9.4.1 مطابقة النموذج — تكوين ثنائي المعلمات (Model Matching—Two-Parameter Configuration) 

    يناقش هذا القسم مسألة التنفيذ (implementation). اعتبر $ \hat{g}(s) $ proper و $ \hat{g}_o(s) $ قابلة للتنفيذ (implementable). إذا استخدمنا تكوين الحلقة المفتوحة (open-loop configuration) في الشكل 9.1(a) لتنفيذ $ \hat{g}_o(s) $ ، فإننا نحصل على $ \hat{g}(s)C(s) = \hat{g}_o(s) $ مما يعني

    $$ C (s) = \hat {g} _ {o} (s) / \hat {g} (s) = \hat {t} (s) $$

    حيث إن $ \hat{t}(s) $ معرّفة في (9.24). المعوض proper والنظام ذو الحلقة المفتوحة مُحكم (well posed). ومع ذلك إذا كان لـ $ \hat{g}(s) $ أقطاب غير مستقرة زمن-مستمر (CT unstable poles)، فإن التنفيذ سيتضمن إلغاءات أقطاب-أصفار غير مستقرة. في هذه الحالة، يكون النظام غير مستقر كلياً (not totally stable) وغير مقبول. إذا كانت $ \hat{g}(s) $ مستقرة BIBO، فسيكون التنفيذ مستقراً كلياً. وحتى مع ذلك، يمكن لتكوين الحلقة المفتوحة أن يكون حساساً جداً لتغيّرات معاملات المنظومة. لذلك فإن تكوين الحلقة المفتوحة غير مرغوب فيه عموماً. يمكن استخدام تكوين التغذية الراجعة بوحدة (unity feedback configuration) في الشكل 9.1(b) لتحقيق كل وضع للأقطاب؛ لكنه لا يمكن استخدامه لتحقيق كل مطابقة نموذج كما يبيّنه المثال التالي.

    مثال 9.4.1 اعتبر منظومة بدالة تحويل $ \hat{g}(s) = (s - 2)/(s^2 - 1) $ . يمكننا بسهولة إظهار أن

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {- (s - 2)}{s ^ {2} + 2 s + 2} \tag {9.25} $$

    قابلة للتنفيذ. وبما أن $ \hat{g}_o(0) = 1 $ ، فإن مخرج المنظومة سيتتبع تقاربياً أي مدخل مرجعي خطوة. افترض أننا نستخدم تكوين التغذية الراجعة بوحدة في الشكل 9.1(b) مع $ p = 1 $ لتنفيذ $ \hat{g}_o(s) $ . عندئذ من

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {C (s) \hat {g} (s)}{1 + C (s) \hat {g} (s)} $$

    يمكننا حساب المعوض على أنه

    $$ C (s) = \frac {\hat {g} _ {o} (s)}{\hat {g} (s) [ 1 - \hat {g} _ {o} (s) ]} = \frac {- (s ^ {2} - 1)}{s (s + 3)} $$

    هذا المعوض proper. ومع ذلك، فإن التوصيل على التوالي لـ $ C(s) $ و $ \hat{g}(s) $ يتضمن إلغاء قطب-صفر لـ $ (s^2 - 1) = (s + 1)(s - 1) $ . إلغاء القطب المستقر $ s + 1 $ لن يسبب أي مشكلة خطيرة في النظام الكلي. ومع ذلك، فإن إلغاء القطب غير المستقر $ s - 1 $ سيجعل النظام الكلي غير مستقر كلياً. لذا فإن التنفيذ غير مقبول.

    إن مطابقة النموذج عموماً تتضمن بعض إلغاءات الأقطاب-الأصفار. ينشأ الموقف نفسه في تصميم تغذية راجعة الحالة ومقدر الحالة؛ فجميع القيم الذاتية للمقدّر غير قابلة للتحكم من مدخل المرجع وتُلغى في دالة التحويل الكلية. لكن لأن لدينا حرية كاملة في اختيار القيم الذاتية للمقدّر، فإذا اخترناها بشكل مناسب، فلن يسبب الإلغاء أي مشكلة في التصميم. عند استخدام تكوين التغذية الراجعة بوحدة في مطابقة النموذج، كما رأينا في المثال السابق، فإن الأقطاب الملغاة تُملى بواسطة دالة تحويل المنظومة. لذا، إذا كانت لدالة تحويل المنظومة أقطاب غير مستقرة، فإن تكوين التغذية الراجعة بوحدة لا يمكن استخدامه في مطابقة النموذج.

    تكوينا الحلقة المفتوحة والتغذية الراجعة بوحدة في الشكلين 9.1(a) و9.1(b) لهما درجة حرية واحدة ولا يمكن استخدامهما لتحقيق كل مطابقة نموذج. التكوينان في الشكلين 9.1(c) و9.1(d) لهما درجتا حرية. عند استخدام أي من التكوينين، لدينا حرية كاملة في تعيين الأقطاب الملغاة؛ لذلك يمكن لكليهما تحقيق كل مطابقة نموذج. وبما أن التكوين ثنائي المعلمات في الشكل 9.1(d) يبدو أكثر طبيعية وأكثر ملاءمة للتنفيذ العملي، فإننا نناقش هذا التكوين فقط هنا. لمطابقة النموذج باستخدام التكوين في الشكل 9.1(c)، انظر المرجع 6.

    اعتبر التكوين ثنائي المعلمات في الشكل 9.1(d). لتكن

    $$ C _ {1} (s) = \frac {L (s)}{A _ {1} (s)}, \quad C _ {2} (s) = \frac {M (s)}{A _ {2} (s)} $$

    حيث إن $ L(s), M(s), A_1(s), $ و $ A_2(s) $ كثيرات حدود (polynomials). نسمي $ C_1(s) $ معوض تغذية أمامية (feedforward compensator) و $ C_2(s) $ معوض تغذية راجعة (feedback compensator). عموماً، لا يلزم أن تكون $ A_1(s) $ و $ A_2(s) $ متماثلتين. اتضح أنه حتى لو اختيرتا متماثلتين، فإن التكوين يمكنه تحقيق كل مطابقة نموذج. علاوة على ذلك، يمكن تطوير إجراء تصميم بسيط. لذلك نفترض $ A_1(s) = A_2(s) = A(s) $ وتصبح المعوضات

    $$ C _ {1} (s) = \frac {L (s)}{A (s)}, \quad C _ {2} (s) = \frac {M (s)}{A (s)} \tag {9.26} $$

    عندئذ تصبح دالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ في الشكل 9.1(d)

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} _ {o} (s) = C _ {1} (s) \frac {\hat {g} (s)}{1 + \hat {g} (s) C _ {2} (s)} = \frac {L (s)}{A (s)} \frac {\frac {N (s)}{D (s)}}{1 + \frac {N (s)}{D (s)} \frac {M (s)}{A (s)}} \\ = \frac {L (s) N (s)}{A (s) D (s) + M (s) N (s)} \tag {9.27} \\ \end{array} $$

    وبالتالي في مطابقة النموذج، نبحث عن $ L(s) / A(s) $ و $ M(s) / A(s) $ proper لتحقيق

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {E (s)}{F (s)} = \frac {L (s) N (s)}{A (s) D (s) + M (s) N (s)} \tag {9.28} $$

    لاحظ أن التكوين ثنائي المعلمات لا يحتوي على تسريب منظومة (no plant leakage). إذا كانت دالة تحويل المنظومة $ \hat{g}(s) $ صارمة في التحقق (strictly proper) وكان $ C_2(s) = M(s) / A(s) $ proper، فإن النظام الكلي يكون مُحكماً تلقائياً (well posed). ستُناقش مسألة الاستقرار الكلي في القسم الفرعي التالي. لاحظ أنه إذا كانت $ \hat{g}(s) $ ثنائية التحقق (biproper)، فيجب تعديل المناقشة قليلاً. انظر المرجع 6.

    مسألة (Problem) 

    معطى $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ ، حيث $ N(s) $ و $ D(s) $ أوليان (coprime) و $ \deg N(s) < \deg D(s) = n $ ، ومعطى $ \hat{g}_o(s) = E(s) / F(s) $ قابلة للتنفيذ، أوجد $ L(s) / A(s) $ و $ M(s) / A(s) $ proper لتحقيق (9.28).

    الإجراء 9.1 (Procedure 9.1) 

    1. احسب
    $$ \frac {\hat {g} _ {o} (s)}{N (s)} = \frac {E (s)}{F (s) N (s)} =: \frac {\bar {E} (s)}{\bar {F} (s)} \tag {9.29} $$

    حيث إن $ \bar{E}(s) $ و $ \bar{F}(s) $ أوليان (coprime). بما أن $ E(s) $ و $ F(s) $ يُفترضان ضمنياً أوليين، فإن عوامل مشتركة قد توجد فقط بين $ E(s) $ و $ N(s) $ . ألغِ جميع العوامل المشتركة بينهما وسمِّ الباقي $ \bar{E}(s) $ و $ \bar{F}(s) $ . لاحظ أنه إذا كان $ E(s) = N(s) $ ، فإن $ \bar{F}(s) = F(s) $ و $ \bar{E}(s) = 1 $ . باستخدام (9.29)، نعيد كتابة (9.28) على الشكل

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {\bar {E} (s) N (s)}{\bar {F} (s)} = \frac {L (s) N (s)}{A (s) D (s) + M (s) N (s)} \tag {9.30} $$

    من هذه المعادلة، قد نُغرى بتعيين $ L(s) = \bar{E}(s) $ وحل $ A(s) $ و $ M(s) $ من $ \bar{F}(s) = A(s)D(s) + M(s)N(s) $ . لكن $ C_2(s) = M(s) / A(s) $ المحسوبة قد تكون غير proper. وهذا يخالف شرط أن تكون جميع المعوضات proper. لذا نحتاج إلى بعض المعالجة الإضافية.

    1. أدخل كثيرة حدود مستقرة زمن-مستمر (CT stable polynomial) عشوائية $ \hat{F}(s) $ بحيث تكون درجة $ \bar{F}(s)\hat{F}(s) $ مساوية لـ $ 2n - 1 $ أو أكبر. بعبارة أخرى، إذا كانت $ \deg \bar{F}(s) = p $ ، فإن $ \deg \hat{F}(s) \geq 2n - 1 - p $ . وبما أن كثيرة الحدود $ \hat{F}(s) $ ستُلغى في التصميم، ينبغي اختيار جذورها بحيث تقع داخل القطاع المبين في الشكل 8.3.
    2. أعد كتابة (9.30) على الشكل
    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {\bar {E} (s) \hat {F} (s) N (s)}{\bar {F} (s) \hat {F} (s)} = \frac {L (s) N (s)}{A (s) D (s) + M (s) N (s)} \tag {9.31} $$

    والآن نضع

    $$ L (s) = \bar {E} (s) \hat {F} (s) \tag {9.32} $$

    ونحل $ A(s) $ و $ M(s) $ من

    $$ A (s) D (s) + M (s) N (s) = \hat {F} (s) \bar {F} (s) \tag {9.33} $$

    إذا كتبنا

    $$ \begin{array}{l} A (s) = A _ {0} + A _ {1} s + A _ {2} s ^ {2} + \dots + A _ {m} s ^ {\prime \prime \prime} \\ M (s) = M _ {0} + B _ {1} s + M _ {2} s ^ {2} + \dots + M _ {m} s ^ {m} \\ \bar {F} (s) \hat {F} (s) = F _ {0} + F _ {1} s + F _ {2} s ^ {2} + \dots + F _ {n + m} s ^ {n + m} \\ \end{array} $$

    مع $ m \geq n - 1 $ ، فإن $ A(s) $ و $ M(s) $ يمكن الحصول عليهما بحل

    $$ \left[ A _ {0} M _ {0} A _ {1} M _ {1} \dots A _ {m} M _ {m} \right] \mathbf {S} _ {m} = \left[ F _ {0} F _ {1} F _ {2} \dots F _ {n + m} \right] \tag {9.34} $$

    مع

    $$ S _ {m} := \left[ \begin{array}{c c c c c c c} D _ {0} & D _ {1} & \dots & D _ {n} & 0 & \dots & 0 \\ N _ {0} & N _ {1} & \dots & N _ {n} & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & D _ {0} & \dots & D _ {n - 1} & D _ {n} & \dots & 0 \\ 0 & N _ {0} & \dots & N _ {n - 1} & N _ {n} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & D _ {0} & \dots & D _ {n} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & N _ {0} & \dots & N _ {n} \end{array} \right] $$

    المعوضان المحسوبان $ L(s) / A(s) $ و $ M(s) / A(s) $ هما proper.

    نبرر الإجراء. بإدخال $ \hat{F}(s) $ ، تصبح درجة $ \bar{F}(s)\hat{F}(s) $ مساوية لـ $ 2n - 1 $ أو أكبر، ووفقاً لنظرية 9.2، يوجد حل $ A(s) $ و $ M(s) $ مع $ \deg M(s) \leq \deg A(s) = m $ و $ m \geq n - 1 $ في (9.34) لأي $ \bar{F}(s)\hat{F}(s) $ . وبالتالي فإن المعوض $ M(s)/A(s) $ proper. لاحظ أنه إذا لم ندخل $ \hat{F}(s) $ ، فقد لا يوجد معوض proper $ M(s)/A(s) $ في (9.34).

    بعد ذلك نُظهر أن $ \deg L(s) \leq \deg A(s) $ . بتطبيق متباينة فائض القطب-الصفر (pole-zero excess inequality) على (9.31) واستخدام (9.32) نحصل على

    $$ \deg (\bar {F} (s) \hat {F} (s)) - \deg N (s) - \deg L (s) \geq \deg D (s) - \deg N (s) $$

    مما يعني

    $$ \deg L (s) \leq \deg (\bar {F} (s) \hat {F} (s)) - \deg D (s) = \deg A (s) $$

    وبالتالي فإن المعوض $ L(s) / A(s) $ proper.

    مثال 9.4.2 اعتبر مسألة مطابقة النموذج المدروسة في المثال 9.4.1. أي، معطى $ \hat{g}(s) = (s - 2)/(s^2 - 1) $ ، طابق $ \hat{g}_o(s) = -(s - 2)/(s^2 + 2s + 2) $ . ننفذها باستخدام التكوين ثنائي المعلمات المبين في الشكل 9.1(d). أولاً نحسب

    $$ \frac {\hat {g} _ {o} (s)}{N (s)} = \frac {- (s - 2)}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s - 2)} = \frac {- 1}{s ^ {2} + 2 s + 2} =: \frac {\bar {E} (s)}{\bar {F} (s)} $$

    حيث إن $ \bar{E}(s) = -1 $ و $ \bar{F}(s) = s^2 + 2s + 2 $ أوليان (coprime). لأن درجة $ \bar{F}(s) $ هي 2، نختار اعتباطياً $ \hat{F}(s) = s + 4 $ بحيث تكون درجة $ \bar{F}(s)\hat{F}(s) $ هي $ 3 = 2n - 1 $ . وبالتالي نحصل على

    $$ L (s) = \bar {E} (s) \hat {F} (s) = - (s + 4) \tag {9.35} $$

    ويمكن حل $ A(s) $ و $ M(s) $ من

    $$ \begin{array}{l} A (s) D (s) + M (s) N (s) = \hat {F} (s) \bar {F} (s) = (s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 4) \\ = s ^ {3} + 6 s ^ {2} + 1 0 s + 8 \\ \end{array} $$

    أو

    $$ \left[ A _ {0} M _ {0} A _ {1} M _ {1} \right] \left[ \begin{array}{r r r r} - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = [ 8 1 0 6 1 ] $$

    الحل هو $ A_0 = 18 $ ، $ A_1 = 1 $ ، $ M_0 = -13 $ و $ M_1 = -12 $ . وبالتالي لدينا $ A(s) = 18 + s $ و $ M(s) = -13 - 12s $ والمعوضان هما

    $$ C _ {1} (s) = \frac {L (s)}{A (s)} = \frac {- (s + 4)}{s + 1 8}, \quad C _ {2} (s) = \frac {M (s)}{A (s)} = \frac {- (1 2 s + 1 3)}{s + 1 8} $$

    هذا يكمل التصميم. لاحظ أنه، لأن $ \hat{g}_o(0) = 1 $ ، فإن خرج نظام التغذية الراجعة سيتتبع أي مدخل مرجعي خطوة.

    يمكن أيضاً إجراء التصميم في هذا المثال باستخدام معادلات فضاء الحالة (state-space equations). نجد تحققاً (realization) في صورة قابلة للتحكم (controllable-form) ذو بعدين للمنظومة. يمكن عندئذ الحصول بسهولة على كسب تغذية راجعة للحالة (state feedback gain). ثم نصمم مقدّر حالة (state estimator) ذا بعد واحد بحل معادلة لياپونوف (Lyapunov equation). بتطبيق كسب التغذية الراجعة على مخرجات المنظومة والمقدّر وإدخال كسب التغذية الأمامية $ p = -1 $ ، يمكننا إكمال التصميم. ومع ذلك، فإن التصميم معقد نسبياً. والأسوأ من ذلك، أنه في مسألة التصميم في المثال التالي، ليس من الواضح كيف يمكن تنفيذه باستخدام معادلات فضاء الحالة.

    مثال 9.4.3 معطى $ \hat{g}(s) = (s - 2) / (s^2 - 1) $ . طابق

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {- (s - 2) (4 s + 2)}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2)} = \frac {- 4 s ^ {2} + 6 s + 4}{s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4} $$

    إن $ \hat{g}_o(s) $ هذه مستقرة BIBO ولها الخاصية $ \hat{g}_o(0) = 1 $ و $ \hat{g}_o'(0) = 0 $ ، وبالتالي فإن النظام الكلي سيتتبع تقاربياً ليس فقط أي مدخل مرجعي خطوة وإنما أيضاً أي مدخل مرجعي منحدر (ramp input). انظر المسألتين 9.13 و9.14. هذه $ \hat{g}_o(s) $ تحقق الشروط الثلاثة في نتيجة 9.4، وبالتالي فهي قابلة للتنفيذ. نستخدم التكوين ثنائي المعلمات. أولاً نحسب

    $$ \frac {\hat {g} _ {o} (s)}{N (s)} = \frac {- (s - 2) (4 s + 2)}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2) (s - 2)} = \frac {- (4 s + 2)}{s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4} =: \frac {\bar {E} (s)}{\bar {F} (s)} $$

    لأن درجة $ \bar{F}(s) $ هي 3، وهي تساوي $ 2n - 1 = 3 $ ، فلا حاجة لإدخال $ \hat{F}(s) $ ونضع $ \hat{F}(s) = 1 $ . وبالتالي نحصل على

    $$ L (s) = \hat {F} (s) \bar {E} (s) = - (4 s + 2) $$

    ويمكن حل $ A(s) $ و $ M(s) $ من

    $$ \left[ A _ {0} M _ {0} A _ {1} M _ {1} \right] \left[ \begin{array}{r r r r} - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = [ 4 6 4 1 ] $$

    بوصف $ A_{1} = 1, A_{0} = 34 / 3 = 11.33 $ ، $ M_{0} = -23 / 3 = -7.67 $ ، و $ M_{1} = -22 / 3 = -7.33 $ . وبالتالي فإن المعوضين هما

    $$ C _ {1} (s) = \frac {- (4 s + 2)}{s + 1 1 . 3 3}, \quad C _ {2} (s) = \frac {- 7 . 3 3 s - 7 . 6 7}{s + 1 1 . 3 3} $$

    هذا يكمل التصميم. لاحظ أن هذا التصميم لا يتضمن أي إلغاء قطب-صفر (pole-zero cancelation) لأن $ \hat{F}(s) = 1 $ .