9.3.2 التتبع المتين ورفض الاضطراب (Robust Tracking and Disturbance Rejection)2 

    اعتبر مسألة التصميم في المثال 9.3.1. افترض أنه بعد اكتمال التصميم، تتغير دالة تحويل المنظومة (plant transfer function) $ \hat{g}(s) $ ، بسبب تغيّرات الحمل، إلى $ \hat{\bar{g}}(s) = (s - 2.1)/(s^2 - 0.95) $ . عندئذ تصبح دالة التحويل الكلية

    $$ \begin{array}{l} \hat {\bar {g}} _ {o} (s) = \frac {p C (s) \hat {\bar {g}} (s)}{1 + C (s) \hat {\bar {g}} (s)} = \frac {6}{2 3} \frac {\frac {- 2 2 s - 2 3}{3 s + 3 4} \frac {s - 2 . 1}{s ^ {-} 0 . 9 5}}{1 + \frac {- 2 2 s - 2 3}{3 s + 3 4} \frac {s - 2 . 1}{s ^ {-} 0 . 9 5}} \\ = \frac {- 6 (2 2 s + 2 3) (s - 2 . 1)}{2 3 \left(s ^ {3} + 1 2 s ^ {2} + 2 0 . 3 5 s + 1 6\right)} \tag {9.19} \\ \end{array} $$

    إن $ \hat{g}_o(s) $ هذه ما تزال مستقرة BIBO (BIBO stable)، ولكن $ \hat{g}_o(0) = (6\cdot 23\cdot 2.1) / (23\cdot 16) = 0.7875\neq 1 $ . إذا كان مدخل المرجع دالة خطوة وحدوية (unit step function)، فإن المخرج سيقترب من 0.7875 عندما $ t\to \infty $ . هناك


    (a)


    (b)
    الشكل 9.2 التتبع المتين ورفض الاضطراب (Robust tracking and disturbance rejection).

    خطأ تتبع يتجاوز $ 20\% $ . وبالتالي لن يعود النظام الكلي يتتبع أي مدخل مرجعي خطوة بعد تغيّر معاملات المنظومة، ويقال إن التصميم غير متين (not robust).

    في هذا القسم الفرعي، نناقش تصميماً يمكنه تحقيق التتبع المتين ورفض الاضطراب (robust tracking and disturbance rejection). اعتبر النظام المبين في الشكل 9.2، حيث يدخل اضطراب (disturbance) عند مدخل المنظومة كما هو موضح. المسألة هي تصميم نظام كلي بحيث يتتبع مخرج المنظومة $ y $ تقاربياً صنفاً من الإشارة المرجعية $ r $ حتى مع وجود الاضطراب ومع تغيّرات معاملات المنظومة. يسمى ذلك التتبع المتين ورفض الاضطراب (robust tracking and disturbance rejection).

    قبل المتابعة، نناقش طبيعة الإشارة المرجعية $ r(t) $ والاضطراب $ w(t) $ . إذا كانت كل من $ r(t) $ و $ w(t) $ تؤولان إلى الصفر عندما $ t \to \infty $ ، فإن التصميم يتحقق تلقائياً إذا صُمم النظام الكلي في الشكل 9.2 ليكون مستقراً BIBO (BIBO stable). لاستبعاد هذه الحالة البديهية، نفترض أن $ r(t) $ و $ w(t) $ لا تؤولان إلى الصفر عندما $ t \to \infty $ . إذا لم تكن لدينا أي معرفة على الإطلاق بطبيعة $ r(t) $ و $ w(t) $ ، فلا يمكن تحقيق التتبع التقاربي ورفض الاضطراب. لذلك نحتاج إلى بعض المعلومات عن $ r(t) $ و $ w(t) $ قبل تنفيذ التصميم. نفترض أن تحويلات لابلاس (Laplace transforms) لـ $ r(t) $ و $ w(t) $ تُعطى بـ

    $$ \hat {r} (s) = \mathcal {L} [ r (t) ] = \frac {N _ {r} (s)}{D _ {r} (s)}, \quad \hat {w} (s) = \mathcal {L} [ w (t) ] = \frac {N _ {w} (s)}{D _ {w} (s)} \tag {9.20} $$

    حيث إن $ D_r(s) $ و $ D_w(s) $ كثيرتا حدود (polynomials) معلومتان؛ لكن $ N_r(s) $ و $ N_w(s) $ مجهولتان لنا. على سبيل المثال، إذا كان $ r(t) $ دالة خطوة بسعة مجهولة $ a $ ، فإن $ \hat{r}(s) = a / s $ . افترض أن الاضطراب هو $ w(t) = b + c \sin(\omega_0 t + d) $ ؛ وهو يتكون من انحياز ثابت (constant biasing) بسعة مجهولة $ b $ وجيبية (sinusoid) بتردد معلوم $ \omega_0 $ ولكن بسعة $ c $ وطور $ d $ مجهولين. عندئذ نحصل على $ \hat{w}(s) = N_w(s) / s (s^2 + \omega_0^2) $ . لتكن $ \phi(s) $ المقام المشترك الأصغر (least common denominator) للأقطاب غير المستقرة (unstable poles) لـ $ \hat{r}(s) $ و $ \hat{w}(s) $ . تُستبعد الأقطاب المستقرة لأنها لا تؤثر في $ y $ عندما $ t \to \infty $ . وبالتالي فإن جميع جذور $ \phi(s) $ لها أجزاء حقيقية صفرية أو موجبة. وللأمثلة التي نوقشت للتو، لدينا $ \phi(s) = s (s^2 + \omega_0^2) $ .

    نظرية 9.3 (Theorem 9.3) 

    اعتبر نظام التغذية الراجعة بوحدة (unity-feedback system) المبين في الشكل 9.2(a) مع دالة تحويل منظومة صارمة التحقق (strictly proper plant transfer function) $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ . يُفترض أن $ D(s) $ و $ N(s) $ أوليان (coprime). تُنمذج الإشارة المرجعية $ r(t) $ والاضطراب $ w(t) $ على شكل $ \hat{r}(s) = N_r(s) / D_r(s) $ و $ \hat{w}(s) = N_w(s) / D_w(s) $ . لتكن $ \phi(s) $ المقام المشترك الأصغر للأقطاب غير المستقرة لـ $ \hat{r}(s) $ و $ \hat{w}(s) $ . إذا لم يكن أي جذر من جذور $ \phi(s) $ صفراً لـ $ \hat{g}(s) $ ، عندئذ يوجد معوض proper (proper compensator) بحيث يتتبع النظام الكلي $ r(t) $ ويرفض $ w(t) $ ، كليهما تقاربياً وبمتانة.

    البرهان: إذا لم يكن أي جذر من جذور $ \phi(s) $ صفراً لـ $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ ، فإن $ D(s)\phi(s) $ و $ N(s) $ أوليان (coprime). وبالتالي يوجد معوض proper $ B(s) / A(s) $ بحيث تكون كثيرة الحدود $ F(s) $ في

    $$ A (s) D (s) \phi (s) + B (s) N (s) = F (s) $$

    ذات أي جذور مرغوبة، وبخاصة لها جميع الجذور داخل القطاع المبين في الشكل 8.3. نزعم أن المعوض

    $$ C (s) = \frac {B (s)}{A (s) \phi (s)} $$

    كما في الشكل 9.2(a) سيحقق التصميم. لنحسب دالة التحويل من $ w $ إلى $ y $ :

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} _ {y w ^ {\cdot}} (s) = \frac {N (s) / D (s)}{1 + (B (s) / A (s) \phi (s)) (N (s) / D (s))} \\ = \frac {N (s) A (s) \phi (s)}{A (s) D (s) \phi (s) + B (s) N (s)} = \frac {N (s) A (s) \phi (s)}{F (s)} \\ \end{array} $$

    وبالتالي فإن المخرج المثار بـ $ w(t) $ يساوي

    $$ \hat {y} _ {w} (s) = \hat {g} _ {y w} \hat {w} (s) = \frac {N (s) A (s) \phi (s)}{F (s)} \frac {N _ {w} (s)}{D _ {w} (s)} \tag {9.21} $$

    لأن جميع الجذور غير المستقرة لـ $ D_{w}(s) $ تُلغى بواسطة $ \phi(s) $ ، فإن جميع أقطاب $ \hat{y}_{w}(s) $ لها أجزاء حقيقية سالبة. لذا نحصل على $ y_{w}(t) \to 0 $ عندما $ t \to \infty $ وتُقمع الاستجابة المثارة بـ $ w(t) $ تقاربياً عند المخرج.

    بعد ذلك نحسب المخرج $ \hat{y}_r(s) $ المثار بـ $ \hat{r}(s) $ :

    $$ \hat {y} _ {r} (s) = \hat {g} _ {y r} (s) \hat {r} (s) = \frac {B (s) N (s)}{A (s) D (s) \phi (s) + B (s) N (s)} \hat {r} (s) \tag {9.22} $$

    وبالتالي لدينا

    $$ \begin{array}{l} \hat {e} (s) := \hat {r} (s) - \hat {y} _ {r} (s) = (1 - \hat {g} _ {\nu r} (s)) \hat {r} (s) \\ = \frac {A (s) D (s) \phi (s)}{F (s)} \frac {N _ {r} (s)}{D _ {r} (s)} \tag {9.23} \\ \end{array} $$

    مرة أخرى تُلغى جميع الجذور غير المستقرة لـ $ D_r(s) $ بواسطة $ \phi(s) $ في (9.23). لذا نستنتج $ r(t) - y_r(t) \to 0 $ عندما $ t \to \infty $ . وبسبب الخطية (linearity)، لدينا $ y(t) = y_w(t) + y_r(t) $ و $ r(t) - y(t) \to 0 $ عندما $ t \to \infty $ . يبيّن هذا التتبع التقاربي ورفض الاضطراب. من (9.21) و(9.23)، نرى أنه حتى إذا تغيرت معاملات $ D(s) $ ، $ N(s) $ ، $ A(s) $ و $ B(s) $ ، ما دام النظام الكلي يبقى مستقراً BIBO (BIBO stable) والجذور غير المستقرة لـ $ D_r(s) $ و $ D_w(s) $ تُلغى بواسطة $ \phi(s) $ ، فإن النظام لا يزال يحقق التتبع والرفض. وبالتالي فالتصميم متين (robust). انتهى البرهان (Q.E.D.).

    يتكوّن هذا التصميم المتين من خطوتين: أولاً اعثر على نموذج $ 1 / \phi(s) $ للإشارة المرجعية والاضطراب ثم نفّذ تصميم وضع الأقطاب (pole-placement design). إن إدراج النموذج داخل الحلقة يُسمى مبدأ النموذج الداخلي (internal model principle). إذا لم يكن النموذج $ 1 / \phi(s) $ واقعاً في المسار الأمامي من $ w $ إلى $ y $ ومن $ r $ إلى $ e $ ، فإن $ \phi(s) $ ستظهر في بسط $ \hat{g}_{vw}(s) $ و $ \hat{g}_{er}(s) $ (انظر المسألة 9.7) وتلغي الأقطاب غير المستقرة لـ $ \hat{w}(s) $ و $ \hat{r}(s) $ ، كما هو مبين في (9.21) و(9.22). لذا يتحقق التصميم بإلغاء أقطاب-أصفار غير مستقرة (unstable pole-zero cancelations) لـ $ \phi(s) $ . من المهم ذكر أنه لا توجد إلغاءات أقطاب-أصفار غير مستقرة في تصميم وضع الأقطاب (pole-placement design) وأن نظام التغذية الراجعة بوحدة الناتج مستقر تماماً (totally stable)، والذي سيُعرّف في القسم 9.3. وبالتالي يمكن استخدام مبدأ النموذج الداخلي (internal model principle) في التصميم العملي.

    في تصميم أنظمة التحكم الكلاسيكية، إذا كانت دالة تحويل المنظومة أو دالة تحويل المعوض من النوع 1 (type 1) (لها قطب واحد عند $ s = 0 $ )، وإذا صُمم نظام التغذية الراجعة بوحدة ليكون مستقراً BIBO (BIBO stable)، فإن النظام الكلي سيتتبع تقاربياً وبمتانة أي مدخل مرجعي خطوة. هذا حالة خاصة من مبدأ النموذج الداخلي (internal model principle) لأن المنظومة أو المعوض يحتوي على نموذج أي مدخل مرجعي خطوة.

    مثال 9.3.2 اعتبر المنظومة في المثال 9.3.1 أو $ \hat{g}(s) = (s - 2)/(s^2 - 1) $ . صمّم نظام تغذية راجعة بوحدة مع مجموعة من الأقطاب المرغوبة ليتتبع بمتانة أي مدخل مرجعي خطوة.

    أولاً ندخل النموذج الداخلي $ \phi(s) = 1/s $ . عندئذ يمكن حل $ B(s)/A(s) $ في الشكل 9.2(a) من

    $$ A (s) D (s) \phi (s) + B (s) N (s) = F (s) $$

    بما أن $ \tilde{D}(s) \coloneqq D(s)\phi(s) $ من الدرجة 3، يمكننا اختيار $ A(s) $ و $ B(s) $ من الدرجة 2. عندئذ تكون $ F(s) $ من الدرجة 5. إذا اخترنا خمسة أقطاب مرغوبة هي $ -2, -2 \pm j1 $ ، و $ -1 \pm j2 $ ، فإننا نحصل على

    $$ \begin{array}{l} F (s) = (s + 2) \left(s ^ {2} + 4 s + 5\right) \left(s ^ {2} + 2 s + 5\right) \\ = s ^ {5} + 8 s ^ {4} + 3 0 s ^ {3} + 6 6 s ^ {2} + 8 5 s + 5 0 \\ \end{array} $$

    وباستخدام معاملات $ \tilde{D}(s) = (s^2 - 1)s = 0 - s + 0 \cdot s^2 + s^3 $ و $ N(s) = -2 + s + 0 \cdot s^2 + 0 \cdot s^3 $ ، نكوّن

    $$ \left[ A _ {0} B _ {0} A _ {1} B _ {1} A _ {2} B _ {2} \right] \left[ \begin{array}{r r r r r r} 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] = [ 5 0. 8 5 6 6 3 0 8 1 ] $$

    وحلها هو $ [127.3 - 25.8 - 118.71 - 96.3] $ . وبالتالي لدينا

    $$ \frac {B (s)}{A (s)} = \frac {- 9 6 . 3 s ^ {2} - 1 1 8 . 7 s - 2 5}{s ^ {2} + 8 s + 1 2 7 . 3} $$

    ويكون المعوض (compensator)

    $$ C (s) = \frac {B (s)}{A (s) \phi (s)} = \frac {- 9 6 . 3 s ^ {2} - 1 1 8 . 7 s - 2 5}{(s ^ {2} + 8 s + 1 2 7 . 3) s} $$

    باستخدام هذا المعوض من الدرجة 3، فإن نظام التغذية الراجعة بوحدة في الشكل 9.2(a) سيتتبع بمتانة أي مدخل مرجعي خطوة ويملك مجموعة الأقطاب المرغوبة.