8.4.1 مقدِّر حالة مخفَّض الأبعاد (Reduced-Dimensional State Estimator) 

اعتبر معادلة فضاء الحالة في (8.42). إذا كانت قابلة للملاحظة (observable)، فيمكن تحويلها، مزدوجة لنظرية 8.2، إلى الصيغة القابلة للملاحظة (observable form) في (7.14). نرى أن $ y $ يساوي $ x_{1} $ ، متغير الحالة الأول. لذلك يكفي بناء مقدِّر حالة مخفَّض الأبعاد (reduced-dimensional state estimator) بُعده $ (n - 1) $ لتقدير $ x_{i} $ لـ $ i = 2,3,\ldots,n $ . ويمكن لهذا المقدِّر ذي الأبعاد $ (n - 1) $ مع معادلة الخرج أن يُستخدم لتقدير جميع متغيرات الحالة وعددها $ n $ .

يمكن تصميم المقدِّرات المخفَّضة الأبعاد باستخدام تحويلات التكافؤ (equivalence transformations) أو بحل معادلات ليابونوف (Lyapunov equations). المنهج الأخير أبسط بكثير وسيُناقش تاليا. أما بالنسبة للمنهج الأول، فيُحال القارئ المهتم إلى المرجع ص 6، 361-363.

إجراء 8.R1 

اختر مصفوفة مستقرة في الزمن المستمر (CT stable) اعتباطية من الرتبة $ (n - 1) \times (n - 1) $ هي $ \mathbf{F} $ ولا تشترك في أي قيم ذاتية مع $ \mathbf{A} $ .
اختر متجها اعتباطيا من الرتبة $ (n - 1) \times 1 $ هو $ \mathbf{I} $ بحيث يكون $ (\mathbf{F}, \mathbf{I}) $ قابلا للتحكم (controllable).
حل T الفريدة في معادلة ليابونوف (Lyapunov equation) $ \mathbf{TA} - \mathbf{FT} = \mathbf{l}\mathbf{c} $ . لاحظ أن $ \mathbf{T} $ مصفوفة من الرتبة $ (n - 1)\times n $ .
ثم فإن معادلة فضاء الحالة ذات الأبعاد $ (n - 1) $

$$ \dot {\mathbf {z}} (t) = \mathbf {F} \mathbf {z} (t) + \mathbf {T b} u (t) + \mathbf {l} y (t) \tag {8.45} $$

$$ \hat {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l} \mathbf {c} \\ \mathbf {T} \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{l} y (t) \\ \mathbf {z} (t) \end{array} \right] \tag {8.46} $$

هي تقدير لـ $ \mathbf{x}(t) $

نبرر الإجراء أولا. نكتب (8.46) على الصورة

$$ \left[ \begin{array}{l} y (t) \\ z (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} c \\ T \end{array} \right] \hat {\mathbf {x}} (t) =: \mathbf {P} \hat {\mathbf {x}} (t) $$

والذي يعني $ y(t) = \mathbf{c}\hat{\mathbf{x}}(t) $ و $ \mathbf{z}(t) = \mathbf{T}\hat{\mathbf{x}}(t) $ . من الواضح أن $ y(t) $ هو تقدير لـ $ \mathbf{c}\mathbf{x}(t) $ . نُظهر الآن أن $ \mathbf{z}(t) $ هو تقدير لـ $ \mathbf{T}\mathbf{x}(t) $ . عرف

$$ \mathbf {e} (t) = \mathbf {z} (t) - \mathbf {T x} (t) $$

عندئذ نحصل على

$$ \dot {\mathbf {e}} (t) = \dot {\mathbf {z}} (t) - \mathbf {T} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {F} \mathbf {z} (t) + \mathbf {T} \mathbf {b} u (t) + \mathbf {l} \mathbf {c x} (t) - \mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {x} (t) - \mathbf {T} \mathbf {b} u (t) = \mathbf {F} \mathbf {e} (t) $$

الآن إذا كانت $ \mathbf{F} $ مستقرة في الزمن المستمر (CT stable) أو كانت كل قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{F} $ ذات جزء حقيقي سالب، فإن $ \mathbf{e}(t) \to \mathbf{0} $ عندما $ t \to \infty $ . وبالتالي فإن $ \mathbf{z} $ تقدير لـ $ \mathbf{Tx} $ .

نظرية 8.6 

إذا كان $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ لا يشتركان في قيم ذاتية، فإن المصفوفة المربعة

$$ \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {c} \\ \mathbf {T} \end{array} \right] $$

حيث $ \mathbf{T} $ هو الحل الفريد لـ $ \mathbf{TA} - \mathbf{FT} = \mathbf{l}\mathbf{c} $ ، تكون غير منفردة (nonsingular) إذا وفقط إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{c}) $ قابلا للملاحظة (observable) وكان $ (\mathbf{F},\mathbf{l}) $ قابلا للتحكم (controllable).

برهان: نبرهن النظرية لـ $ n = 4 $ . الجزء الأول من البرهان يتبع عن كثب برهان نظرية 8.4. ليكن

$$ \Delta (s) = \det (s \mathbf {I} - \mathbf {A}) = s ^ {4} + \alpha_ {1} s ^ {3} + \alpha_ {2} s ^ {2} + \alpha_ {3} s + \alpha_ {4} $$

عندئذ، وبازدواجية (8.22)، لدينا

$$ - \mathbf {T} \Delta (\mathbf {F}) = [ \mathbf {I} \mathbf {F} \mathbf {I} \mathbf {F} ^ {2} \mathbf {I} \mathbf {F} ^ {3} \mathbf {I} ] \left[ \begin{array}{l l l l} \alpha_ {3} & \alpha_ {2} & \alpha_ {1} & 1 \\ \alpha_ {2} & \alpha_ {1} & 1 & 0 \\ \alpha_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {c} \\ \mathbf {c A} \\ \mathbf {c A} ^ {2} \\ \mathbf {c A} ^ {3} \end{array} \right] \tag {8.47} $$

و $ \Delta(\mathbf{F}) $ غير منفردة إذا كان $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ لا يشتركان في قيم ذاتية. لاحظ أنه إذا كانت $ \mathbf{A} $ من الرتبة $ 4 \times 4 $ ، فإن $ \mathbf{F} $ من الرتبة $ 3 \times 3 $ . المصفوفة اليمنى في (8.47) هي مصفوفة القابلية للملاحظة (observability matrix) للزوج $ (\mathbf{A}, \mathbf{c}) $ وسنرمز لها بـ $ \mathcal{O} $ . المصفوفة الأولى بعد علامة المساواة هي مصفوفة القابلية للتحكم (controllability matrix) للزوج $ (\mathbf{F}, \mathbf{l}) $ مع عمود إضافي واحد وسنرمز لها بـ $ \mathcal{C}_4 $ . المصفوفة الوسطى سنرمز لها بـ $ \Lambda $ وهي دائما غير منفردة. باستخدام هذه الرموز، نكتب $ \mathbf{T} $ على الصورة $ -\Delta^{-1}(\mathbf{F})\mathcal{C}_4\Lambda\mathcal{O} $ وتصبح $ \mathbf{P} $

$$ \begin{array}{l} \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {c} \\ \mathbf {T} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {c} \\ - \Delta^ {- 1} (\mathbf {F}) \mathcal {C} _ {4} \Lambda \mathcal {O} \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} 1 & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & - \Delta^ {- 1} (\mathbf {F}) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {c} \\ \mathcal {C} _ {4} \Lambda \mathcal {O} \end{array} \right] \tag {8.48} \\ \end{array} $$

لاحظ أنه إذا كان $ n = 4 $ ، فإن $ \mathbf{P} $ ، و $ \mathcal{O} $ ، و $ \Lambda $ هي $ 4 \times 4 $ ؛ و $ \mathbf{T} $ و $ \mathcal{C}_4 $ هما $ 3 \times 4 $ و $ \Delta(\mathbf{F}) $ هي $ 3 \times 3 $ . إذا كان $ (\mathbf{F}, \mathbf{l}) $ غير قابل للتحكم، فإن $ \mathcal{C}_4 $ لها رتبة على الأكثر 2. وبالتالي فإن $ \mathbf{T} $ لها رتبة على الأكثر 2 وتكون $ \mathbf{P} $ منفردة. إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{c}) $ غير قابل للملاحظة، فهناك متجه غير صفري $ 4 \times 1 $ هو $ \mathbf{r} $ بحيث $ \mathcal{O}\mathbf{r} = \mathbf{0} $ مما يعني $ \mathbf{cr} = 0 $ و $ \mathbf{Pr} = \mathbf{0} $ . وبالتالي تكون $ \mathbf{P} $ منفردة. وهذا يوضح ضرورة النظرية.

نُظهر الآن الكفاية بطريق التناقض. لنفترض أن $ \mathbf{P} $ منفردة، إذن يوجد متجه غير صفري $ \mathbf{r} $ بحيث $ \mathbf{Pr} = \mathbf{0} $ وهذا يعني

$$ \left[ \begin{array}{c} \mathbf {c} \\ \mathcal {C} _ {4} \Lambda \mathcal {O} \end{array} \right] \mathbf {r} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {c r} \\ \mathcal {C} _ {4} \Lambda \mathcal {O} \mathbf {r} \end{array} \right] = \mathbf {0} \tag {8.49} $$

عرف $ \mathbf{a} := \Lambda \mathcal{O}\mathbf{r} = [a_1 a_2 a_3 a_4]' == [\bar{\mathbf{a}} a_4]' $ ، حيث تمثل $ \bar{\mathbf{a}} $ أول ثلاثة مدخلات من $ \mathbf{a} $ . وبكتابتها صراحة نحصل على

$$ \left[ \begin{array}{l} a _ {1} \\ a _ {2} \\ a _ {3} \\ a _ {4} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} \alpha_ {3} & \alpha_ {2} & \alpha_ {1} & 1 \\ \alpha_ {2} & \alpha_ {1} & 1 & 0 \\ \alpha_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {c r} \\ \mathbf {c A r} \\ \mathbf {c A} ^ {2} \mathbf {r} \\ \mathbf {c A} ^ {3} \mathbf {r} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} x \\ x \\ x \\ \mathbf {c r} \end{array} \right] $$

حيث يشير $ x $ إلى مدخلات غير لازمة في المناقشة اللاحقة. وبالتالي لدينا $ a_4 = \mathbf{cr} $ . من الواضح أن (8.49) يعني $ a_4 = \mathbf{cr} = 0 $ . بإحلال $ a_4 = 0 $ في الجزء السفلي من (8.49) نحصل على

$$ \mathcal {C} _ {4} \Lambda \mathcal {O} \mathbf {r} = \mathcal {C} _ {4} \mathbf {a} = \bar {\mathcal {C}} \bar {\mathbf {a}} = \mathbf {0} \tag {8.50} $$

حيث $ \mathcal{C} $ هي $ 3 \times 3 $ وهي مصفوفة القابلية للتحكم للزوج $ (\mathbf{F}, \mathbf{l}) $ و $ \bar{\mathbf{a}} $ هي أول ثلاثة مدخلات من $ \mathbf{a} $ . إذا كان $ (\mathbf{F}, \mathbf{l}) $ قابلا للتحكم، فإن $ \mathcal{C} \bar{\mathbf{a}} = \mathbf{0} $ يعني $ \bar{\mathbf{a}} = \mathbf{0} $ . وخلاصة القول إن (8.49) وقابلية التحكم للزوج $ (\mathbf{F}, \mathbf{l}) $ تعني $ \mathbf{a} = \mathbf{0} $ .

اعتبر $ \Lambda \mathcal{O}\mathbf{r} = \mathbf{a} = \mathbf{0} $ . المصفوفة $ \Lambda $ دائما غير منفردة. إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{c}) $ قابلا للملاحظة، فإن $ \mathcal{O} $ غير منفردة و $ \Lambda \mathcal{O}\mathbf{r} = \mathbf{0} $ يعني $ \mathbf{r} = \mathbf{0} $ . وهذا يناقض الفرض القائل إن $ \mathbf{r} $ غير صفري. وبالتالي إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{c}) $ قابلا للملاحظة وكان $ (\mathbf{F}, \mathbf{l}) $ قابلا للتحكم، فإن $ \mathbf{P} $ غير منفردة. وهذا يثبت نظرية 8.6. Q.E.D.

إن تصميم مقدِّرات الحالة بحل معادلات ليابونوف مناسب لأن الإجراء نفسه يمكن استخدامه لتصميم مقدِّرات كاملة الأبعاد ومخفَّضة الأبعاد. كما سنرى في قسم لاحق، يمكن استخدام الإجراء نفسه لتصميم مقدِّرات لأنظمة MIMO.