المسائل 

    8.1 معطى

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l} 2 & 1 \\\ - 1 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 2 \end{array} \right] u (t), \quad y (t) = [ 1 1 ] \mathbf {x} (t) $$

    أوجد كسب التغذية الراجعة للحالة (state feedback gain) $ \mathbf{k} $ بحيث يكون للنظام مع تغذية راجعة للحالة قيم ذاتية (eigenvalues) عند $ -1 $ و$ -2 $. احسب $ \mathbf{k} $ مباشرة دون استخدام أي تحويل تكافؤ (equivalence transformation).

    8.2 كرر المسألة 8.1 باستخدام (8.13).
    8.3 كرر المسألة 8.1 بحل معادلة Lyapunov (Lyapunov equation).
    8.4 أوجد كسب التغذية الراجعة للحالة (state feedback gain) لمعادلة الحالة

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & - 2 \\\ 0 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) $$

    بحيث تكون القيم الذاتية (eigenvalues) للنظام الناتج هي $ -2 $ و$ -1 \pm j1 $. استخدم الطريقة التي تراها أبسط يدويًا لإجراء التصميم.

    8.5 اعتبر نظامًا غير مستقر (unstable) ذا دخل واحد وخرج واحد

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 1 & 1 & - 1 \\\ 0 & 2 & 0 \\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right] x (t) \\\ \end{array} $$

    صمّم قانون تحكم بتغذية راجعة للحالة (state feedback control law) لنقل القيم الذاتية إلى $ -1, -2, -3 $ بتحويل النظام أعلاه إلى صيغة قابلة للتحكم (controllable form).

    8.6 اعتبر نظامًا بدالة انتقال (transfer function)

    $$ \hat {g} (s) = \frac {(s - 1) (s + 2)}{(s + 1) (s - 2) (s + 3)} $$

    هل يمكن تغيير دالة الانتقال إلى

    $$ \hat {g} _ {f} (s) = \frac {s - 1}{(s + 2) (s + 3)} $$

    باستخدام تغذية راجعة للحالة (state feedback)؟ هل النظام الناتج مستقر BIBO (BIBO stable)؟ مستقر تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    8.7 اعتبر نظامًا بدالة انتقال (transfer function)

    $$ \hat {g} (s) = \frac {(s - 1) (s + 2)}{(s + 1) (s - 2) (s + 3)} $$

    هل يمكن تغيير دالة الانتقال إلى

    $$ \hat {g} _ {f} (s) = \frac {1}{s + 3} $$

    باستخدام تغذية راجعة للحالة (state feedback)؟ هل النظام الناتج مستقر BIBO (BIBO stable)؟ مستقر تقاربيًا (asymptotically stable)؟

    8.8 اعتبر معادلة فضاء الحالة (state-space equation) الزمنية المستمرة

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 1 & - 2 \\\ 0 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) \\\ \mathbf {y} (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 2 & 0 & 0 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) \\\ \end{array} $$

    ليكن $ u(t) = pr(t) - \mathbf{kx}(t) $. أوجد كسب التقدّم الأمامي (feedforward gain) $ p $ وكسب التغذية الراجعة للحالة (state feedback gain) $ \mathbf{k} $ بحيث تكون القيم الذاتية (eigenvalues) للنظام الناتج $ -2 $ و$ -1 \pm j1 $ وبحيث يتتبع مخرجه أي دخل مرجعي خطوة بشكل تقاربي (asymptotically).

    8.9 اعتبر معادلة فضاء الحالة الزمنية المتقطعة (discrete-time state-space equation)

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {x} [ k + 1 ] = \left[ \begin{array}{r r r} 1 & 1 & - 2 \\\ 0 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {x} [ k ] + \left[ \begin{array}{r} 1 \\\ 0 \\\ 1 \end{array} \right] u [ k ] \\\ y [ k ] = \left[ \begin{array}{l l} 2 & 0 \\\ 0 & 0 \end{array} \right] x [ k ] \\\ \end{array} $$

    أوجد كسب التغذية الراجعة للحالة (state feedback gain) بحيث تكون جميع القيم الذاتية (eigenvalues) للنظام الناتج عند $ z = 0 $. بيّن أنه لأي حالة ابتدائية، تصبح استجابة الدخل الصفري (zero-input response) لنظام التغذية الراجعة مساوية للصفر تمامًا عندما $ k \geq 3 $.

    8.10 اعتبر معادلة فضاء الحالة الزمنية المتقطعة في المسألة 8.9. ليكن $ u[k] = pr[k] - kx[k] $، حيث $ p $ كسب تقدّم أمامي (feedforward gain). للكسب $ k $ في المسألة 8.9، أوجد كسبًا $ p $ بحيث يتتبع الخرج أي دخل مرجعي خطوة. وبيّن أيضًا أن $ y[k] = r[k] $ عندما $ k \geq 3 $. وبالتالي يتحقق التتبع الدقيق في عدد محدود من فترات العينة بدلًا من التقارب. هذا ممكن إذا وُضعت جميع أقطاب النظام الناتج عند $ z = 0 $. وهذا يسمى تصميم الضربة الميتة (dead beat design).

    8.11 اعتبر معادلة الحالة غير القابلة للتحكم (uncontrollable state equation)

    $$ \dot {\mathbf {x}} (t) = \left[ \begin{array}{l l l l} 2 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array} \right] \mathbf {x} (t) + \left[ \begin{array}{l} 0 \\\ 1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array} \right] u (t) $$

    هل يمكن إيجاد كسب $ \mathbf{k} $ بحيث تكون معادلة التغذية الراجعة للحالة $ u = r - kx $ ذات قيم ذاتية (eigenvalues) $ -2, -2, -1, -1 $؟ هل يمكن الحصول على قيم ذاتية $ -2, -2, -2, -1 $؟ ماذا عن $ -2, -2, -2, -2 $؟ هل المعادلة قابلة للاستقرارية (stabilizable)؟

    8.12 صمّم مقدّر حالة (state estimator) كامل البعد ومقدّر حالة مخفّض البعد لمعادلة فضاء الحالة في المسألة 8.1. اختر القيم الذاتية (eigenvalues) للمقدّرين من المجموعة $ \{-3, -2 \pm j2\} $
    8.13 اعتبر معادلة فضاء الحالة في المسألة 8.1. احسب دالة الانتقال (transfer function) من $ r $ إلى $ y $ لنظام التغذية الراجعة للحالة. احسب دالة الانتقال من $ r $ إلى $ y $ إذا طُبِّق كسب التغذية الراجعة على الحالة المقدّرة للمقدّر كامل البعد المصمّم في المسألة 8.12. احسب دالة الانتقال من $ r $ إلى $ y $ إذا طُبِّق كسب التغذية الراجعة على الحالة المقدّرة لمقدّر الحالة مخفّض البعد المصمّم أيضًا في المسألة 8.12. هل دوال الانتقال الثلاث متساوية؟
    8.14 لتكن

    $$ \mathbf {A} = \left[ \begin{array}{r r r r} 0 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ - 3 & 1 & 2 & 3 \\\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right], \quad \mathbf {B} = \left[ \begin{array}{r r} 0 & 0 \\\ 0 & 0 \\\ 1 & 2 \\\ 0 & 2 \end{array} \right] $$

    أوجد مصفوفتين ثابتتين مختلفتين $ \mathbf{K} $ بحيث تكون $ (\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}) $ ذات قيم ذاتية (eigenvalues) $ -4 \pm 3j $ و$ -5 \pm 4j $.

    8.15 اعتبر النظام غير المستقر (unstable) متعدد المداخل والمخارج

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 1 & 1 & 0 \\\ 0 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{r r} 1 & 1 \\\ 0 & 0 \\\ 0 & 1 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 3 & - 1 \\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] x (t) \\\ \end{array} $$

    استخدم طريقة الصيغة القابلة للتحكم (controllable-form method) لتصميم قانون تحكم بتغذية راجعة للحالة ينقل القيم الذاتية إلى $ -1, -2, -3 $.

    8.16 اعتبر نظام المفاعل الكيميائي (chemical reactor system) الذي نوقش في Munro (1972)

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} 1. 3 8 0 0 & - 0. 2 0 7 7 & 6. 7 1 5 0 & - 5. 6 7 6 0 \\\ - 0. 5 8 1 4 & - 4. 2 9 0 0 & 0 & 0. 6 7 5 0 \\\ 1. 0 6 7 0 & 4. 2 7 3 0 & - 6. 6 5 4 0 & 5. 8 9 3 0 \\\ 0. 0 4 8 0 & 4. 2 7 3 0 & 1. 3 4 3 0 & - 2. 1 0 4 0 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{c c} 0 & 0 \\\ 5. 6 7 9 & 0 \\\ 1. 1 3 6 & - 3. 1 4 6 \\\ 1. 1 3 6 & 0 \end{array} \right] u (t) \\\ y (t) = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] x (t) \\\ \end{array} $$

    صمّم قانون تحكم بتغذية راجعة مبنيًا على مراقب مخفّض الرتبة (reduced-order observer-based feedback control law) لنقل القيم الذاتية للنظام إلى $ -5, -2, -1, -9 $ باختيار قيم ذاتية للمراقب عند $ -10 $ و$ -12 $.

    8.17 اعتبر النظام الآتي

    $$ \dot {x} (t) = \left[ \begin{array}{r r r} - 1 & 1 & 0 \\\ - 2 & 3 & 0 \\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] x (t) + \left[ \begin{array}{r} 1 \\\ 2 + \sqrt {2} \\\ 1 \end{array} \right] u (t) $$

    هل يمكن نقل قيمتين ذاتيتين للنظام إلى $ -\sqrt{2} + 1 $ والثالثة إلى $ -\sqrt{2} - 1 $ باستخدام تغذية راجعة للحالة (state feedback)؟ إذا كان ممكنًا، أوجد كسب التغذية الراجعة؛ وإذا لم يكن، لماذا؟

    8.18 اعتبر نظامًا بدالة الانتقال

    $$ G (s) = \frac {s + 1}{(s - 2) (s + 3)} $$

    (a) صمّم مراقبًا كامل الرتبة (full-order observer) ومراقبًا مخفّض الرتبة (reduced-order observer) للنظام أعلاه بحيث تُوضَع جميع القيم الذاتية للمراقبين عند $ -3 $.
    (b) يُصمَّم المراقب عادةً مع قانون تحكم بتغذية راجعة للحالة لاستقرار نظام غير مستقر مثل النظام المعطى أعلاه. مع ذلك، من المرغوب تجنب تصميم المراقب إن أمكن استقرار النظام باستخدام تغذية راجعة خرجية ساكنة (static output feedback) على الشكل $ u = \nu - Hy $. هل هذا ممكن للنظام أعلاه؟ إذا نعم، أوجد مجال قيم $ H $ بحيث يكون النظام مغلق الحلقة مستقرًا.
    (c) إذا كانت الإجابة عن الجزء (b) نعم، بيّن إجراءً لتتبع مدخل مرجعي خطوة بشكل تقاربي (asymptotically).

    8.19 صمّم مراقبًا كامل الرتبة ومراقبًا مخفّض الرتبة للمسألة 8.7. اختر القيم الذاتية للمراقب من المجموعة $ \{-1, -2, -3\} $ .

    8.20 اعتبر نظامًا ممثلًا بـ

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} (t) = A x (t) + B u (t) \\\ y (t) = C x (t) + D u (t) \\\ \end{array} $$

    ومعوِّضًا ديناميكيًا (dynamic compensator) بُني في تشكيل تغذية راجعة موصوف بـ

    $$ \begin{array}{l} \dot {z} (t) = F z (t) + G y (t) \\\ w (t) = M z (t) + N y (t) \\\ \end{array} $$

    بيّن أن النظام الكلي يمكن تحويله إلى مسألة تغذية راجعة خرجية ساكنة (static output feedback).

    الحلول 

    8.1 $ \mathbf{k} = [4\quad 1] $

    8.3 من أجل

    $$ \mathbf {F} = \left[ \begin{array}{c c} - 1 & 0 \\\ 0 & - 2 \end{array} \right] \quad \bar {\mathbf {k}} = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 1 \end{array} \right] $$

    لدينا

    $$ \mathbf {T} = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 / 1 3 \\\ 1 & 9 / 1 3 \end{array} \right] \quad \mathbf {k} = \bar {\mathbf {k}} \mathbf {T} ^ {- 1} = [ 4 \quad 1 ] $$

    8.6 نعم، نعم، نعم.

    8.8 $ u = pr - kx $ مع $ k = [1547 - 8] $ و$ p = 0.5 $ .

    8.10 $ u[k] = pr[k] - kx[k] $ مع $ k = [152] $ و$ p = 0.5 $ . دالة الانتقال الكلية (overall transfer function) هي

    $$ \dot {g} _ {f} (z) = \frac {0 . 5 \left(2 z ^ {2} - 8 z + 8\right)}{z ^ {3}} $$

    والخرج المثار بواسطة $ r[k] = a $ هو $ y[0] = 0 $، و$ y[1] = a $، و$ y[2] = -3a $ و$ y[k] = a $ لـ $ k \geq 3 $ .

    8.12 مقدّر ذو بعدين:

    $$ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {z}} = \left[ \begin{array}{l l} - 2 & 2 \\\ - 2 & - 2 \end{array} \right] \mathbf {z} + \left[ \begin{array}{l} 0. 6 2 8 2 \\\ - 0. 3 1 0 5 \end{array} \right] u + \left[ \begin{array}{l} 1 \\\ 0 \end{array} \right] y \\\ \hat {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c} - 1 2 & - 2 7. 5 \\\ 1 9 & 3 2 \end{array} \right] \mathbf {z} \\\ \end{array} $$

    مقدّر ذو بعد واحد:

    $$ \begin{array}{l} \dot {z} = - 3 z + (1 3 / 2 1) u + y \\\ \hat {\mathbf {x}} = \left[ \begin{array}{c c} - 4 & 2 1 \\\ 5 & - 2 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} y \\\ z \end{array} \right] \\\ \end{array} $$

    8.14 اختر

    $$ \mathbf {F} = \left[ \begin{array}{r r r r} - 4 & 3 & 0 & 0 \\\ - 3 & 4 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & - 5 & 4 \\\ 0 & 0 & - 4 & - 5 \end{array} \right] $$
    $$ \begin{array}{l} \text{If} \bar {\mathbf {K}} = \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \quad \text{then} \mathbf {K} = \left[ \begin{array}{c c c c} 6 2. 5 & 1 4 7 & 2 0 & 5 1 5. 5 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \\\ \text{If} \bar {\mathbf {K}} = \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right], \quad \text{then} \mathbf {K} = \left[ \begin{array}{r r r r} - 6 0 6. 2 & - 1 6 8 & - 1 4. 2 & - 2 \\\ 3 7 1. 1 & 1 1 9. 2 & 1 4. 9 & 2. 2 \end{array} \right] \\\ \end{array} $$