9.3.3 تضمين النماذج الداخلية (Embedding Internal Models)3 

    تم تحقيق التصميم في القسم السابق بإدخال نموذج داخلي (internal model) أولاً $ 1 / \phi(s) $ ثم تصميم $ B(s) / A(s) $ proper. وبالتالي يكون المعوض $ B(s) / A(s)\phi(s) $ دائماً صارماً في التحقق (strictly proper). في هذا القسم الفرعي، نناقش طريقة لتصميم معوض ثنائي التحقق (biproper compensator) يكون مقامه متضمناً للنموذج الداخلي كعامل كما في الشكل 9.2(b). وبذلك يمكن تقليل درجة المعوضات.

    اعتبر

    $$ A (s) D (s) + B (s) N (s) = F (s) $$

    إذا كانت $ \deg D(s) = n $ وإذا كانت $ \deg A(s) = n - 1 $ ، فإن الحل $ A(s) $ و $ B(s) $ فريد. إذا زدنا درجة $ A(s) $ بمقدار واحد، تصبح الحلول غير فريدة، ويظهر معامل حر واحد يمكننا اختياره. باستخدام المعامل الحر، قد نتمكن من إدراج نموذج داخلي في المعوض كما يوضح المثال التالي.

    مثال 9.3.3 اعتبر مرة أخرى مسألة التصميم في المثال 9.3.2. درجة $ D(s) $ هي 2. إذا كانت $ A(s) $ من الدرجة 1، فإن الحل فريد. لنختر $ A(s) $ من الدرجة 2. عندئذ يجب أن تكون $ F(s) $ من الدرجة 4 ويمكن اختيارها كالتالي

    $$ F (s) = (s ^ {2} + 4 s + 5) (s ^ {2} + 2 s + 5) = s ^ {4} + 6 s ^ {3} + 1 8 s ^ {2} + 3 0 s + 2 5 $$

    نُكوّن

    $$ \left[ A _ {0} B _ {0} A _ {1} B _ {1} A _ {2} B _ {2} \right] \left[ \begin{array}{r r r r r} - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = [ 2 5. 3 0 1 8 6 1 ] $$

    وباستخدام Corollary 3.2، يمكننا التعبير عن الحل العام كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \left[ A _ {0} B _ {0} A _ {1} B _ {1} A _ {2} B _ {2} \right] \\ = [ 1 - 1 3 3 4. 3 - 3 8. 7 1 - 2 8. 3 ] + \alpha [ 2 - 1 - 1 0 0 1 ] \\ \end{array} $$

    مع معامل حر واحد $ \alpha $ . لكي يكون المعوض proper

    $$ C (s) = \frac {B _ {0} + B _ {1} s + B _ {2} s ^ {2}}{A _ {0} + A _ {1} s + A _ {2} s ^ {2}} $$

    له $ 1 / s $ كعامل، نحتاج $ A_0 = 0 $ . يمكن تحقيق ذلك باختيار $ \alpha = -0.5 $ . عندئذ يصبح الحل

    $$ [ A _ {0} B _ {0} A _ {1} B _ {1} A _ {2} B _ {2} ] = [ 0 - 1 2. 5 3 4. 8 - 3 8. 7 1 - 2 8. 8 ] $$

    ويكون المعوض (compensator)

    $$ C (s) = \frac {B (s)}{A (s)} = \frac {- 2 8 . 8 s ^ {2} - 3 8 . 7 s - 1 2 . 5}{s ^ {2} + 3 4 . 8 s} $$

    هذا المعوض ثنائي التحقق (biproper compensator) يمكنه تحقيق التتبع المتين (robust tracking). هذا المعوض من الدرجة 2، أقل بدرجة واحدة من ذاك الذي تم الحصول عليه في المثال 9.3.2. وبالتالي فهذا تصميم أفضل.

    نقدم مثالاً إضافياً واحداً ونناقش طريقة مختلفة لتضمين $ \phi(s) $ في المعوض.

    مثال 9.3.4 اعتبر نظام تغذية راجعة بوحدة في الشكل 9.2(b) مع $ \hat{g}(s) = 1 / s $ . صمّم معوضاً proper $ C(s) = B(s) / A(s) $ بحيث يتتبع النظام تقاربياً أي مدخل مرجعي خطوة ويرفض الاضطراب $ w(t) = a \sin(2t + \theta) $ مع $ a $ و $ \theta $ مجهولين.

    لتحقيق التصميم، يجب أن يحتوي كثير الحدود $ A(s) $ نموذج الاضطراب $ (s^2 + 4) $ . لاحظ أن نموذج المرجع $ s $ غير مطلوب لأن المنظومة تحتوي بالفعل على العامل. اعتبر

    $$ A (s) D (s) + B (s) N (s) = F (s) $$

    لهذه المعادلة، لدينا $ \deg D(s) = n = 1 $ . إذا كان $ m = n - 1 = 0 $ ، فإن الحل فريد ولا نملك حرية في تعيين $ A(s) $ . إذا كان $ m = 2 $ ، فإن لدينا معاملين حرّين يمكن استخدامهما لتعيين $ A(s) $ . ليكن

    $$ A (s) = \tilde {A} _ {0} (s ^ {2} + 4), \quad B (s) = B _ {0} + B _ {1} s + B _ {2} s ^ {2} $$

    عرّف

    $$ \tilde {D} (s) := D (s) \left(s ^ {2} + 4\right) = \tilde {D} _ {0} + \tilde {D} _ {1} s + \tilde {D} _ {2} s ^ {2} + \tilde {D} _ {3} s ^ {3} = 0 + 4 s + 0 \cdot s ^ {2} + s ^ {3} $$

    نكتب $ A(s)D(s) + B(s)N(s) = F(s) $ على الشكل

    $$ \tilde {A} _ {0} \tilde {D} (s) + B (s) N (s) = F (s) $$

    بمساواة المعاملات، نحصل على

    $$ \left[ \tilde {A} _ {0} B _ {0} B _ {1} B _ {2} \right] \left[ \begin{array}{c c c c} \tilde {D} _ {0} & \tilde {D} _ {1} & \tilde {D} _ {2} & \tilde {D} _ {3} \\ N _ {0} & N _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & N _ {0} & N _ {1} & 0 \\ 0 & 0 & N _ {0} & N _ {1} \end{array} \right] = \left[ F _ {0} F _ {1} F _ {2} F _ {3} \right] $$

    في هذا المثال، إذا اخترنا

    $$ F (s) = (s + 2) \left(s ^ {2} + 2 s + 2\right) = s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4 $$

    فإن المعادلة تصبح

    $$ \left[ \tilde {A} _ {0} B _ {0} B _ {1} B _ {2} \right] \left[ \begin{array}{l l l l} 0 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] = [ 4 6 4 1 ] $$

    حلها هو [1 4 2 4]. وبالتالي يكون المعوض

    $$ C (s) = \frac {B (s)}{A (s)} = \frac {4 s ^ {2} + 2 s + 4}{1 \times \left(s ^ {2} + 4\right)} = \frac {4 s ^ {2} + 2 s + 4}{s ^ {2} + 4} $$

    هذا المعوض ثنائي التحقق (biproper compensator) سيضع أقطاب نظام التغذية الراجعة بوحدة في المواضع المعينة، ويتتبع أي مدخل مرجعي خطوة، ويرفض الاضطراب $ a \sin (2t + \theta) $ ، كليهما تقاربياً وبمتانة.