8.6 التغذية الراجعة للحالة - حالة متعدد المداخل متعدد المخارج (MIMO Case) 

    يمتد هذا القسم بالتغذية الراجعة للحالة إلى الأنظمة متعددة المداخل متعددة المخارج (MIMO systems). اعتبر نباتا موصوفا بمعادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $ وبعدد مداخل $ p $

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) \tag {8.56} \\ \end{array} $$

    في التغذية الراجعة للحالة، يُعطى الدخل $ \mathbf{u} $ بواسطة

    $$ \mathbf {u} (t) = \mathbf {r} (t) - \mathbf {K} \mathbf {x} (t) \tag {8.57} $$

    حيث $ \mathbf{K} $ مصفوفة ثابتة حقيقية من الرتبة $ p\times n $ و $ \mathbf{r} $ إشارة مرجعية (reference signal). بإحلال (8.57) في (8.56) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = (\mathbf {A} - \mathbf {B K}) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B r} (t) \tag {8.58} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) \\ \end{array} $$

    نظرية 8.M1 

    الثنائي $ (\mathbf{A} - \mathbf{BK}, \mathbf{B}) $ ، لأي مصفوفة ثابتة حقيقية $ \mathbf{K} $ من الرتبة $ p \times n $ ، قابل للتحكم (controllable) إذا وفقط إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $ قابلا للتحكم (controllable).

    برهان هذه النظرية يتبع عن كثب برهان نظرية 8.1. والاختلاف الوحيد هو أننا يجب أن نُعدّل (8.4) كما يلي

    $$ \mathcal {C} _ {f} = \mathcal {C} \left[ \begin{array}{c c c c} \mathbf {I} _ {p} & - \mathbf {K B} & - \mathbf {K} (\mathbf {A} - \mathbf {B K}) \mathbf {B} & - \mathbf {K} (\mathbf {A} - \mathbf {B K}) ^ {2} \mathbf {B} \\ \mathbf {0} & \mathbf {I} _ {p} & - \mathbf {K B} & - \mathbf {K} (\mathbf {A} - \mathbf {B K}) \mathbf {B} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {I} _ {p} & - \mathbf {K B} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {I} _ {p} \end{array} \right] $$

    حيث $ \mathcal{C}_f $ و $ \mathcal{C} $ هما مصفوفتا القابلية للتحكم (controllability matrices) من الرتبة $ n \times np $ مع $ n = 4 $ و $ \mathbf{I}_p $ هي مصفوفة الوحدة من الرتبة $ p $ . وبما أن المصفوفة اليمنى ذات الأبعاد $ (4p \times 4p) $ غير منفردة (nonsingular)، فإن $ \mathcal{C}_f $ لها رتبة $ n $ إذا وفقط إذا كانت $ \mathcal{C} $ لها رتبة $ n $ . وبالتالي تُحفظ خاصية قابلية التحكم (controllability property) تحت أي تغذية راجعة للحالة. وكما في حالة SISO، فإن خاصية قابلية الملاحظة (observability property) قد لا تُحفظ. سنمد الآن نظرية 8.3 إلى حالة المصفوفات.

    نظرية 8.M3 

    يمكن إسناد جميع القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{BK}) $ اعتباطيا (شريطة أن تُسنَد القيم الذاتية المترافقة عقديا في أزواج) باختيار مصفوفة ثابتة حقيقية $ \mathbf{K} $ إذا وفقط إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ قابلا للتحكم (controllable).

    إذا كان $ (\mathbf{A},\mathbf{B}) $ غير قابل للتحكم، فيمكن تحويله إلى الصورة المبينة في (8.36) ولن تتأثر القيم الذاتية لـ $ \bar{\mathbf{A}}_{\bar{c}} $ بأي تغذية راجعة للحالة. هذا يبين ضرورة النظرية. أما الكفاية فستُثبت بنائيا في الأقسام الثلاثة التالية.