9.1 مقدمة (Introduction) 

    نقدم أولاً أسباب إدراج هذا الفصل. يقدّم الفصل 6 تحليل فضاء الحالة (state-space analysis) (قابلية التحكم (controllability) وقابلية الملاحظة (observability)) ويقدّم الفصل 8 التصميم (design) (تغذية راجعة للحالة (state feedback) ومقدرات الحالة (state estimators)). قدمنا في الفصل 7 الكسور الأولية (coprime fractions). لذلك من المنطقي أن نناقش في هذا الفصل تطبيقاتها في التصميم (design).

    يمكن صياغة معظم أنظمة التحكم (control systems)، كما نوقش في القسم 8.1، كما هو مبين في الشكل 8.1. أي، إذا أُعطيت منظومة (plant) بمدخل (input) $ u $ ومخرج (output) $ y $ وإشارة مرجعية (reference signal) $ r $ ، فصمّم نظاماً كلياً بحيث يتتبع المخرج (output) $ y $ الإشارة المرجعية (reference signal) $ r $ بأقرب ما يمكن. يُسمى مدخل المنظومة (plant input) $ u $ أيضاً إشارة التشغيل (actuating signal) ويُسمى مخرج المنظومة (plant output) $ y $ إشارة التحكم (controlled signal). إذا كانت إشارة التشغيل (actuating signal) $ u $ تعتمد فقط على الإشارة المرجعية (reference signal) $ r $ كما في الشكل 9.1(a)، فيُسمى ذلك تحكم حلقي مفتوح (open-loop control). وإذا كانت $ u $ تعتمد على $ r $ و $ y $ ، فيُسمى ذلك تحكماً حلقياً مغلقاً أو تحكم تغذية راجعة (closed-loop or feedback control). توجد تكوينات تغذية راجعة (feedback configurations) عديدة. أبسطها تكوين تغذية راجعة بوحدة (unity-feedback configuration) المبين في الشكل 9.1(b) حيث ينبغي تصميم الكسب الثابت (constant gain) $ p $ والمعوض (compensator) ذي دالة التحويل (transfer function) $ C(s) $ . ومن الواضح أننا نحصل على

    $$ \hat {u} (s) = C (s) \left[ p \hat {r} (s) - \hat {y} (s) \right] \tag {9.1} $$

    بما أن $ p $ ثابت، فإن الإشارة المرجعية (reference signal) $ r $ ومخرج المنظومة (plant output) $ y $ يقودان عملياً المعوض (compensator) نفسه لتوليد إشارة تشغيل (actuating signal). لذا يقال إن التكوين يملك درجة حرية واحدة (one degree of freedom). ومن الواضح أن تكوين الحلقة المفتوحة أيضاً يملك درجة حرية واحدة (one degree of freedom).

    يمكن إعادة رسم اتصال تغذية راجعة الحالة (state feedback) ومقدر الحالة (state estimator) في الشكل 8.8 كما في الشكل 9.1(c). ويعطي التلاعب البسيط

    $$ \hat {u} (s) = \frac {1}{1 + C _ {1} (s)} \hat {r} (s) - \frac {C _ {2} (s)}{1 + C _ {1} (s)} \hat {y} (s) $$


    (a)


    (b)


    (c)
    الشكل 9.1 تكوينات التحكم (Control configurations).


    (d)

    نرى أن $ r $ و $ y $ يقودان معوضين (compensators) مستقلين لتوليد $ u $ . لذا يقال إن التكوين يملك درجتي حرية (two degrees of freedom).

    يمكن الحصول على تكوين طبيعي أكثر بدرجتي حرية (two-degree-of-freedom configuration) بتعديل (9.1) كما يلي

    $$ \hat {u} (s) = C _ {1} (s) \hat {r} (s) - C _ {2} (s) \hat {y} (s) \tag {9.2} $$

    ويُرسم في الشكل 9.1(d). هذا هو إشارة التحكم الأكثر عمومية لأن كلّاً من $ r $ و $ y $ يقود معوضاً (compensator) ولدينا الحرية في تصميمه. لذلك لا يوجد تكوين بثلاث درجات حرية (three degrees of freedom). توجد تكوينات عديدة بدرجتي حرية (two-degree-of-freedom configurations)، انظر مثلاً المرجع 15. نسمّي التكوين في الشكل 9.1(d) التكوين ثنائي المعلمات (two-parameter configuration) ونسمّي التكوين في الشكل 9.1(c) تكوين المتحكم-المقدر (controller-estimator) أو تكوين تغذية راجعة مدخل-مخرج-منظومة (plant-input-output-feedback configuration). وبما أن التكوين ثنائي المعلمات يبدو أكثر طبيعية وأكثر ملاءمة للتطبيق العملي، فإننا ندرس فقط هذا التكوين في هذا الفصل. ولتصاميم تستخدم تكوين تغذية راجعة مدخل-مخرج-منظومة (plant-input-output-feedback configuration)، انظر المرجع 6.

    يعتمد التصميم الذي سيُقدّم في هذا الفصل على الكسور الأولية متعددة الحدود (coprime polynomial fractions). نحتاج إلى نتيجة القسم 7.3 لأنظمة SISO، ونحتاج إلى نتائج الأقسام 7.6 حتى 7.8.2 لأنظمة MIMO. أما بقية الفصل 7 وكامل الفصل 8 فليسا مطلوبين هنا. في هذا الفصل، سنحوّل مسألة التصميم (design problem) إلى حل مجموعات من المعادلات الجبرية الخطية (linear algebraic equations). لذلك تُسمى الطريقة بالطريقة الجبرية الخطية (linear algebraic method) في المرجع 7.

    ولتسهيل الأمر، نعرّف أولاً بعض المصطلحات. تُفترض كل دالة تحويل (transfer function) $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ كسرًا أوليًا (coprime fraction). عندئذ تكون كل جذور $ D(s) $ أقطاباً (poles) لـ $ \hat{g}(s) $ وتكون كل جذور $ N(s) $ أصفاراً (zeros) لـ $ \hat{g}(s) $ . يُسمى القطب (pole) قطبًا مستقراً زمن-مستمر (CT stable pole) إذا كان له جزء حقيقي سالب؛ ويُسمى قطبًا غير مستقر زمن-مستمر (CT unstable pole) إذا كان له جزء حقيقي صفري أو موجب.

    تُسمى كثيرة الحدود مستقرة زمن-مستمر (CT stable polynomial) إذا كانت كل جذورها ذات أجزاء حقيقية سالبة. كما نعرّف ما يلي:

    • أصفار ذات طور أدنى (Minimum-phase zeros): أصفار ذات أجزاء حقيقية سالبة.
    • أصفار ذات طور غير أدنى (Nonminimum-phase zeros): أصفار ذات أجزاء حقيقية صفرية أو موجبة.

    على الرغم من أن بعض النصوص تسميها أصفاراً مستقرة وغير مستقرة (stable and unstable zeros)، فإنها لا علاقة لها بالاستقرار (stability). دالة تحويل (transfer function) لها أصفار ذات طور أدنى فقط تمتلك أصغر طور (phase) بين جميع دوال التحويل ذات استجابات المطال (magnitude responses) نفسها. انظر المرجع 7، ص 284-285. لذلك نستخدم المصطلحات المذكورة أعلاه.