8.6.2 طريقة معادلة ليابونوف (Lyapunov-Equation Method) 

    يمتد هذا القسم بإجراء حساب كسب التغذية الراجعة في القسم 8.2.1 إلى حالة MIMO. اعتبر الزوج $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ ذو البعد $ n $ وعدد المداخل $ p $ . أوجد مصفوفة ثابتة حقيقية $ \mathbf{K} $ من الرتبة $ p \times n $ بحيث يكون لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{BK}) $ أي مجموعة من القيم الذاتية المرغوبة ما دامت المجموعة لا تحتوي أي قيمة ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ .

    إجراء 8.M1 

    1. اختر مصفوفة $ \mathbf{F} $ من الرتبة $ n \times n $ ذات مجموعة القيم الذاتية المرغوبة التي لا تحتوي أي قيم ذاتية لـ $ \mathbf{A} $ .

    2. اختر مصفوفة اعتباطية $ \bar{\mathbf{K}} $ من الرتبة $ p \times n $ بحيث يكون $ (\mathbf{F}, \bar{\mathbf{K}}) $ قابلا للملاحظة (observable).

    3. حل $ \mathbf{T} $ الفريد في معادلة ليابونوف (Lyapunov equation) $ \mathbf{A}\mathbf{T} - \mathbf{T}\mathbf{F} = \mathbf{B}\mathbf{K} $ .

    4. إذا كانت $ \mathbf{T} $ منفردة (singular)، اختر $ \bar{\mathbf{K}} $ مختلفة وكرر العملية. إذا كانت $ \mathbf{T} $ غير منفردة، نحسب $ \mathbf{K} = \bar{\mathbf{KT}}^{-1} $ ، ويكون لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{BK}) $ مجموعة القيم الذاتية المرغوبة.

    إذا كانت $ \mathbf{T} $ غير منفردة، فإن معادلة ليابونوف و $ \mathbf{KT} = \bar{\mathbf{K}} $ تستلزم

    $$ (\mathbf {A} - \mathbf {B K}) \mathbf {T} = \mathbf {T F} \text{or} \mathbf {A} - \mathbf {B K} = \mathbf {T F T} ^ {- 1} $$

    إذن فإن $ (\mathbf{A} - \mathbf{BK}) $ و $ \mathbf{F} $ متشابهان (similar) ولهما مجموعة القيم الذاتية نفسها. وعلى خلاف حالة SISO حيث تكون $ \mathbf{T} $ دائما غير منفردة، قد لا تكون $ \mathbf{T} $ هنا غير منفردة حتى إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ قابلا للتحكم وكان $ (\mathbf{F},\bar{\mathbf{K}}) $ قابلا للملاحظة. بمعنى آخر، هذان الشرطان ضروريان لكنهما غير كافيين لعدم انفراد $ \mathbf{T} $ .

    نظرية 8.M4 

    إذا كان $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ لا يشتركان في قيم ذاتية، فإن الحل الفريد $ \mathbf{T} $ لمعادلة $ \mathbf{A}\mathbf{T} - \mathbf{T}\mathbf{F} = \mathbf{B}\bar{\mathbf{K}} $ يكون غير منفرد (nonsingular) فقط إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ قابلا للتحكم وكان $ (\mathbf{F},\bar{\mathbf{K}}) $ قابلا للملاحظة.

    ينطبق برهان نظرية 8.4 هنا باستثناء أن (8.22) يجب أن تُعدَّل على النحو التالي، ولـ $ n = 4 $ ،

    $$ - \mathbf {T} \Delta (\mathbf {F}) = [ \mathbf {B} \mathbf {A B} \mathbf {A} ^ {2} \mathbf {B} \mathbf {A} ^ {3} \mathbf {B} ] \left[ \begin{array}{l l l l} \alpha_ {3} \mathbf {I} & \alpha_ {2} \mathbf {I} & \alpha_ {1} \mathbf {I} & \mathbf {I} \\ \alpha_ {2} \mathbf {I} & \alpha_ {1} \mathbf {I} & \mathbf {I} & \mathbf {0} \\ \alpha_ {1} \mathbf {I} & \mathbf {I} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {I} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {K}} \\ \bar {\mathbf {K F}} \\ \bar {\mathbf {K F}} ^ {2} \\ \bar {\mathbf {K F}} ^ {3} \end{array} \right] $$

    أو

    $$ - \mathbf {T} \Delta (\mathbf {F}) = \mathcal {C} \Sigma \mathcal {O} \tag {8.61} $$

    حيث إن $ \Delta(\mathbf{F}) $ غير منفردة و $ \mathcal{C} $ ، و $ \Sigma $ ، و $ \mathcal{O} $ هي، على التوالي، $ n \times np $ ، و $ np \times np $ ، و $ np \times n $ . إذا كانت $ \mathcal{C} $ أو $ \mathcal{O} $ ذات رتبة أقل من $ n $ ، فإن $ \mathbf{T} $ منفردة تبعا لـ(3.61). غير أن الشرطين القائلين بأن $ \mathcal{C} $ و $ \mathcal{O} $ لهما رتبة $ n $ لا يعنيان عدم انفراد $ \mathbf{T} $ . لذلك فإن قابلية التحكم للزوج $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ وقابلية الملاحظة للزوج $ (\mathbf{F}, \mathbf{K}) $ شرطان ضروريان فقط لعدم انفراد $ \mathbf{T} $ . وهذا يثبت نظرية 8.M3.

    معطى زوج قابل للتحكم $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ ، يمكن بناء زوج قابل للملاحظة $ (\mathbf{F},\bar{\mathbf{K}}) $ بحيث تكون $ \mathbf{T} $ في نظرية 8.M4 منفردة. ومع ذلك، بعد اختيار $ \mathbf{F} $ ، إذا اختيرت $ \bar{\mathbf{K}} $ عشوائيا وكان $ (\mathbf{F},\bar{\mathbf{K}}) $ قابلا للملاحظة، فيُعتقد أن احتمال كون $ \mathbf{T} $ غير منفردة يساوي 1. لذلك فإن حل معادلة ليابونوف يُعد طريقة عملية لحساب مصفوفة كسب التغذية الراجعة لتحقيق إسناد القيم الذاتية اعتباطيا. وكما في حالة SISO، يمكن اختيار $ \mathbf{F} $ بصيغة رفيقة (companion form) أو بصيغة نمطية (modal form) كما في (8.23). إذا اختيرت $ \mathbf{F} $ كما في (8.23)، فيمكن اختيار $ \bar{\mathbf{K}} $ على النحو

    $$ \bar {\mathbf {K}} = \left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \quad \text{or} \quad \bar {\mathbf {K}} = \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $$

    (انظر مسألة 6.16). بمجرد اختيار $ \mathbf{F} $ و $ \bar{\mathbf{K}} $ ، يمكننا استخدام دالة MATLAB المسماة lyap لحل معادلة ليابونوف. وبالتالي يمكن تنفيذ الإجراء بسهولة.