8.5 تغذية راجعة من حالات مقدَّرة (Feedback from Estimated States) 

    اعتبر نباتا (plant) موصوفا بمعادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {b} u (t) \\ y (t) = \mathbf {c x} (t) \tag {8.51} \\ \end{array} $$

    إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{b}) $ قابلا للتحكم، فإن تغذية راجعة للحالة $ u = r - \mathbf{kx} $ يمكنها وضع القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ في أي مواضع مرغوبة. إذا لم تكن متغيرات الحالة متاحة للتغذية الراجعة، يمكننا تصميم مقدِّر ساكن (static estimator). إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{c}) $ قابلا للملاحظة، فيمكن إنشاء مقدِّر كامل الأبعاد أو مخفَّض الأبعاد


    الشكل 8.8 ترتيب المتحكم-المقدِّر (controller-estimator configuration).

    بقِيم ذاتية اعتباطية. نناقش هنا فقط المقدِّرات كاملة الأبعاد. اعتبر مقدِّر حالة ذا بُعد $ n $

    $$ \dot {\hat {\mathbf {x}}} (t) = (\mathbf {A} - \mathbf {l c}) \hat {\mathbf {x}} (t) + \mathbf {b} u (t) + \mathbf {l} y (t) \tag {8.52} $$

    يمكن للحالة المقدَّرة في (8.52) أن تقترب من الحالة الفعلية في (8.51) بأي معدل باختيار المتجه $ \mathbf{l} $ .

    تغذية راجعة للحالة صُممت للحالة في (8.51). إذا كانت $ \mathbf{x} $ غير متاحة، فمن الطبيعي تطبيق كسب التغذية الراجعة على الحالة المقدَّرة كما يلي

    $$ u (t) = r (t) - \mathbf {k} \hat {\mathbf {x}} (t) \tag {8.53} $$

    كما في الشكل 8.8. يُسمى هذا الربط ترتيب المتحكم-المقدِّر (controller-estimator configuration). قد تُطرح ثلاثة أسئلة في هذا السياق: (1) القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ تُستحصل من $ u = r - \mathbf{kx} $ . هل نحصل على المجموعة نفسها من القيم الذاتية عند استخدام $ u = r - \mathbf{k}\hat{\mathbf{x}} $ ؟ (2) هل ستتأثر القيم الذاتية للمقدِّر $ \mathbf{F} $ بالربط؟ (3) ما أثر المقدِّر على دالة التحويل (transfer function) من $ r $ إلى $ y $ ؟ للإجابة عن هذه الأسئلة، يجب أن نطور معادلة فضاء حالة تصف النظام الكلي في الشكل 8.8. بإحلال (8.53) في (8.51) و(8.52) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) - \mathbf {b k} \hat {\mathbf {x}} (t) + \mathbf {b r} (t) \\ \dot {\hat {\mathbf {x}}} (t) = (\mathbf {A} - \mathbf {l c}) \hat {\mathbf {x}} (t) + \mathbf {b} (r (t) - \mathbf {k} \hat {\mathbf {x}} (t)) + \mathbf {l c x} (t) \\ \end{array} $$

    يمكن جمعهما كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) \\ \dot {\hat {\mathbf {x}}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} & - \mathbf {b k} \\ \mathbf {l c} & \mathbf {A} - \mathbf {l c} - \mathbf {b k} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \hat {\mathbf {x}} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \mathbf {b} \\ \mathbf {b} \end{array} \right] r (t) \tag {8.54} \\ y (t) = [ \mathbf {c} \quad \mathbf {0} ] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \hat {\mathbf {x}} (t) \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    هذه معادلة فضاء حالة ذات بُعد $ 2n $ تصف نظام التغذية الراجعة في الشكل 8.8. ليس من السهل الإجابة عن الأسئلة المطروحة من هذه المعادلة. لنُدخل تحويل التكافؤ التالي:

    $$ \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {e} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {x} (t) - \hat {\mathbf {x}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {I} & \mathbf {0} \\ \mathbf {I} & - \mathbf {I} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \hat {\mathbf {x}} (t) \end{array} \right] =: \mathbf {P} \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \hat {\mathbf {x}} (t) \end{array} \right] $$

    باحتساب $ \mathbf{P}^{-1} $ ، والذي يساوي $ \mathbf{P} $ في هذه الحالة، ثم باستخدام (4.26)، يمكننا الحصول على معادلة فضاء الحالة المكافئة التالية

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} \dot {\mathbf {x}} (t) \\ \dot {\mathbf {e}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} - \mathbf {b k} & \mathbf {b k} \\ \mathbf {0} & \mathbf {A} - \mathbf {l c} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {e} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \mathbf {b} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] r (t) \tag {8.55} \\ y (t) = [ \mathbf {c} \quad \mathbf {0} ] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {e} (t) \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    مصفوفة A في (8.55) مثلثية كتلية (block triangular)؛ لذلك فإن قيمها الذاتية هي اتحاد قيم $ (\mathbf{A} - \mathbf{bk}) $ و $ (\mathbf{A} - \mathbf{lc}) $ . وبالتالي فإن إدخال مقدِّر الحالة لا يؤثر في القيم الذاتية لتغذية راجعة للحالة الأصلية، كما أن قيم مقدِّر الحالة الذاتية لا تتأثر بالربط. ومن ثم يمكن إجراء تصميم تغذية راجعة للحالة وتصميم مقدِّر الحالة بشكل مستقل. تُسمى هذه خاصية الفصل (separation property).

    معادلة فضاء الحالة في (8.55) هي من الشكل المبين في (6.40)؛ وبالتالي فإن (8.55) غير قابلة للتحكم ودالة التحويل لـ(8.55) تساوي دالة التحويل للمعادلة المخفضة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = (\mathbf {A} - \mathbf {b k}) \mathbf {x} (t) + \mathbf {b r} (t), \quad y (t) = \mathbf {c x} (t) $$

    أو

    $$ \hat {g} _ {f} (s) = \mathbf {c} (s \mathbf {I} - \mathbf {A} + \mathbf {b k}) ^ {- 1} \mathbf {b} $$

    (نظرية 6.6). وهذه هي دالة التحويل لنظام تغذية راجعة للحالة الأصلي دون استخدام مقدِّر الحالة. وبالتالي يُلغى المقدِّر تماما في دالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ . لهذا تفسير بسيط. عند حساب دوال التحويل، يُفترض أن جميع الحالات الابتدائية تساوي صفرا. وبذلك تكون $ \mathbf{x}(0) = \hat{\mathbf{x}}(0) = \mathbf{0} $ ، مما يعني $ \mathbf{x}(t) = \hat{\mathbf{x}}(t) $ لكل $ t $ . وبالتالي، فيما يتعلق بدالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ ، لا يوجد فرق بين استخدام مقدِّر الحالة وعدم استخدامه.