8.3 التنظيم والتتبع (Regulation and Tracking) 

    اعتبر نظام التغذية الراجعة للحالة (state feedback system) المبين في الشكل 8.2. لنفترض أن إشارة المرجع (reference signal) $ r $ تساوي صفرا، وأن استجابة النظام ناتجة عن شروط ابتدائية (initial conditions) غير صفرية. المشكلة هي إيجاد كسب تغذية راجعة للحالة بحيث تنطفئ الاستجابة بمعدل مرغوب. تُسمى هذه مسألة تنظيم (regulator problem). قد تنشأ هذه المسألة عندما تكون طائرة تحلق على ارتفاع ثابت $ H_0 $ . الآن، بسبب اضطراب الهواء أو عوامل أخرى، قد تنحرف الطائرة عن الارتفاع المرغوب. إعادة هذا الانحراف إلى الصفر هي مسألة تنظيم. تظهر هذه المسألة أيضا عند المحافظة على مستوى السائل في الشكل 2.16 عند الاتزان (equilibrium).

    مسألة وثيقة الصلة هي مسألة التتبع (tracking problem). لنفترض أن إشارة المرجع $ r $ ثابتة أو أن $ r(t) = a $ لكل $ t \geq 0 $ . المشكلة هي تصميم نظام كلي بحيث يقترب $ y(t) $ من $ r(t) = a $ عندما يقترب $ t $ من اللانهاية. ويُسمى هذا تتبعا تقاربيا (asymptotic tracking) لدخل مرجعي خطوي (step reference input). ومن الواضح أنه إذا كان $ r(t) = a = 0 $ ، فإن مسألة التتبع تختزل إلى مسألة التنظيم. لماذا ندرس إذن هاتين المسألتين منفصلتين؟ في الواقع، إذا كانت معادلة فضاء الحالة نفسها صالحة لكل $ r $ ، فإن تصميم نظام لتتبع دخل مرجعي خطوي تقاربيا سيحقق التنظيم تلقائيا. غير أن معادلة فضاء حالة خطية ثابتة زمنيا (linear time-invariant) تُستحصل غالبا بالانتقال إلى نقطة تشغيل ثم بإجراء خطية (linearization). والمعادلة الخطية صالحة فقط عندما يكون $ r $ صغيرا جدا أو صفرا، لذا فإن دراسة مسألة التنظيم ضرورية. نذكر أن دخل المرجع الخطي يمكن تحديده بموضع مقاومة متغيرة (potentiometer) ويُشار إليه غالبا باسم نقطة الضبط (set point). ويقال غالبا إن الحفاظ على حجرة عند درجة حرارة مرغوبة هو تنظيم درجة الحرارة؛ لكنه في الحقيقة تتبع لدرجة الحرارة المرغوبة. لذلك لا يُجرى في الممارسة تمييز حاد بين التنظيم وتتبع دخل مرجعي خطوي. أما تتبع إشارة مرجعية غير ثابتة فيُسمى مسألة نظام مؤازر (servomechanism problem) وهي مسألة أصعب بكثير.

    اعتبر نباتا (plant) موصوفا بـ $ (\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c}) $ . إذا كانت كل القيم الذاتية (eigenvalues) لـ $ \mathbf{A} $ تقع داخل القطاع المبين في الشكل 8.3، فإن الاستجابة الناتجة عن أي شروط ابتدائية ستتلاشى بسرعة إلى الصفر ولا حاجة إلى تغذية راجعة للحالة. إذا كانت $ \mathbf{A} $ مستقرة (stable) لكن بعض القيم الذاتية خارج القطاع، فقد يكون التلاشي بطيئا أو شديد التذبذب. إذا كانت $ \mathbf{A} $ غير مستقرة (unstable)، فإن الاستجابة الناتجة عن أي شروط ابتدائية غير صفرية ستنمو بلا حدود. في هذه الحالات، قد نُدخل تغذية راجعة للحالة لتحسين سلوك النظام. ليكن $ u = r - kx $ . عندئذ تصبح معادلة تغذية راجعة للحالة $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk},\mathbf{b},\mathbf{c}) $ وتكون الاستجابة الناتجة عن $ \mathbf{x}(0) $ هي

    $$ y (t) = \mathbf {c} e ^ {(\mathbf {A} - \mathbf {b k}) t} \mathbf {x} (0) $$

    إذا كانت كل القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{b}\mathbf{k}) $ تقع داخل القطاع في الشكل 8.3، فإن الخرج سيضمحل بسرعة إلى الصفر. وبالتالي يمكن تحقيق التنظيم بسهولة بإدخال تغذية راجعة للحالة.

    مسألة التتبع أكثر تعقيدا قليلا. عموما، بالإضافة إلى تغذية راجعة للحالة، نحتاج إلى كسب تغذية أمامية (feedforward gain) $ p $ كما في

    $$ u (t) = p r (t) - \mathbf {k} \mathbf {x} (t) $$

    وعندئذ تختلف دالة التحويل (transfer function) من $ r $ إلى $ y $ عن تلك في (8.17) فقط بكسب التغذية الأمامية $ p $ . وبالتالي نحصل على

    $$ \hat {g} _ {f} (s) = \frac {\hat {y} (s)}{\hat {r} (s)} = p \frac {\beta_ {1} s ^ {3} + \beta_ {2} s ^ {2} + \beta_ {3} s + \beta_ {4}}{s ^ {4} + \bar {\alpha} _ {1} s ^ {3} + \bar {\alpha} _ {2} s ^ {2} + \bar {\alpha} _ {3} s + \bar {\alpha} _ {4}} \tag {8.24} $$

    إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{b}) $ قابلا للتحكم، فإن جميع القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ أو، على نحو مكافئ، جميع أقطاب (poles) $ \hat{g}_f(s) $ يمكن إسنادها اعتباطيا، وبخاصة لتقع داخل القطاع في الشكل 8.3. تحت هذا الافتراض، إذا كان دخل المرجع دالة خطوة بسعة $ a $ ، فإن الخرج $ y(t) $ سيقترب من الثابت $ \hat{g}_f(0)\cdot a $ عندما $ t\to \infty $ (نظرية 5.2). لذلك لكي يتتبع $ y(t) $ تقاربيا أي دخل مرجعي خطوي، نحتاج إلى

    $$ 1 = \hat {g} _ {f} (0) = p \frac {\beta_ {4}}{\bar {\alpha} _ {4}} \quad \text{or} \quad p = \frac {\bar {\alpha} _ {4}}{\beta_ {4}} \tag {8.25} $$

    وهذا يتطلب $ \beta_4 \neq 0 $ . من (8.16) و(8.17) نرى أن $ \beta_4 $ هو الحد الثابت في بسط دالة تحويل النبات. وبالتالي فإن $ \beta_4 \neq 0 $ إذا وفقط إذا كانت دالة تحويل النبات $ \hat{g}(s) $ لا تحتوي صفرا عند $ s = 0 $ . وخلاصة القول أنه إذا لم تكن لدالة تحويل النبات قيمة صفرية عند الأصل، يمكننا إدخال تغذية راجعة للحالة لتثبيت النظام ثم إدخال كسب تغذية أمامية كما في (8.25). عندئذ سيتتبع النظام الناتج تقاربيا أي دخل مرجعي خطوي.

    نلخص المناقشة السابقة. معطى $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) $ . إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}) $ قابلا للتحكم، فيمكننا إدخال تغذية راجعة للحالة لوضع القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ في أي مواضع مرغوبة، وسيحقق النظام الناتج التنظيم. إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{b}) $ قابلا للتحكم وإذا كانت $ \mathbf{c}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{b} $ لا تحتوي صفرا عند $ s = 0 $ ، فعندئذ بعد تغذية راجعة للحالة يمكننا إدخال كسب تغذية أمامية كما في (8.25). عندئذ يمكن للنظام الناتج تتبع أي دخل مرجعي خطوي تقاربيا.