8.7 مقدِّرات الحالة - حالة متعدد المداخل متعدد المخارج (MIMO Case) 

    تنطبق جميع المناقشات الخاصة بمقدِّرات الحالة في حالة SISO على حالة MIMO؛ لذلك ستكون المناقشة موجزة. اعتبر معادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $ بعدد مداخل $ p $ ومخارج $ q $

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {8.73} $$
    $$ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) $$

    المشكلة هي استخدام الدخل $ \mathbf{u} $ والخرج $ \mathbf{y} $ المتاحين لقيادة نظام يعطي خرجه تقديرا للحالة $ \mathbf{x} $ . نمد (8.40) إلى حالة MIMO كما يلي

    $$ \hat {\mathbf {x}} (t) = (\mathbf {A} - \mathbf {L C}) \hat {\mathbf {x}} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) + \mathbf {L} \mathbf {y} (t) \tag {8.74} $$

    هذا مقدِّر حالة كامل الأبعاد (full-dimensional state estimator). لنعرّف متجه الخطأ على أنه

    $$ \mathbf {e} (t) := \mathbf {x} (t) - \hat {\mathbf {x}} (t) \tag {8.75} $$

    عندئذ نحصل، كما في (8.41)، على

    $$ \dot {\mathbf {e}} (t) = (\mathbf {A} - \mathbf {L C}) \mathbf {e} (t) \tag {8.76} $$

    إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ قابلا للملاحظة (observable)، فيمكن إسناد جميع القيم الذاتية لـ $ (\mathbf{A} - \mathbf{LC}) $ اعتباطيا باختيار $ \mathbf{L} $ . وبالتالي فإن معدل تقارب الحالة المقدَّرة $ \hat{\mathbf{x}} $ نحو الحالة الفعلية $ \mathbf{x} $ يمكن أن يكون سريعا كما نشاء. وكما في حالة SISO، فإن الطرق الثلاث لحساب كسب تغذية راجعة للحالة $ \mathbf{K} $ يمكن تطبيقها هنا لحساب $ \mathbf{L} $ .

    نناقش الآن مقدِّرات الحالة مخفَّضة الأبعاد. الإجراء التالي هو امتداد لإجراء 8.R1 إلى حالة MIMO.

    إجراء 8.MR1 

    اعتبر الزوج القابل للملاحظة $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ ذو البعد $ n $ والمخرجات $ q $ . نفترض أن $ \mathbf{C} $ لها رتبة $ q $ .

    1. اختر مصفوفة مستقرة (stable) اعتباطية $ \mathbf{F} $ من الرتبة $ (n - q) \times (n - q) $ لا تشترك في أي قيم ذاتية مع $ \mathbf{A} $ .
    2. اختر مصفوفة اعتباطية $ \mathbf{L} $ من الرتبة $ (n - q) \times q $ بحيث يكون $ (\mathbf{F}, \mathbf{L}) $ قابلا للتحكم (controllable).
    3. حل $ \mathbf{T} $ الفريد من الرتبة $ (n - q)\times n $ في معادلة ليابونوف (Lyapunov equation) $ \mathbf{TA} - \mathbf{FT} = \mathbf{LC} $
    4. إذا كانت المصفوفة المربعة من الرتبة $ n $
    $$ \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{l} \mathbf {C} \\ \mathbf {T} \end{array} \right] \tag {8.77} $$

    منفردة (singular)، فارجع إلى الخطوة (2) وكرر العملية. إذا كانت $ \mathbf{P} $ غير منفردة، فإن معادلة فضاء الحالة ذات الأبعاد $ (n - q) $

    $$ \dot {\mathbf {z}} (t) = \mathbf {F} \mathbf {z} (t) + \mathbf {T} \mathbf {B} \mathbf {u} (t) + \mathbf {L} \mathbf {y} (t) \tag {8.78} $$
    $$ \hat {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l} \mathbf {C} \\ \mathbf {T} \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{l} \mathbf {y} (t) \\ \mathbf {z} (t) \end{array} \right] \tag {8.79} $$

    تولِّد تقديرا لـ $ \mathbf{x}(t) $

    نبرر الإجراء أولا. نكتب (8.79) على الصورة

    $$ \left[ \begin{array}{l} \mathbf {y} (t) \\ \mathbf {z} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \mathbf {C} \\ \mathbf {T} \end{array} \right] \hat {\mathbf {x}} (t) $$

    مما يعني $ \mathbf{y} = \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}} $ و $ \mathbf{z} = \mathbf{T}\hat{\mathbf{x}} $ . من الواضح أن $ \mathbf{y} $ تقدير لـ $ \mathbf{C}\mathbf{x} $ . نُظهر الآن أن $ \mathbf{z} $ تقدير لـ $ \mathbf{T}\mathbf{x} $ . لنعرف

    $$ \mathbf {e} (t) := \mathbf {z} (t) - \mathbf {T x} (t) $$

    عندئذ نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {e}} (t) = \dot {\mathbf {z}} (t) - \mathbf {T} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {F} \mathbf {z} (t) + \mathbf {T} \mathbf {B} \mathbf {u} (t) + \mathbf {L} \mathbf {C} \mathbf {x} (t) - \mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {x} (t) - \mathbf {T} \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \\ = \mathbf {F} \mathbf {z} (t) + (\mathbf {L C} - \mathbf {T A}) \mathbf {x} (t) = \mathbf {F} (\mathbf {z} (t) - \mathbf {T x} (t)) = \mathbf {F e} (t) \\ \end{array} $$

    إذا كانت $ \mathbf{F} $ مستقرة (stable)، فإن $ \mathbf{e}(t)\rightarrow \mathbf{0} $ عندما $ t\to \infty $ . وبالتالي فإن $ \mathbf{z}(t) $ تقدير لـ $ \mathbf{T}\mathbf{x}(t) $

    نظرية 8.M6 

    إذا كان $ \mathbf{A} $ و $ \mathbf{F} $ لا يشتركان في قيم ذاتية، فإن المصفوفة المربعة

    $$ \mathbf {P} := \left[ \begin{array}{c} \mathbf {C} \\ \mathbf {T} \end{array} \right] $$

    حيث إن $ \mathbf{T} $ هو الحل الفريد لـ $ \mathbf{TA} - \mathbf{FT} = \mathbf{LC} $ ، تكون غير منفردة (nonsingular) فقط إذا كان $ (\mathbf{A}, \mathbf{C}) $ قابلا للملاحظة (observable) وكان $ (\mathbf{F}, \mathbf{L}) $ قابلا للتحكم (controllable).

    يمكن إثبات هذه النظرية بدمج براهين النظريتين 8.M4 و8.6. وعلى خلاف نظرية 8.6، حيث تكون الشروط اللازمة والكافية لعدم انفراد $ \mathbf{P} $ ، فإن الشروط هنا ضرورية فقط. معطى $ (\mathbf{A},\mathbf{C}) $ ، يمكن بناء زوج قابل للتحكم $ (\mathbf{F},\mathbf{L}) $ بحيث تكون $ \mathbf{P} $ منفردة. ومع ذلك، بعد اختيار $ \mathbf{F} $ ، إذا اختيرت $ \mathbf{L} $ عشوائيا وكان $ (\mathbf{F},\mathbf{L}) $ قابلا للتحكم، فيُعتقد أن احتمال كون $ \mathbf{P} $ غير منفردة يساوي 1.