9.4.2 تنفيذ المعوضات ثنائية المعلمات (Implementation of Two-Parameter Compensators) 

    معطى منظومة بدالة تحويل $ \hat{g}(s) $ ونموذج قابل للتنفيذ $ \hat{g}_o(s) $ ، يمكننا تنفيذ النموذج في التكوين ثنائي المعلمات المبين في الشكل 9.1(d) والمعاد رسمه في الشكل 9.4(a). يمكن الحصول على المعوضين $ C_1(s) = L(s) / A(s) $ و $ C_2(s) = M(s) / A(s) $ باستخدام الإجراء 9.1. لإتمام التصميم، يجب بناء المعوضات أو تنفيذها. وهذا يُناقش في هذا القسم الفرعي.

    اعتبر التكوين في الشكل 9.4(a). المقام $ A(s) $ لـ $ C_1(s) $ يُحصل عليه بحل معادلة المعوض في (9.33) وقد يكون أو لا يكون كثيرة حدود مستقرة زمن-مستمر (CT stable polynomial). انظر المسألة 9.12. إذا لم يكن كثيرة حدود مستقرة زمن-مستمر وإذا نفذنا $ C_1(s) $ كما في الشكل 9.4(a)، فإن خرج $ C_1(s) $ سينمو بلا حدود والنظام الكلي لن يكون مستقراً كلياً. لذلك، عموماً، ينبغي ألا ننفذ المعوضين كما في الشكل 9.4(a). إذا نقلنا $ C_2(s) $ خارج الحلقة كما في الشكل 9.4(b)، فإن التصميم سيتضمن إلغاء $ M(s) $ . وبما أن $ M(s) $ تُحصل أيضاً بحل (9.33)، فلا نملك تحكماً مباشراً في $ M(s) $ . لذا فالتصميم غير مقبول عموماً. إذا نقلنا $ C_1(s) $ إلى داخل الحلقة، يصبح التكوين هو المبين في الشكل 9.4(c). نرى أن التوصيل يتضمن إلغاء قطب-صفر لـ $ L(s) = \hat{F}(s)\bar{E}(s) $ . لدينا حرية في اختيار $ \hat{F}(s) $ . كثيرة الحدود $ \bar{E}(s) $ هي جزء من $ E(s) $ والتي، باستثناء الأصفار غير الأدنى طوراً (nonminimum-phase zeros) لـ


    (a)


    (b)


    (c)


    (d)
    الشكل 9.4 تكوينات بدرجتي حرية (Two-degree-of-freedom configurations).

    $ N(s) $ ، يمكننا أيضاً اختيارها. ومع ذلك، فإن الأصفار غير الأدنى طوراً تُلغى بالكامل في $ \bar{E}(s) $ . وبالتالي يمكن أن يكون $ L(s) $ مستقراً زمن-مستمر (CT stable) ويمكن أن يكون التنفيذ في الشكل 9.4(c) مستقراً كلياً ومقبولاً. ومع ذلك، لأن المعوضين $ L(s)/A(s) $ و $ M(s)/L(s) $ لهما مقامات مختلفة، فإن تنفيذهما يتطلب مجموعاً قدره $ 2m $ من المكاملات (integrators). نناقش الآن تنفيذاً أفضل يتطلب فقط $ m $ مكاملاً ويتضمن فقط إلغاء $ \hat{F}(s) $ .

    اعتبر

    $$ \begin{array}{l} \hat {u} (s) = C _ {1} (s) \hat {r} (s) - C _ {2} (s) \hat {y} (s) = \frac {L (s)}{A (s)} \hat {r} (s) - \frac {M (s)}{A (s)} \hat {y} (s) \\ = A ^ {- 1} (s) \left[ L (s) - M (s) \right] \left[ \begin{array}{l} \hat {r} (s) \\ \hat {y} (s) \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    يمكن رسم ذلك كما في الشكل 9.4(d). وبالتالي يمكننا اعتبار المعوضين معوضاً واحداً بمدخلين $ r $ و $ y $ ومخرج واحد $ u $ مع مصفوفة تحويل (transfer matrix)

    $$ \mathbf {C} (s) = \left[ \begin{array}{l l} C _ {1} (s) & - C _ {2} (s) \end{array} \right] = A ^ {- 1} (s) \left[ \begin{array}{l l} L (s) & - M (s) \end{array} \right] \tag {9.36} $$

    إذا وجدنا تحققاً أدنى (minimal realization) لـ (9.36)، فإن بعده هو $ m $ ويمكن تنفيذ المعوضين باستخدام $ m $ مكاملات فقط. كما نرى من (9.31)، فإن التصميم يتضمن فقط إلغاء $ \hat{F}(s) $ . وبالتالي فإن التنفيذ في الشكل 9.4(d) هو


    الشكل 9.5 تنفيذ دائرة مضخم تشغيلي (Op-amp circuit implementation).

    أفضل من ذاك في الشكل 9.4(c). خلاصة القول، إن التكوينات الأربعة في الشكل 9.4 كلها لها درجتا حرية وهي متكافئة رياضياً، لكنها قد تختلف في التنفيذ الفعلي.

    مثال 9.4.4 نفّذ المعوضات في المثال 9.4.3 باستخدام دائرة مضخم تشغيلي (op-amp circuit). نكتب

    $$ \begin{array}{l} \hat {u} (s) = C _ {1} (s) \hat {r} (s) - C _ {2} (s) \hat {y} (s) = \left[ \begin{array}{l l} - (4 s + 2) & 7. 3 3 s + 7. 6 7 \\ \hline s + 1 1. 3 3 & s + 1 1. 3 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \hat {r} (s) \\ \hat {y} (s) \end{array} \right] \\ = \left(\left[ - 4. 7. 3 3 \right] + \frac {1}{s + 1 1 . 3 3} [ 4 3. 3 3 - 7 5. 3 8 ]\right) \left[ \begin{array}{l} \hat {\boldsymbol {r}} (s) \\ \hat {\boldsymbol {y}} (s) \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    تحققه في فضاء الحالة (state-space realization) هو، باستخدام الصيغة في المسألة 4.14،

    $$ \begin{array}{l} \dot {x} = - 1 1. 3 3 x + [ 4 3. 3 3 - 7 5. 3 8 ] \left[ \begin{array}{l} r \\ y \end{array} \right] \\ u = x + \left[ \begin{array}{l l} - 4 & 7. 3 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} r \\ y \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    (انظر المسألة 4.18.) يمكن تنفيذ هذه المعادلة باستخدام دائرة مضخم تشغيلي كما في الشكل 9.5. لاحظ أن جامع الإشارات بعلامات موجبة وسالبة في الشكل 9.4(d) لم يعد واضحاً في الشكل 9.5. كما أن معوضي التغذية الأمامية والتغذية الراجعة غير مميزين.