9.3.1 التنظيم والتتبع (Regulation and Tracking) 

    يمكن استخدام وضع الأقطاب (pole-placement) لتحقيق التنظيم (regulation) والتتبع (tracking) المناقشين في القسم 8.3. في مسألة المنظِّم (regulator problem)، لدينا $ r = 0 $ والمسألة هي تصميم معوض (compensator) $ C(s) $ بحيث تختفي الاستجابة المثارة بأي حالة ابتدائية غير صفرية بمعدل مرغوب. لهذه المسألة، إذا اختيرت جميع أقطاب $ \hat{g}_o(s) $ بحيث تكون ذات أجزاء حقيقية سالبة، فعندئذ لأي كسب (gain) $ p $ ، وبشكل خاص $ p = 1 $ (لا حاجة لكسب تغذية أمامية (feedforward gain))، سيحقق النظام الكلي التنظيم (regulation).

    نناقش بعد ذلك مسألة التتبع (tracking). لتكن الإشارة المرجعية دالة خطوة (step function) بسعة $ a $ . عندئذ $ \hat{r}(s) = a / s $ ويكون المخرج $ \hat{y}(s) $ مساوياً لـ

    $$ \hat {y} (s) = \hat {g} _ {o} (s) \hat {r} (s) = \hat {g} _ {o} (s) \frac {a}{s} $$

    إذا كانت $ \hat{g}_o(s) $ مستقرة BIBO (BIBO stable)، فسيقترب المخرج من الثابت $ \hat{g}_o(0)a $ (نظرية 5.2). ويمكن أيضاً الحصول على ذلك باستخدام مبرهنة القيمة النهائية (final-value theorem) لتحويل لابلاس (Laplace transform) كما يلي

    $$ \lim _ {t \rightarrow \infty} y (t) = \lim _ {s \rightarrow 0} s \hat {y} (s) = \hat {g} _ {o} (0) a $$

    لذلك لكي نتتبع تقاربياً أي مدخل مرجعي خطوة (step reference input)، يجب أن تكون $ \hat{g}_o(s) $ مستقرة BIBO (BIBO stable) وأن تكون $ \hat{g}_o(0) = 1 $ . دالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ في الشكل 9.1(b) هي $ \hat{g}_o(s) = pN(s)B(s) / F(s) $ . لذا نحصل على

    $$ \hat {g} _ {o} (0) = p \frac {N (0) B (0)}{F (0)} = p \frac {B _ {0} N _ {0}}{F _ {0}} $$

    مما يعني أن

    $$ p = \frac {F _ {0}}{B _ {0} N _ {0}} \tag {9.15} $$

    وبالتالي لكي نتتبع أي مدخل مرجعي خطوة، نحتاج $ B_0 \neq 0 $ و $ N_0 \neq 0 $ . الثابت $ B_0 $ هو معامل للمعوض ويمكن تصميمه ليكون غير صفري. المعامل $ N_0 $ هو الحد الثابت لبسط المنظومة. لذا إذا كانت دالة تحويل المنظومة لها صفر عند $ s = 0 $ ، فإن $ N_0 = 0 $ ولا يمكن تصميم المنظومة لتتبع أي مدخل مرجعي خطوة. وهذا متسق مع المناقشة في القسم 8.3.

    إذا كانت الإشارة المرجعية دالة منحدر (ramp function) أو $ r(t) = at $ ، لجميع $ t \geq 0 $ وبعض الثابت $ a $ ، فعندئذ، باستخدام الحجة نفسها، يمكننا إظهار أن دالة التحويل الكلية $ \hat{g}_o(s) $ يجب أن تكون مستقرة BIBO (BIBO stable) وأن تحقق الخصائص $ \hat{g}_o(0) = 1 $ و $ \hat{g}_o'(0) = 0 $ (المسائل 9.13 و9.14). وهذا يُلخّص فيما يلي.

    • التنظيم (Regulation) $ \Leftrightarrow \hat{g}_o(s) $ مستقرة BIBO (BIBO stable).
    • تتبع أي مدخل مرجعي خطوة (Tracking any step reference input) $ \Leftrightarrow \hat{g}_o(s) $ مستقرة BIBO (BIBO stable) و $ \hat{g}_o(0) = 1 $ .
    • تتبع أي مدخل مرجعي منحدر (Tracking any ramp reference input) $ \Leftrightarrow \hat{g}_o(s) $ مستقرة BIBO (BIBO stable)، و $ \hat{g}_o(0) = 1 $ ، و $ \hat{g}_o'(0) = 0 $ .

    مثال 9.3.1 أعطيت منظومة بدالة تحويل $ \hat{g}(s) = (s - 2)/(s^2 - 1) $ . أوجد معوضاً proper (proper compensator) $ C(s) $ وكسباً (gain) $ p $ في تكوين تغذية راجعة بوحدة (unity-feedback configuration) في الشكل 9.1(b) بحيث يتتبع المخرج $ y $ تقاربياً أي مدخل مرجعي خطوة.

    درجة دالة تحويل المنظومة هي $ n = 2 $ . لذلك إذا اخترنا $ m = 1 $ ، يمكن تعيين الأقطاب الثلاثة للنظام الكلي بشكل اعتباطي. لتكن الأقطاب الثلاثة مختارة اعتباطياً كـ $ -2, -1 \pm j1 $ . عندئذ نحصل على

    $$ F (s) = (s + 2) (s + 1 + j 1) (s + 1 - j 1) = (s + 2) \left(s ^ {2} + 2 s + 2\right) = s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4 $$

    نستخدم معاملات $ D(s) = -1 + 0 \cdot s + 1 \cdot s^2 $ و $ N(s) = -2 + 1 \cdot s + 0 \cdot s^2 $ لتكوين (9.13) كما يلي

    $$ \left[ A _ {0} B _ {0} A _ {1} B _ {1} \right] \left[ \begin{array}{r r r r} - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = [ 4 6 4 1 ] $$

    وهو في الحقيقة يتكون من المعادلات الأربع التالية:

    $$ A _ {0} \cdot (- 1) + B _ {0} \cdot (- 2) + A _ {1} \cdot 0 + B _ {1} \cdot 0 = 4 \quad \text{or} \quad - A _ {0} - 2 B _ {0} = 4 $$

    $ B_{0} - A_{1} - 2B_{1} = 6 $ ، و $ A_{0} + B_{1} = 4 $ ، و $ A_{1} = 1 $ . هذه هي المعادلات الأربع التي طُوّرت في القسم 9.2؛ وقد حُصل على حلولها، بحذف المتغيرات، كما يلي،

    $$ A _ {1} = 1 A _ {0} = 3 4 / 3, \quad B _ {1} = - 2 2 / 3, \quad B _ {0} = - 2 3 / 3 $$

    ومن المهم الإشارة إلى أن الحل يمكن الحصول عليه أيضاً باستخدام MATLAB كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \mathrm {S} = [ - 1 0 1 0; - 2 1 0 0; 0 - 1 0 1; 0 - 2 1 0 ]; \mathrm {F} = [ 4 6 4 1 ]; \\ \mathrm {F} / \mathrm {S} \end{array} $$

    وهو يعطي

    $$ [ A _ {0} B _ {0} A _ {1} B _ {1} ] = [ 1 1. 3 3 3 - 7. 6 6 6 7 1. 0 0 0 0 - 7. 3 3 3 3 ] $$

    وهو في الأساس نفسه الذي تم الحصول عليه يدوياً. لذا نحصل على

    $$ A (s) = s + 3 4 / 3, \quad B (s) = (- 2 2 / 3) s - 2 3 / 3 $$

    ويكون المعوض (compensator)

    $$ C (s) = \frac {B (s)}{A (s)} = \frac {- (2 2 / 3) s - (2 2 / 3)}{s + 3 4 / 3} \tag {9.16} $$

    ويعطي $ \hat{g}_o(s) $ كما يلي

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {p (- (2 2 / 3) s - 2 3 / 3) (s - 2)}{s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4} $$

    وله ثلاثة أقطاب عند $ -2 $ و $ -1 \pm j1 $ . إذا صُمّم النظام لتحقيق التنظيم (regulation)، نضع $ p = 1 $ (لا حاجة لكسب تغذية أمامية (feedforward gain)) ويكتمل التصميم.

    لتتبع أي مدخل مرجعي خطوة، نحتاج $ \hat{g}_o(0) = 1 $ أو

    $$ \frac {p (- 2 2 / 3) (- 2)}{4} = \mathrm {i} $$

    مما يعني أن

    $$ p = \frac {4}{(- 2 3 / 3) (- 2)} = \frac {6}{2 3} \tag {9.17} $$

    وبالتالي فإن دالة التحويل الكلية من $ r $ إلى $ y $ التي تحقق

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {(6 / 2 3) (- (2 2 / 3) s - (2 3 / 3)) (s - 2)}{(s ^ {3} + 4 s ^ {3} + 6 s + 4)} = \frac {- 2 (2 2 s + 2 3) (s - 2)}{2 3 (s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4)} \tag {9.18} $$

    سوف يتتبع أي مدخل مرجعي خطوة.