8.8 تغذية راجعة من حالات مقدَّرة - حالة متعدد المداخل متعدد المخارج (MIMO Case) 

    يمتد هذا القسم بخاصية الفصل (separation property) التي نوقشت في القسم 8.5 إلى حالة MIMO. سنستخدم مقدِّر الحالة مخفَّض الأبعاد؛ لذلك سيكون التطوير أكثر تعقيدا.

    اعتبر معادلة فضاء الحالة ذات البعد $ n $

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} \mathbf {u} (t) \tag {8.80} \\ \mathbf {y} (t) = \mathbf {C x} (t) \\ \end{array} $$

    ومقدِّر الحالة ذو الأبعاد $ (n - q) $ في (8.78) و(8.79). أولا نحسب معكوس $ \mathbf{P} $ في (8.77) ثم نقسمه إلى $ [\mathbf{Q}_1\mathbf{Q}_2] $ ، حيث $ \mathbf{Q}_1 $ من الرتبة $ n \times q $ و $ \mathbf{Q}_2 $ من الرتبة $ n \times (n - q) $ ، أي

    $$ \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {Q} _ {1} & \mathbf {Q} _ {2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {C} \\ \mathbf {T} \end{array} \right] = \mathbf {Q} _ {1} \mathbf {C} + \mathbf {Q} _ {2} \mathbf {T} = \mathbf {I} \tag {8.81} $$

    عندئذ يمكن كتابة مقدِّر الحالة ذو الأبعاد $ (n - q) $ في (8.78) و(8.79) كما يلي

    $$ \dot {\mathbf {z}} (t) = \mathbf {F} \mathbf {z} (t) + \mathbf {T} \mathbf {B} \mathbf {u} (t) + \mathbf {L} \mathbf {y} (t) \tag {8.82} $$
    $$ \hat {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {Q} _ {1} \mathbf {y} (t) + \mathbf {Q} _ {2} \mathbf {z} (t) \tag {8.83} $$

    إذا لم تكن الحالة الأصلية متاحة لتغذية راجعة للحالة، نطبق مصفوفة كسب التغذية الراجعة على $ \hat{\mathbf{x}} $ لنحصل على

    $$ \mathbf {u} (t) = \mathbf {r} (t) - \mathbf {K} \hat {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {r} (t) - \mathbf {K Q} _ {1} \mathbf {y} (t) - \mathbf {K Q} _ {2} \mathbf {z} (t) \tag {8.84} $$

    بإحلال هذا في (8.80) و(8.82) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \mathbf {A} \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} (\mathbf {r} (t) - \mathbf {K Q} _ {1} \mathbf {C x} (t) - \mathbf {K Q} _ {2} \mathbf {z} (t)) \\ = \left(\mathbf {A} - \mathbf {B K Q} _ {1} \mathbf {C}\right) \mathbf {x} (t) - \mathbf {B K Q} _ {2} \mathbf {z} (t) + \mathbf {B r} (t) \tag {8.85} \\ \end{array} $$
    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {z}} (t) = \mathbf {F} \mathbf {z} (t) + \mathbf {T B} (\mathbf {r} - \mathbf {K Q} _ {1} \mathbf {C x} (t) - \mathbf {K Q} _ {2} \mathbf {z} (t)) + \mathbf {L C x} (t) \\ = \left(\mathbf {L C} - \mathbf {T B K Q} _ {1} \mathbf {C}\right) \mathbf {x} (t) + \left(\mathbf {F} - \mathbf {T B K Q} _ {2}\right) \mathbf {z} (t) + \mathbf {T B r} (t) \tag {8.86} \\ \end{array} $$

    يمكن جمعهما كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) \\ \dot {\mathbf {z}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} - \mathbf {B K Q} _ {1} \mathbf {C} & - \mathbf {B K Q} _ {2} \\ \mathbf {L C} - \mathbf {T B K Q} _ {1} \mathbf {C} & \mathbf {F} - \mathbf {T B K Q} _ {2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {z} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \mathbf {B} \\ \mathbf {T B} \end{array} \right] \mathbf {r} (t) \tag {8.87} \\ \mathbf {y} (t) = [ \mathbf {C} \quad \mathbf {0} ] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {z} (t) \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    هذه معادلة فضاء حالة ذات بُعد $ (2n - q) $ تصف نظام التغذية الراجعة في الشكل 8.8. وكما في حالة SISO، لنُجرِ تحويل التكافؤ التالي

    $$ \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {e} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {z} (t) - \mathbf {T x} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {I} _ {n} & \mathbf {0} \\ - \mathbf {T} & \mathbf {I} _ {n - q} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {z} (t) \end{array} \right] $$

    بعد بعض المعالجة واستخدام $ \mathbf{TA} - \mathbf{FT} = \mathbf{LC} $ و(8.81)، يمكننا في النهاية الحصول على معادلة فضاء الحالة المكافئة التالية:

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) \\ \dot {\mathbf {e}} (t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} - \mathbf {B K} & - \mathbf {B K Q} _ {2} \\ \mathbf {0} & \mathbf {F} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {e} (t) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \mathbf {B} \\ \mathbf {0} \end{array} \right] \mathbf {r} (t) \tag {8.88} \\ y (t) = [ \mathbf {C} \quad \mathbf {0} ] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {x} (t) \\ \mathbf {e} (t) \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    هذه المعادلة مشابهة لـ(8.55) في حالة SISO. لذلك تنطبق جميع المناقشات هناك، دون أي تعديل، على حالة MIMO. بمعنى آخر، يمكن إجراء تصميم تغذية راجعة للحالة وتصميم مقدِّر الحالة بشكل مستقل. وهذه هي خاصية الفصل (separation property). علاوة على ذلك، فإن جميع القيم الذاتية لـ $ \mathbf{F} $ غير قابلة للتحكم من $ \mathbf{r} $ ومصفوفة التحويل من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{y} $ تساوي

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {f} (s) = \mathbf {C} (s \mathbf {I} - \mathbf {A} + \mathbf {B K}) ^ {- 1} \mathbf {B} $$