8.6.1 التصميم الدوري (Cyclic Design) 

في هذا التصميم، نغيّر مسألة تعدد المداخل إلى مسألة دخل واحد ثم نطبق نظرية 8.3. تُسمى المصفوفة $ \mathbf{A} $ دورية (cyclic) إذا كان كثير الحدود المميِّز (characteristic polynomial) لها يساوي كثير الحدود الأدنى (minimal polynomial) لها. ومن المناقشة في القسم 3.6، يمكننا أن نستنتج أن $ \mathbf{A} $ دورية إذا وفقط إذا كان لصيغة جوردان (Jordan form) لـ $ \mathbf{A} $ كتلة جوردان واحدة وفقط واحدة مرتبطة بكل قيمة ذاتية مميزة.

نظرية 8.7 

إذا كان الزوج $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ ذو الأبعاد $ n $ وعدد المداخل $ p $ قابلا للتحكم، وإذا كانت $ \mathbf{A} $ دورية (cyclic)، فعندئذ لأي متجه $ \mathbf{v} $ من الرتبة $ p \times 1 $ تقريبا، يكون الزوج ذو الدخل الواحد $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}\mathbf{v}) $ قابلا للتحكم.

نجادل بصورة حدسية بصحة هذه النظرية. قابلية التحكم ثابتة تحت أي تحويل تكافؤ، لذا يمكننا افتراض أن $ \mathbf{A} $ في صيغة جوردان. لإظهار الفكرة الأساسية، نستخدم المثال التالي:

$$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{l l l l l} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array} \right], \quad \mathbf {B} = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 4 & 3 \\ 1 & 0 \end{array} \right], \quad \mathbf {B v} = \mathbf {B} \left[ \begin{array}{l} v _ {1} \\ v _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} x \\ x \\ \alpha \\ x \\ \beta \end{array} \right] \tag {8.59} $$

الشكل 8.9 فضاء حقيقي ثنائي الأبعاد (two-dimensional real space).

لا توجد سوى كتلة جوردان واحدة مرتبطة بكل قيمة ذاتية مميزة؛ وبالتالي فإن $ \mathbf{A} $ دورية. الشرط اللازم والكافي لكي يكون $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ قابلا للتحكم هو أن الصفين الثالث والأخير من $ \mathbf{B} $ غير صفريين (نظرية 6.8).

الشرط اللازم والكافي لكي يكون $ (\mathbf{A}, \mathbf{Bv}) $ قابلا للتحكم هو $ \alpha \neq 0 $ و $ \beta \neq 0 $ في (8.59). وبما أن $ \alpha = v_1 + 2v_2 $ و $ \beta = v_1 $ ، فإن إما $ \alpha $ أو $ \beta $ يساوي صفرا إذا وفقط إذا كان $ v_1 / v_2 = -2/1 $ أو $ v_1 = 0 $ . وبالتالي فإن أي $ \mathbf{v} $ غير $ v_1 = 0 $ و $ v_1 = -2v_2 $ سيجعل $ (\mathbf{A}, \mathbf{Bv}) $ قابلا للتحكم. يمكن للمتجه $ \mathbf{v} $ أن يأخذ أي قيم في الفضاء الحقيقي ثنائي الأبعاد المبين في الشكل 8.9. الشرطان $ v_1 = 0 $ و $ v_1 = -2v_2 $ يشكلان خطين مستقيمين كما هو موضح. احتمال أن يقع $ \mathbf{v} $ المختار اعتباطيا على أي من الخطين يساوي صفرا. وهذا يثبت نظرية 8.6. إن افتراض الدورية في هذه النظرية ضروري. مثلا، الزوج

$$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{c c c} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right], \quad \mathbf {B} = \left[ \begin{array}{c c} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right] $$

قابل للتحكم (نظرية 6.8). ومع ذلك لا يوجد $ \mathbf{v} $ بحيث يكون $ (\mathbf{A},\mathbf{B}\mathbf{v}) $ قابلا للتحكم (نتيجة 6.8).

إذا كانت جميع القيم الذاتية لـ $ \mathbf{A} $ مميزة، فإن هناك كتلة جوردان واحدة فقط مرتبطة بكل قيمة ذاتية. وبالتالي فإن شرطا كافيا لكي تكون $ \mathbf{A} $ دورية هو أن تكون جميع قيم $ \mathbf{A} $ الذاتية مميزة.

نظرية 8.8 

إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ قابلا للتحكم، فعندئذ لأي مصفوفة ثابتة حقيقية $ \mathbf{K} $ من الرتبة $ p\times n $ تقريبا، فإن المصفوفة $ (\mathbf{A} - \mathbf{BK}) $ لها قيم ذاتية مميزة فقط وبالتالي تكون دورية (cyclic).

نُبرهن النظرية حدسيا لـ $ n = 4 $ . ليكن كثير الحدود المميِّز لـ $ \mathbf{A} - \mathbf{BK} $ هو

$$ \Delta_ {f} (s) = s ^ {4} + a _ {1} s ^ {3} + a _ {2} s ^ {2} + a _ {3} s + a _ {4} $$

حيث $ a_{i} $ دوال في عناصر $ \mathbf{K} $ . تفاضل $ \Delta_f(s) $ بالنسبة إلى $ s $ يعطي

$$ \Delta_ {f} ^ {\prime} (s) = 4 s ^ {3} + 3 a _ {1} s ^ {2} + 2 a _ {2} s + a _ {3} $$

إذا كان لـ $ \Delta_f(s) $ جذور مكررة، فإن $ \Delta_f(s) $ و $ \Delta_f'(s) $ غير متباينين أوليا (not coprime). والشرط اللازم والكافي لعدم كونهما متباينين أوليا هو أن يكون محدد سيلفستر (Sylvester resultant) منفردا أو

$$ \det \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} a _ {4} & a _ {3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a _ {3} & 2 a _ {2} & a _ {4} & a _ {3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a _ {2} & 3 a _ {1} & a _ {3} & 2 a _ {2} & a _ {4} & a _ {3} & 0 & 0 \\ a _ {1} & 4 & a _ {2} & 3 a _ {1} & a _ {3} & 2 a _ {2} & a _ {4} & a _ {3} \\ 1 & 0 & a _ {1} & 4 & a _ {2} & 3 a _ {1} & a _ {3} & 2 a _ {2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & a _ {1} & 4 & a _ {2} & 3 a _ {1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & a _ {1} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] = b (k _ {i j}) = 0 $$

انظر (7.28). من الواضح أن جميع حلول $ b(k_{ij}) = 0 $ الممكنة تشكل مجموعة صغيرة جدا من جميع القيم الحقيقية لـ $ k_{ij} $ . لذلك إذا اخترنا $ \mathbf{K} $ اعتباطيا، فإن احتمال أن تحقق عناصرها $ b(k_{ij}) = 0 $ يساوي صفر. وبالتالي ستكون جميع القيم الذاتية لـ $ \mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K} $ مميزة. وهذا يثبت النظرية.

بهاتين النظريتين، يمكننا الآن إيجاد $ \mathbf{K} $ لوضع جميع القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}) $ في أي مواضع مرغوبة. إذا لم تكن $ \mathbf{A} $ دورية، نُدخل $ \mathbf{u} = \mathbf{w} - \mathbf{K}_1\mathbf{x} $ ، كما في الشكل 8.10، بحيث تكون $ \bar{\mathbf{A}} := \mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}_1 $ في

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = (\mathbf {A} - \mathbf {B K} _ {1}) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B w} (t) =: \bar {\mathbf {A}} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B w} (t) \tag {8.60} $$

دورية. وبما أن $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ قابل للتحكم، فإن $ (\bar{\mathbf{A}},\mathbf{B}) $ كذلك. وبالتالي يوجد متجه حقيقي $ \mathbf{v} $ من الرتبة $ p\times 1 $ بحيث يكون $ (\bar{\mathbf{A}},\mathbf{B}\mathbf{v}) $ قابلا للتحكم. بعد ذلك نُدخل تغذية راجعة أخرى للحالة

الشكل 8.10 تغذية راجعة للحالة بتصميم دوري (state feedback by cyclic design).

$ \mathbf{w} = \mathbf{r} - \mathbf{K}_2\mathbf{x} $ مع $ \mathbf{K}_2 = \mathbf{v}\mathbf{k} $ حيث $ \mathbf{k} $ متجه حقيقي من الرتبة $ 1\times n $ . عندئذ تصبح (8.60)

$$ \dot {\mathbf {x}} (t) = (\bar {\mathbf {A}} - \mathbf {B} \mathbf {K} _ {2}) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B r} (t) = (\bar {\mathbf {A}} - \mathbf {B v k}) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B r} (t) $$

وبما أن الزوج ذو الدخل الواحد $ (\bar{\mathbf{A}},\mathbf{B}\mathbf{v}) $ قابل للتحكم، فإن القيم الذاتية لـ $ (\bar{\mathbf{A}} -\mathbf{B}\mathbf{v}\mathbf{k}) $ يمكن إسنادها اعتباطيا باختيار $ \mathbf{k} $ (نظرية 8.3). وبجمع تغذية راجعة للحالة $ \mathbf{u} = \mathbf{w} - \mathbf{K}_1\mathbf{x} $ و $ \mathbf{w} = \mathbf{r} - \mathbf{K}_2\mathbf{x} $ على الصورة

$$ \mathbf {u} (t) = \mathbf {r} (t) - \left(\mathbf {K} _ {1} + \mathbf {K} _ {2}\right) \mathbf {x} (t) =: \mathbf {r} (t) - \mathbf {K x} (t) $$

نحصل على $ \mathbf{K} := \mathbf{K}_1 + \mathbf{K}_2 $ الذي يحقق إسناد القيم الذاتية اعتباطيا. وهذا يثبت نظرية 8.M3.