8.6.4 تأثير على مصفوفات التحويل (Effect on Transfer Matrices)2 

    في حالة SISO، تستطيع تغذية راجعة للحالة إزاحة أقطاب دالة تحويل النبات $ \hat{g}(s) $ إلى أي مواضع ومع ذلك لا تؤثر في الأصفار. أو، بصورة مكافئة، تستطيع تغذية راجعة للحالة تغيير معاملات المقام، باستثناء المعامل الرائد 1، إلى أي قيم لكنها لا تؤثر في معاملات البسط. ورغم أننا نستطيع إثبات نتيجة مماثلة لحالة MIMO من (8.62) و(8.65)، فمن المفيد القيام بذلك باستخدام نتيجة القسم 7.9. باتباع الرموز في القسم 7.9، نعبر عن $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} $ على الصورة

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \tag {8.66} $$

    أو

    $$ \hat {\mathbf {y}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {u}} (s) \tag {8.67} $$

    حيث إن $ \mathbf{N}(s) $ و $ \mathbf{D}(s) $ متباينان أوليا يمينيا (right coprime)، و $ \mathbf{D}(s) $ مختزلة الأعمدة (column reduced). عرف

    $$ \mathbf {D} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) = \hat {\mathbf {u}} (s) \tag {8.68} $$


    الشكل 8.11 تفسير مصفوفة التحويل لتغذية راجعة للحالة (transfer matrix interpretation of state feedback).

    كما في (7.93). عندئذ لدينا

    $$ \hat {\mathbf {y}} (s) = \mathbf {N} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) \tag {8.69} $$

    لتكن $ \mathbf{H}(s) $ و $ \mathbf{L}(s) $ معرفتين كما في (7.91) و(7.92). عندئذ يكون متجه الحالة في (8.62) هو

    $$ \hat {\mathbf {x}} (s) = \mathbf {L} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) $$

    ومن ثم تصبح تغذية راجعة للحالة، في مجال تحويل لابلاس،

    $$ \hat {\mathbf {u}} (s) = \hat {\mathbf {r}} (s) - \mathbf {K} \hat {\mathbf {x}} (s) = \hat {\mathbf {r}} (s) - \mathbf {K L} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) \tag {8.70} $$

    ويمكن تمثيلها كما في الشكل 8.11.

    لنعبّر عن $ \mathbf{D}(s) $ على الصورة

    $$ \mathbf {D} (s) = \mathbf {D} _ {h c} \mathbf {H} (s) + \mathbf {D} _ {l c} \mathbf {L} (s) \tag {8.71} $$

    بإحلال (8.71) و(8.70) في (8.68) نحصل على

    $$ \left[ \mathbf {D} _ {h c} \mathbf {H} (s) + \mathbf {D} _ {l c} \mathbf {L} (s) \right] \hat {\mathbf {v}} (s) = \hat {\mathbf {r}} (s) - \mathbf {K L} (s) \hat {\mathbf {v}} (s) $$

    مما يعني

    $$ \left[ \mathbf {D} _ {h c} \mathbf {H} (s) + \left(\mathbf {D} _ {l c} + \mathbf {K}\right) \mathbf {L} (s) \right] \hat {\mathbf {v}} (s) = \hat {\mathbf {r}} (s) $$

    وبإحلال ذلك في (8.69) نحصل على

    $$ \hat {\mathbf {y}} (s) = \mathbf {N} (s) \left[ \mathbf {D} _ {h c} \mathbf {H} (s) + (\mathbf {D} _ {l c} + \mathbf {K}) \mathbf {L} (s) \right] ^ {- 1} \hat {\mathbf {r}} (s) $$

    وبالتالي فإن مصفوفة التحويل (transfer matrix) من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{y} $ هي

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {f} (s) = \mathbf {N} (s) \left[ \mathbf {D} _ {h c} \mathbf {H} (s) + \left(\mathbf {D} _ {l c} + \mathbf {K}\right) \mathbf {L} (s) \right] ^ {- 1} \tag {8.72} $$

    تغير تغذية راجعة للحالة مصفوفة تحويل النبات $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ إلى تلك في (8.72). نرى أن مصفوفة البسط $ \mathbf{N}(s) $ لا تتأثر بتغذية راجعة للحالة، كما لا تتأثر درجة العمود $ \mathbf{H}(s) $ ومصفوفة معاملات درجات الأعمدة $ \mathbf{D}_{hc} $ بتغذية راجعة للحالة. ومع ذلك، يمكن إسناد جميع المعاملات المرتبطة بـ $ \mathbf{L}(s) $ اعتباطيا باختيار $ \mathbf{K} $ . وهذا مشابه لحالة SISO.

    يمكن توسيع التتبع المتين ورفض الاضطراب اللذين نوقشا في القسم 8.3 إلى حالة MIMO. إلا أن القيام بذلك باستخدام الكسور المتباينة أوليا (coprime fractions) أبسط؛ لذلك لن نناقشه هنا.