9.2.1 معادلات المعوض (Compensator Equations) — الطريقة الكلاسيكية (Classical Method) 

تتضمن مسألة وضع الأقطاب (pole-place problem) حل معادلة كثيرة حدود (polynomial equation)

$$ A (s) D (s) + B (s) N (s) = F (s) \tag {9.4} $$

حيث إن $ D(s), N(s) $ ، و $ F(s) $ كثيرات حدود (polynomials) معطاة و $ A(s) $ و $ B(s) $ كثيرات حدود (polynomials) مجهولة ينبغي إيجادها. ومن الناحية الرياضية، تكافئ هذه المسألة مسألة أنه إذا أعطيت أعداداً صحيحة $ D, N $ ، و $ F $ ، أوجد حلولاً صحيحة $ A $ و $ B $ في $ AD + BN = F $ . هذه مسألة رياضية قديمة جداً وارتبطت بالرياضين Diophantus و Bezout و Aryabhatta وغيرهم.¹ لتجنب الجدل، نتبع المرجع 4 ونسميها معادلة المعوض (compensator equation).

سنناقش أولاً شرط الوجود والحلول العامة للمعادلة. غير أن ما سنناقشه ليس مطلوباً في الأقسام اللاحقة، ويمكن للقارئ أن يطلع سريعاً على هذا القسم الفرعي.

نظرية 9.1 (Theorem 9.1) 

معطى كثيرتا حدود $ D(s) $ و $ N(s) $ ، توجد حلول كثيرة حدود $ A(s) $ و $ B(s) $ في (9.4) لأي كثيرة حدود $ F(s) $ إذا وفقط إذا كان $ D(s) $ و $ N(s) $ أوليين (coprime).

افترض أن $ D(s) $ و $ N(s) $ غير أوليين (not coprime) ويحتويان الجذر نفسه $ a $ أو العامل نفسه $ s - a $ . عندئذ سيظهر العامل $ s - a $ في $ F(s) $ . لذا إذا لم تحتو $ F(s) $ هذا العامل، فلا توجد حلول في (9.4). يبيّن هذا ضرورة النظرية.

إذا كان $ D(s) $ و $ N(s) $ أوليين (coprime)، فهناك كثيرتا حدود $ \bar{A}(s) $ و $ \bar{B}(s) $ بحيث

$$ \bar {A} (s) D (s) + \bar {B} (s) N (s) = 1 \tag {9.5} $$

نسختها المصفوفية تُسمى هوية Bezout (Bezout identity) في المرجع 16. ويمكن الحصول على كثيرتي الحدود $ \bar{A}(s) $ و $ \bar{B}(s) $ باستخدام خوارزمية Euclidean (Euclidean algorithm) ولن نناقشها هنا. انظر المرجع 6، ص 578-580. على سبيل المثال، إذا كان $ D(s) = s^2 - 1 $ و $ N(s) = s - 2 $ ، فإن $ \bar{A}(s) = 1/3 $ و $ \bar{B}(s) = -(s + 2)/3 $ تحقق (9.5). لأي كثيرة حدود $ F(s) $ ، فإن (9.5) تعني

$$ F (s) \bar {A} (s) D (s) + F (s) \bar {B} (s) N (s) = F (s) \tag {9.6} $$

وبالتالي فإن $ A(s) = F(s)\bar{A}(s) $ و $ B(s) = F(s)\bar{B}(s) $ حلان. يبيّن هذا كفاية النظرية.

بعد ذلك نناقش الحلول العامة (general solutions). لأي $ D(s) $ و $ N(s) $ ، توجد كثيرتا حدود $ \hat{A}(s) $ و $ \hat{B}(s) $ بحيث

$$ \hat {A} (s) D (s) + \hat {B} (s) N (s) = 0 \tag {9.7} $$

ومن الواضح أن $ \hat{A}(s) = -N(s) $ و $ \hat{B}(s) = D(s) $ هما مثل هذه الحلول. ثم لأي كثيرة حدود $ Q(s) $ ، فإن المعادلتين

$$ A (s) = \bar {A} (s) F (s) + Q (s) \hat {A} (s), \quad B (s) = \bar {B} (s) F (s) + Q (s) \hat {B} (s) \tag {9.8} $$

هما الحلول العامة (general solutions) لـ (9.4). ويمكن التحقق من ذلك بسهولة بتعويض (9.8) في (9.4) واستخدام (9.5) و(9.7).

مثال 9.2.1 اعتبر $ D(s) = s^2 - 1 $ و $ N(s) = s - 2 $ . هما أوليان (coprime) ولهما $ \bar{A}(s) = 1/3 $ و $ \bar{B}(s) = -(s + 2)/3 $ لتحقيق (9.5). إذا كان $ F(s) = s^3 + 4s^2 + 6s + 4 $ ، فإن

$$ \begin{array}{l} A (s) = \frac {1}{3} \left(s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4\right) + Q (s) (- s + 2) \tag {9.9} \\ B (s) = - \frac {1}{3} (s + 2) \left(s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4\right) + Q (s) \left(s ^ {2} - 1\right) \\ \end{array} $$

لأي كثيرة حدود $ Q(s) $ ، هي حلول لـ (9.4).

على الرغم من أن الطريقة الكلاسيكية (classical method) يمكن أن تعطي حلولاً عامة (general solutions)، فإن الحلول ليست بالضرورة ملائمة للاستخدام في التصميم (design). على سبيل المثال، قد نهتم بحل $ A(s) $ و $ B(s) $ بأقل درجات (least degrees) لتحقيق (9.4). في هذه الحالة، وبعد بعض التلاعب، نجد أنه إذا كان $ Q(s) = (s^2 + 6s + 15)/3 $ ، فإن (9.9) تختزل إلى

$$ A (s) = s + 3 4 / 3, \quad B (s) = (- 2 2 s - 2 3) / 3 \tag {9.10} $$

وهما اللذان تم الحصول عليهما في القسم السابق بمطابقة المعاملات (matching coefficients). في هذا الفصل، بدلاً من حل معادلة المعوض (compensator equation) مباشرة كما نوقش أعلاه، سنحوّلها إلى حل مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية (linear algebraic equations) كما في القسم 7.3. وبذلك يمكننا تجاوز بعض مبرهنات كثيرات الحدود (polynomial theorems).