما في الشكل 8.4. المُكامل في الواقع نموذج لمدخل مرجعي خطوي واضطراب ثابت. لذلك يُسمى مبدأ النموذج الداخلي (internal model principle). وسيُناقش هذا بمزيد من التفصيل في الفصل التالي.