9.2 مطابقة المعاملات الأولية (Preliminary-Matching Coefficients) 

    في هذا القسم، نستخدم مثالاً بسيطاً لمناقشة الفكرة الأساسية التي ستُستخدم في التصميم (design). قبل المتابعة، نناقش تأثيرات التغذية الراجعة (feedback) على الأقطاب (poles) والأصفار (zeros). اعتبر نظام تغذية راجعة بوحدة (unity feedback system) في الشكل 9.1(b). لتكن $ p = 1 $ ، و $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ ، و $ C(s) = B(s) / A(s) $ . عندئذ تكون دالة التحويل الكلية (overall transfer function) $ \hat{g}_0(s) $ من $ r $ إلى $ y $ هي

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} _ {o} (s) = \frac {C (s) \hat {g} (s)}{1 + C (s) \hat {g} (s)} = \frac {\frac {B (s)}{A (s)} \cdot \frac {N (s)}{D (s)}}{1 + \frac {B (s)}{A (s)} \cdot \frac {N (s)}{D (s)}} \\ = \frac {B (s) N (s)}{A (s) D (s) + B (s) N (s)} \tag {9.3} \\ \end{array} $$

    نرى أن أصفار المنظومة (plant) تبقى كما هي أصفار نظام التغذية الراجعة. وبعبارة أخرى، لا تؤثر التغذية الراجعة (feedback) على الأصفار (zeros). أقطاب نظام التغذية الراجعة أو جذور $ A(s)D(s) + B(s)N(s) $ تختلف عن أقطاب المنظومة أو جذور $ D(s) $ . وبالتالي تُزاح أقطاب المنظومة إلى مواقع جديدة. خلاصة القول، تؤثر التغذية الراجعة (feedback) على الأقطاب (poles) ولكن ليس على الأصفار (zeros). والموقف مطابق لتغذية راجعة الحالة (state feedback) التي نوقشت في (8.17).

    من الواضح أن تأثير الأقطاب يعتمد على درجة المعوض (degree of a compensator). نستخدم مثالاً لإظهار أنه إذا كانت درجة المعوض كبيرة بما يكفي، فيمكن تعيين جميع أقطاب نظام التغذية الراجعة على نحو اعتباطي. اعتبر دالة تحويل المنظومة (plant transfer function)

    $$ \hat {g} (s) = \frac {s - 2}{s ^ {2} - 1} = \frac {s - 2}{(s + 1) (s - 1)} =: \frac {N (s)}{D (s)} $$

    ننظر أولاً في معوض بدرجة 0 أو $ C(s) = k $ ، حيث $ k $ ثابت حقيقي. عندئذ تصبح (9.3)

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} _ {o} (s) = \frac {C (s) \hat {g} (s)}{1 + C (s) \hat {g} (s)} = \frac {\dot {k} \cdot \frac {s - 2}{s ^ {2} - 1}}{1 + k \cdot \frac {s - 2}{s ^ {2} - i}} = \frac {k (s - 2)}{s ^ {2} - 1 + k (s - 2)} \\ = \frac {k (s - 2)}{s ^ {2} + k s - (2 k + 1)} \\ \end{array} $$

    نرى أنه لأي $ k $ حقيقي، يبقى صفر $ \hat{g}_o(s) $ عند 2 ولكن الأقطاب ستتغير. على سبيل المثال، إذا كان $ k = 4 $ ، تُزاح أقطاب $ \hat{g}(s) $ من $ \pm 1 $ إلى جذور $ s^2 + 4s - 9 $ أو

    -1.6 و 5.6. نظام التغذية الراجعة غير مستقر لأنه يملك قطباً غير مستقر زمن-مستمر (CT unstable pole) عند 5.6. في الواقع، لأي قيمة حقيقية لـ $ k $ ، يبقى $ \hat{g}_o(s) $ غير مستقر. وبالتالي لا يمكننا تصميم نظام مستقر BIBO (BIBO stable) باستخدام معوض بدرجة 0.

    بعد ذلك ننظر في معوض Proper (proper compensator) بدرجة 1. وبدلاً من استخدام $ C(s) = (bs + c) / (s + a) $ ، نختار، لملاءمة التطوير اللاحق،

    $$ C (s) = \frac {B _ {1} s + B _ {0}}{A _ {1} s + A _ {0}} =: \frac {B (s)}{A (s)} $$

    حيث $ B_{i} $ و $ A_{i} $ ثوابت حقيقية و $ A_{1} \neq 0 $ . إذا كان $ A_{1} = 0 $ ، يكون المعوض غير Proper (improper). بهذا المعوض، نحصل باستخدام (9.3) على

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} _ {o} (s) = \frac {B (s) N (s)}{A (s) D (s) + B (s) N (s)} = \frac {\left(B _ {1} s + B _ {0}\right) (s - 2)}{\left(A _ {1} s + A _ {0}\right) \left(s ^ {2} - 1\right) + \left(B _ {1} s + B _ {0}\right) (s - 2)} \\ = \frac {\left(B _ {1} s + B _ {0}\right) (s - 2)}{A _ {1} s ^ {3} + \left(A _ {0} + B _ {1}\right) s ^ {2} + \left(B _ {0} - A _ {1} - 2 B _ {1}\right) s + \left(- A _ {0} - 2 B _ {0}\right)} \\ \end{array} $$

    مرة أخرى، لا يتأثر صفر $ \hat{g}(s) $ عند 2 بالتغذية الراجعة ويبقى صفراً لـ $ \hat{g}_o(s) $ . وبسبب التغذية الراجعة، تظهر معاملات المعوض الأربعة في كل معامل من مقام $ \hat{g}_o(s) $ كما يلي

    $$ F (s) := A _ {1} s ^ {3} + \left(A _ {0} + B _ {1}\right) s ^ {2} + \left(B _ {0} - A _ {1} - 2 B _ {1}\right) s + \left(- A _ {0} - 2 B _ {0}\right) $$

    وعليه يبدو من الممكن وضع الأقطاب (poles) في أي موضع. على سبيل المثال، إذا اختيرت الأقطاب الثلاثة $ -2, -1 \pm j1 $ ، فعندئذ يجب أن يكون لـ $ \hat{g}_o(s) $

    $$ F (s) = (s + 2) (s + 1 - j 1) (s + 1 + j 1) = (s + 2) \left(s ^ {2} + 2 s + 2\right) = s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4 $$

    بوصفه مقاماً. ومطابقة المعاملات للقوى المتماثلة تعطي

    $$ \begin{array}{l} A _ {1} = 1 \\ A _ {0} + B _ {1} = 4 \\ B _ {0} - A _ {1} - 2 B _ {1} = 6 \\ - A _ {0} - 2 B _ {0} = 4 \\ \end{array} $$

    بالتعويض بالمعادلة الأولى في الثالثة وجمع المعادلتين الثانية والرابعة نحصل على الترتيب،

    $$ \begin{array}{l} B _ {0} - 2 B _ {1} = 7 \\ - 2 B _ {0} + B _ {1} = 8 \\ \end{array} $$

    بإضافة المعادلة الأولى مضروبة في 2 إلى المعادلة الثانية نحصل على $ -3B_{1} = 22 $ أو $ B_{1} = -22 / 3 $ . وبناءً على ذلك نحصل على $ B_{0} = 7 + 2B_{1} = -23 / 3 $ و $ A_0 = 4 - B_1 = 34 / 3 $ . وبالتالي نحصل على

    $$ A (s) = A _ {1} s + A _ {0} = s + (3 4 / 3) \quad \text{and} \quad B (s) = B _ {1} s + B _ {0} = (- 2 2 / 3) s - (2 3 / 3) $$

    ويكون المعوض (compensator)

    $$ C (s) = \frac {B _ {1} s + B _ {0}}{A _ {1} s + A _ {0}} = \frac {- 2 2 s / 3 + (- 2 3 / 3)}{1 \cdot s + 3 4 / 3} = \frac {- 2 2 s - 2 3}{3 s + 3 4} $$

    بالنسبة إلى $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ المعطاة ومعوض $ C(s) = B(s) / A(s) $ السابق، تصبح (9.3)

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} _ {o} (s) = \frac {B (s) N (s)}{A (s) D (s) + B (s) N (s)} = \frac {B (s) N (s)}{F (s)} \\ = \frac {((- 2 2 / 3) s - (2 3 / 3)) (s - 2)}{s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4} \\ \end{array} $$

    وله أقطاب عند $ -2, -1 \pm j1 $ . وهذا يُسمى تصميم وضع الأقطاب (pole-placement design).

    نرى أن التصميم (design) لا يتضمن إلا مطابقة معاملات معادلة كثيرة الحدود $ A(s)D(s) + B(s)N(s) = F(s) $ ، وبالتالي فالإجراء بسيط جداً. في بقية هذا الفصل، سنقنن إجراء التصميم ثم نوسّعه إلى تصميم مطابقة النموذج (model matching).