قدمنا في الفقرات السابقة طريقتين لحساب مصفوفة كسب تغذية راجعة لتحقيق إسناد القيم الذاتية اعتباطيا. الطريقتان بسيطتان نسبيا؛ إلا أنهما لا تكشفان بنية نظام التغذية الراجعة الناتج. في هذه الفقرة الفرعية نناقش تصميما مختلفا يكشف أثر تغذية راجعة للحالة على مصفوفة التحويل (transfer matrix). كما نقدم تفسيرا لمصفوفة التحويل لتغذية راجعة للحالة.
في هذا التصميم، يجب تحويل $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ إلى صيغة قابلة للتحكم (controllable form). وهي امتداد لنظرية 8.2 إلى حالة MIMO. ورغم أن الفكرة الأساسية هي نفسها، فإن الإجراء قد يصبح شديد التعقيد. لذلك سنكتفي بعرض النتيجة النهائية. لتبسيط المناقشة، نفترض أن (8.56) ذات بُعد 6، ومدخلين ومخرجين. نبحث أولا عن الأعمدة المستقلة خطيا في $ \mathcal{C} = [\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{B}\dots \mathbf{A}^5\mathbf{B}] $ بالترتيب من اليسار إلى اليمين. ويُفترض أن مؤشرات القابلية للتحكم (controllability indices) هي $ \mu_1 = 4 $ و $ \mu_2 = 2 $ . عندئذ توجد مصفوفة غير منفردة $ \mathbf{P} $ بحيث إن $ \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{P}\mathbf{x} $ ستحول (8.56) إلى الصيغة القابلة للتحكم
$$ \begin{array}{l} \dot {\bar {\mathbf {x}}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c c c c} - \alpha_ {1 1 1} & - \alpha_ {1 1 2} & - \alpha_ {1 1 3} & - \alpha_ {1 1 4} & \vdots & - \alpha_ {1 2 1} & - \alpha_ {1 2 2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ - \alpha_ {2 1 1} & - \alpha_ {2 1 2} & - \alpha_ {2 1 3} & - \alpha_ {2 1 4} & \vdots & - \alpha_ {2 2 1} & - \alpha_ {2 2 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} (t) \\ + \left[ \begin{array}{l l} 1 & b _ {1 2} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \dots & \dots \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {u} (t) \\ \end{array} $$
$$ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l l l} \beta_ {1 1 1} & \beta_ {1 1 2} & \beta_ {1 1 3} & \beta_ {1 1 4} & \beta_ {1 2 1} & \beta_ {1 2 2} \\ \beta_ {2 1 1} & \beta_ {2 1 2} & \beta_ {2 1 3} & \beta_ {2 1 4} & \beta_ {2 2 1} & \beta_ {2 2 2} \end{array} \right] \bar {\mathbf {x}} (t) \tag {8.62} $$
لاحظ أن هذه الصيغة مطابقة لتلك في (7.104).
نناقش الآن كيفية إيجاد مصفوفة كسب تغذية راجعة لتحقيق إسناد القيم الذاتية اعتباطيا. من مجموعة معينة من ست قيم ذاتية مرغوبة يمكننا تكوين
$$ \Delta_ {f} (s) = \left(s ^ {4} + \bar {\alpha} _ {1 1 1} s ^ {3} + \bar {\alpha} _ {1 1 2} s ^ {2} + \bar {\alpha} _ {1 1 3} s + \bar {\alpha} _ {1 1 4}\right) \left(s ^ {2} + \bar {\alpha} _ {2 2 1} s + \bar {\alpha} _ {2 2 2}\right) \tag {8.63} $$
لنختر $ \mathbf{K} $ على النحو
$$ \begin{array}{l} \bar {\mathbf {K}} = \left[ \begin{array}{c c} 1 & b _ {1 2} \\ 0 & 1 \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c c} \bar {\alpha} _ {1 1 1} - \alpha_ {1 1 1} & \bar {\alpha} _ {1 1 2} - \alpha_ {1 1 2} & \bar {\alpha} _ {1 1 3} - \alpha_ {1 1 3} \\ \bar {\alpha} _ {2 1 1} - \alpha_ {2 1 1} & \bar {\alpha} _ {2 1 2} - \alpha_ {2 1 2} & \bar {\alpha} _ {2 1 3} - \alpha_ {2 1 3} \end{array} \right. \\ \left. \begin{array}{c c c} \bar {\alpha} _ {1 1 4} - \alpha_ {1 1 4} & - \alpha_ {1 2 1} & - \alpha_ {1 2 2} \\ \bar {\alpha} _ {2 1 4} - \alpha_ {2 1 4} & \bar {\alpha} _ {2 2 1} - \alpha_ {2 2 1} & \bar {\alpha} _ {2 2 2} - \alpha_ {2 2 2} \end{array} \right] \tag {8.64} \\ \end{array} $$
عندئذ يمكن التحقق بسهولة من الآتي
$$ \overline {{\mathbf {A}}} - \overline {{\mathbf {B}}} \overline {{\mathbf {K}}} = \left[ \begin{array}{l l l l l l l} - \bar {\alpha} _ {1 1 1} & - \bar {\alpha} _ {1 1 2} & - \bar {\alpha} _ {1 1 3} & - \bar {\alpha} _ {1 1 4} & \vdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ - \bar {\alpha} _ {2 1 1} & - \bar {\alpha} _ {2 1 2} & - \bar {\alpha} _ {2 1 3} & - \bar {\alpha} _ {2 1 4} & \vdots & - \bar {\alpha} _ {2 2 1} & - \bar {\alpha} _ {2 2 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 \end{array} \right] \tag {8.65} $$
ولأن $ (\bar{\mathbf{A}} - \bar{\mathbf{B}}\bar{\mathbf{K}}) $ مثلثية كتلية لأي $ \bar{\alpha}_{21i}, i = 1,2,3,4 $ ، فإن كثير حدودها المميِّز يساوي حاصل ضرب كثيري الحدود المميِّزين للكتلتين القطريتين من الرتبتين 4 و2. وبما أن الكتلتين القطريتين بصيغة رفيقة (companion form)، نستنتج أن كثير الحدود المميِّز لـ $ (\bar{\mathbf{A}} - \bar{\mathbf{B}}\bar{\mathbf{K}}) $ يساوي ذلك في (8.63). إذا كان $ \mathbf{K} = \bar{\mathbf{KP}} $ ، فإن $ (\bar{\mathbf{A}} - \bar{\mathbf{B}}\bar{\mathbf{K}}) = \mathbf{P}(\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K})\mathbf{P}^{-1} $ . وبالتالي فإن كسب التغذية الراجعة $ \mathbf{K} = \bar{\mathbf{KP}} $ سيضع القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}) $ في المواقع المرغوبة. وهذا يثبت مرة أخرى نظرية 8.M3.
على خلاف حالة الدخل الواحد حيث يكون كسب التغذية الراجعة فريدا، فإن مصفوفة كسب التغذية الراجعة في حالة تعدد المداخل ليست فريدة. مثلا، فإن $ \mathbf{K} $ في (8.64) يعطي مصفوفة مثلثية كتلية سفلية في $ (\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}) $ . ويمكن اختيار $ \mathbf{K} $ مختلفة لتعطي مصفوفة مثلثية كتلية علوية أو مصفوفة قطرية كتلية. علاوة على ذلك، فإن تجميعا مختلفا لـ(8.63) سيعطي $ \mathbf{K} $ مختلفة أيضا.