9.3 تكوين تغذية راجعة بوحدة (Unity-Feedback Configuration) — وضع الأقطاب (Pole Placement) 

    اعتبر نظام التغذية الراجعة بوحدة (unity-feedback system) المبين في الشكل 9.1(b). تُفترض دالة تحويل المنظومة (plant transfer function) $ \hat{g}(s) $ أن تكون صارمة التحقق (strictly proper) وذات درجة $ n $ . إذا كانت $ \hat{g}(s) $ ثنائية التحقق (biproper)، فيجب تعديل المناقشة قليلاً. انظر المرجع 6. المسألة هي تصميم معوض proper (proper compensator) $ C(s) $ بأقل درجة ممكنة $ m $ بحيث يكون للنظام الكلي أي مجموعة من $ n + m $ أقطاب (poles) مرغوبة. وبما أن جميع دوال التحويل يجب أن تكون ذات معاملات حقيقية، يجب تعيين الأقطاب العقدية المرافقة في أزواج. سيكون هذا افتراضاً دائماً طوال هذا الفصل.

    لتكن $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ و $ C(s) = B(s) / A(s) $ . عندئذ تكون دالة التحويل الكلية من $ r $ إلى $ y $ في الشكل 9.1(b)، كما استُنتجت في (9.3) مع $ p = 1 $ ،

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {p B (s) N (s)}{A (s) D (s) + B (s) N (s)} \tag {9.11} $$

    في تعيين الأقطاب (pole assignment)، نهتم بتعيين جميع أقطاب $ \hat{g}_o(s) $ أو، بشكل مكافئ، جميع جذور $ A(s)D(s) + B(s)N(s) $ . في هذا التصميم (design)، لا يقال شيء عن أصفار (zeros) $ \hat{g}_o(s) $ . كما نرى من (9.11)، فإن التصميم لا يؤثر فقط في أصفار المنظومة (جذور $ N(s) $ )، بل يُدخل أيضاً أصفاراً جديدة (جذور $ B(s) $ ) إلى دالة التحويل الكلية. ومن ناحية أخرى، تُزاح أقطاب المنظومة والمعوض من $ D(s) $ و $ A(s) $ إلى جذور $ A(s)D(s) + B(s)N(s) $ .

    إذا أُعطيت مجموعة من الأقطاب المرغوبة، يمكننا بسهولة تشكيل كثيرة حدود $ F(s) $ لها الأقطاب المرغوبة جذوراً لها. عندئذ تصبح مسألة وضع الأقطاب (pole-placement problem) هي حل معادلة كثيرة الحدود (polynomial equation)

    $$ A (s) D (s) + B (s) N (s) = F (s) \tag {9.12} $$

    بدلاً من حل (9.12) مباشرة، سنحوّلها إلى حل مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية (linear algebraic equations). لتكن $ \deg N(s) < \deg D(s) = n $ و $ \deg B(s) \leq \deg A(s) = m $ . عندئذ تكون درجة $ F(s) $ في (9.12) على الأكثر $ n + m $ . لنكتب

    $$ D (s) = D _ {0} + D _ {1} s + D _ {2} s ^ {2} + \dots + D _ {n} s ^ {n}, \quad D _ {n} \neq 0 $$
    $$ N (s) = N _ {0} + N _ {1} s + N _ {2} s ^ {2} + \dots + N _ {n} s ^ {n} $$
    $$ A (s) = A _ {0} + A _ {1} s + A _ {2} s ^ {2} + \dots + A _ {m} s ^ {m} $$
    $$ B (s) = B _ {0} + B _ {1} s + B _ {2} s ^ {2} + \dots + B _ {m} s ^ {m} $$
    $$ F (s) = F _ {0} + F _ {1} s + F _ {2} s ^ {2} + \dots + F _ {n + m} s ^ {n + m} $$

    حيث إن جميع المعاملات ثوابت حقيقية، وليست بالضرورة غير صفرية. لاحظ أن الرمز السفلي للمعامل يساوي أس $ s $ . بالتعويض بهذه في (9.12) ومطابقة معاملات القوى المتشابهة لـ $ s $ نحصل على

    $$ A _ {0} D _ {0} + B _ {0} N _ {0} = F _ {0} $$
    $$ A _ {0} D _ {1} + B _ {0} N _ {1} + A _ {1} D _ {0} + B _ {1} N _ {0} = F _ {1} $$

    $$ A _ {m} D _ {n} + B _ {m} N _ {n} = F _ {n + m} $$

    يوجد ما مجموعه $ (n + m + 1) $ معادلة. ويمكن ترتيبها في صيغة مصفوفية كما يلي

    $$ [ A _ {0} B _ {0} A _ {1} B _ {1} \dots A _ {m} B _ {m} ] \mathbf {S} _ {m} = [ F _ {0} F _ {1} F _ {2} \dots F _ {n + m} ] \tag {9.13} $$

    مع

    $$ \mathbf {S} _ {m} := \left[ \begin{array}{c c c c c c c} D _ {0} & D _ {1} & \dots & D _ {n} & 0 & \dots & 0 \\ N _ {0} & N _ {1} & \dots & N _ {n} & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & D _ {0} & \dots & D _ {n - 1} & D _ {n} & \dots & 0 \\ 0 & N _ {0} & \dots & N _ {n - 1} & N _ {n} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & D _ {0} & \dots & D _ {n} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & N _ {0} & \dots & N _ {n} \end{array} \right] \tag {9.14} $$

    إذا أخذنا منقول (transpose) (9.13)، فإنه يصبح الصيغة القياسية المدروسة في نظريتي 3.1 و3.2. نحن نستخدم الصيغة في (9.13) لأنها يمكن أن تُمد مباشرة إلى حالة المصفوفات (matrix case). المصفوفة $ \mathbf{S}_m $ لها $ 2(m + 1) $ صفوف و $ (n + m + 1) $ أعمدة، وتُكوَّن من معاملات $ D(s) $ و $ N(s) $ . الصفان الأولان هما ببساطة معاملات $ D(s) $ و $ N(s) $ مرتبة حسب القوى التصاعدية لـ $ s $ . الصفان التاليان هما الصفان الأولان منزاحان إلى اليمين بمقدار موضع واحد. نكرر العملية حتى نحصل على $ (m + 1) $ مجموعات من المعاملات. متجه الصف في الطرف الأيسر من (9.13) يتكون من معاملات المعوض $ C(s) $ المراد إيجاده. إذا كان $ C(s) $ من الدرجة $ m $ ، فإن متجه الصف يحوي $ 2(m + 1) $ مدخلاً. متجه الصف في الطرف الأيمن من (9.13) يتكون من معاملات $ F(s) $ . الآن تصبح مسألة حل معادلة المعوض في (9.12) هي حل المعادلة الجبرية الخطية في (9.13).

    بتطبيق Corollary 3.2، نستنتج أن (9.13) لها حل لأي $ F(s) $ إذا وفقط إذا كانت $ \mathbf{S}_m $ ذات رتبة أعمدة كاملة (full column rank). شرط لازم لكي تكون $ \mathbf{S}_m $ ذات رتبة أعمدة كاملة هو أن تكون $ \mathbf{S}_m $ مربعة أو لها صفوف أكثر من الأعمدة، أي

    $$ 2 (m + 1) \geq n + m + 1 \quad \text{or} \quad m \geq n - 1 $$

    إذا كان $ m < n - 1 $ ، فإن $ \mathbf{S}_m $ لا تملك رتبة أعمدة كاملة وقد توجد حلول لبعض $ F(s) $ ، ولكن ليس لكل $ F(s) $ . وبالتالي إذا كانت درجة المعوض أقل من $ n - 1 $ ، فلا يمكن تحقيق وضع أقطاب اعتباطي.

    إذا كان $ m = n - 1 $ ، فإن $ \mathbf{S}_{n-1} $ تصبح مصفوفة مربعة من الرتبة $ 2n $ وتسمى المُحصّل Sylvester (Sylvester resultant). كما نوقش في القسم 7.3، فإن $ \mathbf{S}_{n-1} $ غير منفردة (nonsingular) إذا وفقط إذا كان $ D(s) $ و $ N(s) $ أوليين (coprime). وبالتالي إذا كان $ D(s) $ و $ N(s) $ أوليين، فإن $ \mathbf{S}_{n-1} $ لها رتبة $ 2n $ (رتبة أعمدة كاملة). الآن إذا زادت $ m $ بمقدار 1، يزيد عدد الأعمدة بمقدار 1 بينما يزيد عدد الصفوف بمقدار 2. وبما أن $ D_n \neq 0 $ ، فإن صف $ D $ الجديد مستقل خطياً عن الصفوف السابقة. لذا فإن المصفوفة $ 2(n + 1) \times (2n + 1) $ وهي $ \mathbf{S}_n $ لها رتبة $ (2n + 1) $ (رتبة أعمدة كاملة). بتكرار الحجة، نستنتج أنه إذا كان $ D(s) $ و $ N(s) $ أوليين (coprime) وإذا كان $ m \geq n - 1 $ ، فإن المصفوفة $ \mathbf{S}_m $ في (9.14) لها رتبة أعمدة كاملة.

    نظرية 9.2 (Theorem 9.2) 

    اعتبر نظام التغذية الراجعة بوحدة (unity-feedback system) المبين في الشكل 9.2(b). تُوصف المنظومة بدالة تحويل صارمة التحقق (strictly proper transfer function) $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ حيث إن $ N(s) $ و $ D(s) $ أوليان (coprime) و $ \deg N(s) < \deg D(s) = n $ . لتكن $ m \geq n - 1 $ . عندئذ لأي كثيرة حدود $ F(s) $ من الدرجة $ (n + m) $ ، يوجد معوض proper (proper compensator) $ C(s) = B(s) / A(s) $ من الدرجة $ m $ بحيث تكون دالة التحويل الكلية مساوية لـ

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {p N (s) B (s)}{A (s) D (s) + B (s) N (s)} = \frac {p N (s) B (s)}{F (s)} $$

    وعلاوة على ذلك، يمكن الحصول على المعوض بحل المعادلة الجبرية الخطية في (9.13).

    كما نوقش سابقاً، فإن المصفوفة $ \mathbf{S}_m $ لها رتبة أعمدة كاملة عندما $ m \geq n - 1 $ ؛ لذلك، لأي $ (n + m) $ من الأقطاب المرغوبة أو، بشكل مكافئ، لأي $ F(s) $ من الدرجة $ (n + m) $ ، توجد حلول في (9.13). بعد ذلك نُظهر أن $ B(s) / A(s) $ proper أو $ A_m \neq 0 $ . إذا كان $ N(s) / D(s) $ صارماً في التحقق (strictly proper)، فإن $ N_n = 0 $ وتختزل المعادلة الأخيرة في (9.13) إلى

    $$ A _ {m} D _ {n} + B _ {m} N _ {n} = D _ {n} A _ {m} = F _ {n + m} $$

    وبما أن $ F(s) $ من الدرجة $ n + m $ ، فإن $ F_{n + m} \neq 0 $ وبالتالي $ A_m \neq 0 $ . وهذا يثبت النظرية. إذا كان $ m = n - 1 $ ، فإن المعوض يكون وحيداً؛ وإذا كان $ m > n - 1 $ ، فإن المعوضات غير وحيدة ويمكن استخدام معاملات حرّة لتحقيق أهداف تصميم أخرى، كما سنناقش لاحقاً.