8.3.2 الاستقرار (Stabilization)
إذا كانت معادلة الحالة قابلة للتحكم، فيمكن إسناد جميع القيم الذاتية اعتباطيا بإدخال تغذية راجعة للحالة. نناقش الآن الحالة التي تكون فيها معادلة الحالة غير قابلة للتحكم. يمكن تحويل كل معادلة حالة غير قابلة للتحكم إلى
$$ \left[ \begin{array}{c} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {c} \\ \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \bar {\mathbf {A}} _ {c} & \bar {\mathbf {A}} _ {1 2} \\ \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {x}} _ {c} \\ \bar {\mathbf {x}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {b}} _ {c} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] u \tag {8.36} $$
حيث $ (\mathbf{A}_c, \mathbf{b}_c) $ قابل للتحكم (Theorem 6.6). لأن مصفوفة A مثلثية كتلية (block triangular)، فإن القيم الذاتية لمصفوفة A الأصلية هي اتحاد قيم $ \mathbf{A}_c $ و $ \mathbf{A}_{\bar{c}} $ . إذا أدخلنا تغذية راجعة للحالة
$$ u (t) = r (t) - \mathbf {k} \mathbf {x} (t) = r (t) - \bar {\mathbf {k}} \bar {\mathbf {x}} (t) = r (t) - [ \bar {\mathbf {k}} _ {1} \bar {\mathbf {k}} _ {2} ] \left[ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {x}} _ {c} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {\bar {c}} (t) \end{array} \right] $$
حيث قسّمنا $ \mathbf{k} $ كما في $ \bar{\mathbf{x}} $ ، فإن (8.36) تصبح
$$ \left[ \begin{array}{c} \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {c} (t) \\ \dot {\bar {\mathbf {x}}} _ {\bar {c}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \bar {\mathbf {A}} _ {c} - \bar {\mathbf {b}} _ {c} \bar {\mathbf {k}} _ {1} & \bar {\mathbf {A}} _ {1 2} - \bar {\mathbf {b}} _ {c} \bar {\mathbf {k}} _ {2} \\ \mathbf {0} & \bar {\mathbf {A}} _ {\bar {c}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {x}} _ {c} (t) \\ \bar {\mathbf {x}} _ {\bar {c}} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {b}} _ {c} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] r (t) \tag {8.37} $$
نرى أن $ \bar{\mathbf{A}}_c $ وبالتالي قيمها الذاتية لا تتأثر بتغذية راجعة للحالة. لذلك نستنتج أن شرط قابلية التحكم لـ $ (\mathbf{A},\mathbf{b}) $ في نظرية 8.3 ليس فقط كافيا بل ضروريا أيضا لإسناد جميع القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ إلى أي مواضع مرغوبة.
اعتبر مرة أخرى معادلة الحالة في (8.36). إذا كانت $ \bar{\mathbf{A}}_{\tilde{c}} $ مستقرة (stable) وكان $ (\bar{\mathbf{A}}_c,\bar{\mathbf{b}}_c) $ قابلا للتحكم، فإن (8.36) تُسمى قابلة للاستقرار (stabilizable). نذكر أن شرط قابلية التحكم للتتبع ورفض الاضطراب يمكن استبداله بشرط أضعف هو القابلية للاستقرار. لكن في هذه الحالة لا نملك تحكما كاملا في معدل التتبع والرفض. إذا كانت القيم الذاتية المستقرة غير القابلة للتحكم ذات جزء تخيلي كبير وقريبة من المحور التخيلي، فقد لا يكون التتبع والرفض مُرضيين.