9.4 دوال التحويل القابلة للتنفيذ (Implementable Transfer Functions) 

    اعتبر مرة أخرى مسألة التصميم المطروحة في الشكل 8.1 مع دالة تحويل منظومة (plant transfer function) $ \hat{g}(s) $ معطاة. المسألة الآن هي: معطى دالة تحويل كلية مرغوبة $ \hat{g}_o(s) $ ، أوجد تكوين تغذية راجعة (feedback configuration) ومعوضات (compensators) بحيث تكون دالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ مساوية لـ $ \hat{g}_o(s) $ . يُسمى ذلك مسألة مطابقة النموذج (model matching problem). من الواضح أن هذه المسألة تختلف عن مسألة وضع الأقطاب (pole-placement problem). في وضع الأقطاب، نحدد الأقطاب فقط؛ وسيُدخل التصميم أصفاراً ليس لنا عليها تحكم. في مطابقة النموذج، نحدد الأقطاب وكذلك الأصفار. لذلك يمكن اعتبار مطابقة النموذج وضعاً للأقطاب والأصفار (pole-and-zero placement) ويجب أن تعطي تصميماً أفضل. انظر المرجع 7.

    معطى دالة تحويل منظومة proper (proper plant transfer function) $ \hat{g}(s) $ . نزعم أن $ \hat{g}_o(s) = 1 $ هي أفضل دالة تحويل كلية يمكننا تصميمها. في الواقع، إذا كان $ \hat{g}_o(s) = 1 $ ، فإن $ y(t) = r(t) $ لكل $ t \geq 0 $ ولأي $ r(t) $ . وبالتالي يمكن للنظام الكلي تتبع أي مدخل مرجعي فوراً (وليس تقاربياً) مهما كانت $ r(t) $ متقلبة. لاحظ أنه على الرغم من أن $ y(t) = r(t) $ ، قد تكون مستويات القدرة عند مدخل المرجع ومخرج المنظومة مختلفة. قد تُوفَّر الإشارة المرجعية بإدارة مقبض باليد؛ وقد يكون مخرج المنظومة هو الموضع الزاوي لهوائي وزنه عدة أطنان.

    على الرغم من أن $ \hat{g}_o(s) = 1 $ هو أفضل دالة تحويل كلية، قد لا نستطيع مطابقتها لمنظومة معطاة. السبب هو أنه في المطابقة أو التنفيذ توجد قيود فيزيائية يجب أن يحققها كل نظام كلي. هذه القيود مدرجة فيما يلي:

    1. جميع المعوضات المستخدمة لها دوال تحويل كسرية proper (proper rational transfer functions).
    2. التكوين المختار ليس فيه تسريب منظومة (no plant leakage) بمعنى أن جميع المسارات الأمامية من $ r $ إلى $ y $ تمر عبر المنظومة.
    3. دالة التحويل في الحلقة المغلقة (closed-loop transfer function) لكل زوج ممكن من المدخل-المخرج تكون proper ومستقرة BIBO (BIBO stable).


    (a)
    الشكل 9.3 أنظمة التغذية الراجعة (Feedback systems).


    (b)

    كل معوض بدالة تحويل كسرية proper يمكن تنفيذه باستخدام عناصر دائرة المضخم التشغيلي (op-amp) المبينة في الشكل 4.2. إذا كان للمعوض دالة تحويل غير proper (improper)، فإن تنفيذه يتطلب استخدام مشتقات صافية (pure differentiators) والتي ستضخّم ضوضاء التردد العالي. لذلك عملياً غالباً ما نستخدم معوضات بدوال تحويل proper فقط. القيد الثاني يتطلب أن تمر كل القدرة عبر المنظومة وألا يُدخل أي معوض على التوازي مع المنظومة. جميع التكوينات في الشكل 9.1 تلبي هذا القيد. عملياً، قد توجد ضوضاء واضطراب في كل مكوّن. على سبيل المثال، قد تتولد ضوضاء عند استخدام المقومات لأن فرشها تقفز ولا انتظام في الأسلاك. وقد يتغير حمل الهوائي بسبب هبّات أو اضطراب الهواء. سيجري نمذجة هذه بوصفها مداخل خارجية (exogenous inputs) تدخل إلى أطراف الإدخال والإخراج لكل كتلة كما في الشكل 9.3. من الواضح أنه لا يمكننا تجاهل تأثيرات هذه المداخل الخارجية على النظام. على الرغم من أن مخرج المنظومة هو الإشارة التي نريد التحكم بها، ينبغي أن نهتم بجميع المتغيرات داخل النظام. على سبيل المثال، إذا كانت دالة التحويل في الحلقة المغلقة من $ r $ إلى $ u $ غير مستقرة BIBO، فإن أي $ r $ سيُثير $ u $ غير محدود وسيقوم النظام إما بالتشبع أو بالاحتراق. إذا كانت دالة التحويل في الحلقة المغلقة من $ n_1 $ إلى $ u $ غير proper وإذا كان $ n_1 $ يحتوي على ضوضاء عالية التردد، فإن الضوضاء ستُضخّم كثيراً عند $ u $ وتجعل النظام عديم الفائدة. لذلك ينبغي أن تكون دالة التحويل في الحلقة المغلقة لكل زوج ممكن من المدخل-المخرج في النظام الكلي proper ومستقرة BIBO. يقال إن النظام الكلي مُحكَم (well posed) إذا كانت دالة التحويل في الحلقة المغلقة لكل زوج ممكن من المدخل-المخرج proper؛ ومستوٍ بالكامل (totally stable) إذا كانت دالة التحويل في الحلقة المغلقة لكل زوج ممكن من المدخل-المخرج مستقرة BIBO.

    يمكن تحقيق الاستقرار الكلي (total stability) بسهولة في التصميم. إذا كانت دالة التحويل الكلية من $ r $ إلى $ y $ مستقرة BIBO ولم تكن هناك إلغاءات أقطاب-أصفار غير مستقرة (unstable pole-zero cancelation) في النظام، فإن النظام الكلي يكون مستقراً كلياً. على سبيل المثال، اعتبر النظام المبين في الشكل 9.3(a). دالة التحويل الكلية من $ r $ إلى $ y $ هي

    $$ \hat {g} _ {y r} (s) = \frac {C (s) \hat {g} (s)}{1 + C (s) \hat {g} (s)} = \frac {\frac {s - 2}{s} \cdot \frac {1}{s - 2}}{1 + \frac {s - 2}{s} \cdot \frac {1}{s - 2}} = \frac {\frac {1}{s}}{1 + \frac {1}{s}} = \frac {1}{s + 1} $$

    وهي مستقرة BIBO. ومع ذلك، فإن النظام ليس مستقراً كلياً لأنه يتضمن إلغاء قطب-صفر غير مستقر لـ $ (s - 2) $ . يمكن حساب دالة التحويل في الحلقة المغلقة من $ n_2 $ إلى $ y $ على أنها $ s / (s - 2)(s + 1) $ ، وهي ليست مستقرة BIBO. وبالتالي سيزداد المخرج بلا حد إذا دخلت ضوضاء $ n_2 $ ، حتى لو كانت صغيرة جداً، إلى النظام. لذا نحتاج ليس فقط إلى استقرار BIBO لـ $ \hat{g}_o(s) $ بل أيضاً لكل دالة تحويل في الحلقة المغلقة ممكنة. لاحظ أن كون $ \hat{g}(s) $ و $ C(s) $ مستقرين BIBO أم لا لا يهم.

    شرط أن يكون تكوين تغذية راجعة بوحدة في الشكل 9.3 مُحكماً هو $ C(\infty)\hat{g}(\infty) \neq -1 $ (المسألة 9.9). يمكن إثبات ذلك باستخدام صيغة Mason. انظر المرجع 7، ص 200-201. على سبيل المثال، لنظام تغذية راجعة بوحدة في الشكل 9.3(b)، لدينا $ C(\infty)\hat{g}(\infty) = (-1/2) \times 2 = -1 $ . لذا فإن النظام غير مُحكم. في الواقع، دالة التحويل في الحلقة المغلقة من $ r $ إلى $ y $ هي

    $$ \begin{array}{l} \hat {g} _ {y r} (s) = \frac {C (s) \hat {g} (s)}{1 + C (s) \hat {g} (s)} = \frac {\frac {- s + 2}{2 s + 1} \cdot \frac {2 s + 2}{s - 1}}{1 + \frac {- s + 2}{2 s + 1} \cdot \frac {2 s + 2}{s - 1}} = \frac {(- s + 2) (2 s + 2)}{(2 s + 1) (s - 1) + (- s + 2) (2 s + 2)} \\ = \frac {(- s + 2) (2 s + 2)}{2 s ^ {2} - s - 1 - 2 s ^ {2} + 2 s + 4} = \frac {(- s + 2) (2 s + 2)}{s + 3} \\ \end{array} $$

    وهي غير proper. شرط أن يكون التكوين ثنائي المعلمات (two-parameter configuration) في الشكل 9.1(d) مُحكماً هو $ \hat{g}(\infty)C_2(\infty) \neq -1 $ . في تكويني التغذية الراجعة بوحدة والتكوين ثنائي المعلمات، إذا كانت $ \hat{g}(s) $ صارمة في التحقق (strictly proper) أو $ \hat{g}(\infty) = 0 $ ، فإن $ \hat{g}(\infty)C(\infty) = 0 \neq -1 $ لأي $ C(s) $ proper ويكون النظامان الكليان مُحكمين تلقائياً. خلاصة القول، يمكن تحقيق الاستقرار الكلي (total stability) والاتساق (well-posedness) بسهولة في التصميم. ومع ذلك، فإنهما يفرضان بعض القيود على $ \hat{g}_o(s) $ .

    تعريف 9.1 معطى منظومة بدالة تحويل proper $ \hat{g}(s) $ . تُسمى دالة تحويل كلية $ \hat{g}_o(s) $ قابلة للتنفيذ (implementable) إذا كان هناك تكوين بلا تسريب منظومة (no-plant-leakage configuration) ومعوضات proper بحيث تكون دالة التحويل من $ r $ إلى $ y $ في الشكل 8.1 مساوية لـ $ \hat{g}_o(s) $ والنظام الكلي مُحكماً (well posed) ومستقراً كلياً (totally stable).

    إذا كانت دالة التحويل الكلية $ \hat{g}_o(s) $ غير قابلة للتنفيذ، فإن أي تكوين يُستخدم لتنفيذها سيخالف على الأقل واحداً من القيود المذكورة أعلاه. لذلك، في مطابقة النموذج، يجب أن تكون $ \hat{g}_o(s) $ المختارة قابلة للتنفيذ؛ وإلا فلا يمكن تنفيذها عملياً.

    نظرية 9.4 (Theorem 9.4) 

    اعتبر منظومة بدالة تحويل proper $ \hat{g}(s) $ . عندئذ تكون $ \hat{g}_o(s) $ قابلة للتنفيذ إذا وفقط إذا كانت $ \hat{g}_o(s) $ و

    $$ \hat {t} (s) := \frac {\hat {g} _ {o} (s)}{\hat {g} (s)} \tag {9.24} $$

    proper ومستقرة BIBO (BIBO stable).

    نُبيّن ضرورة نظرية 9.4. لأي تكوين بلا تسريب منظومة، إذا كانت دالة التحويل في الحلقة المغلقة من $ r $ إلى $ y $ هي $ \hat{g}_o(s) $ ، فإننا نحصل على

    $$ \hat {y} (s) = \hat {g} _ {o} (s) \hat {r} (s) = \hat {g} (s) \hat {u} (s) $$

    مما يعني

    $$ \hat {u} (s) = \frac {\hat {g} _ {o} (s)}{\hat {g} (s)} \hat {r} (s) = \hat {t} (s) \hat {r} (s) $$

    وبالتالي فإن دالة التحويل في الحلقة المغلقة من $ r $ إلى $ u $ هي $ \hat{t}(s) $ . يتطلب الاستقرار الكلي (total stability) أن تكون كل دالة تحويل في الحلقة المغلقة مستقرة BIBO. لذا يجب أن تكون $ \hat{g}_o(s) $ و $ \hat{t}(s) $ مستقرتين BIBO. ويتطلب الاتساق (well-posedness) أن تكون كل دالة تحويل في الحلقة المغلقة proper. لذا يجب أن تكون $ \hat{g}_o(s) $ و $ \hat{t}(s) $ proper. هذا يبيّن ضرورة النظرية. وستُثبت الكفاية بنحو بنائي في القسم الفرعي التالي.

    نعطي مثالاً بسيطاً. لمنظومة بدالة تحويل $ \hat{g}(s) = 1/(s - 1) $ ، هل $ \hat{g}_o(s) = 1 $ قابلة للتنفيذ؟ على الرغم من أن $ \hat{g}_o(s) = 1 $ proper ومستقرة BIBO، فإن دالة التحويل

    $$ \hat {t} (s) = \frac {\hat {g} _ {o} (s)}{\hat {g} (s)} = \frac {1}{1 / (s - 1)} = \frac {s - 1}{1} $$

    غير proper. لذا فإن $ \hat{g}_o(s) = 1 $ غير قابلة للتنفيذ. بعبارة أخرى، لمنظومة $ \hat{g}(s) = 1/(s - 1) $ ، لا يمكن تصميم نظام كلي ليكون له $ \hat{g}_o(s) = 1 $ كدالة تحويل دون خرق القيود الفيزيائية المذكورة أعلاه.

    نتيجة 9.4 (Corollary 9.4) 

    اعتبر منظومة بدالة تحويل proper $ \hat{g}(s) = N(s) / D(s) $ . عندئذ تكون $ \hat{g}_o(s) = E(s) / F(s) $ قابلة للتنفيذ إذا وفقط إذا تحقق ما يلي:

    1. جميع جذور $ F(s) $ لها أجزاء حقيقية سالبة ( $ F(s) $ كثيرة حدود مستقرة زمن-مستمر (CT stable polynomial)).
    2. $ \operatorname{Deg} F(s) - \deg E(s) \geq \deg D(s) - \deg N(s) $ (متباينة فائض القطب-الصفر (pole-zero excess inequality)).
    3. جميع أصفار $ N(s) $ ذات الأجزاء الحقيقية الصفرية أو الموجبة محفوظة في $ E(s) $ (الاحتفاظ بالأصفار غير الأدنى طوراً (retainment of nonminimum-phase zeros)).

    لاحظ أن $ N(s) $ و $ D(s) $ مفترضان أوليين (coprime). وكذلك $ E(s) $ و $ F(s) $ . نشتق أولاً نتيجة 9.4 من نظرية 9.4. إذا كانت $ \hat{g}_o(s) = E(s) / F(s) $ مستقرة BIBO، فإن جميع جذور $ F(s) $ لها أجزاء حقيقية سالبة. هذا هو الشرط 1. نكتب (9.24) على الشكل

    $$ \hat {t} (s) = \frac {\hat {g} _ {o} (s)}{\hat {g} (s)} = \frac {E (s) D (s)}{F (s) N (s)} $$

    شرط أن تكون $ \hat{t}(s) $ proper هو

    $$ \deg F (s) + \deg N (s) \geq \deg E (s) + \deg D (s) $$

    وهو ما يعني 2. لكي تكون $ \hat{t}(s) $ مستقرة BIBO، يجب إلغاء جميع جذور $ N(s) $ ذات الأجزاء الحقيقية الصفرية أو الموجبة بواسطة جذور $ E(s) $ . لذا يجب أن تحتوي $ E(s) $ أصفار $ N(s) $ غير الأدنى طوراً (nonminimum-phase zeros). هذا هو الشرط 3. وبالتالي فإن نتيجة 9.4 تتبع مباشرة نظرية 9.4.

    نعطي مثالاً. اعتبر $ \hat{g}(s) = (s + 2)(s - 1) / s(s - 2)(s + 3) $ . لديه قطب إضافي واحد وصفر غير أدنى طوراً (nonminimum-phase zero) عند $ s - 1 $ . لذلك يجب أن تمتلك دالة تحويل قابلة للتنفيذ قطباً إضافياً واحداً على الأقل وأن تحتوي $ (s - 1) $ كصفر لها. ومن الواضح أن لدينا ما يلي:

    1. $ \hat{g}_a(s) = 1 $ غير قابلة للتنفيذ لأنها تخالف الشرطين 2 و3.

    2. $ \hat{g}_o(s) = 1 / (s + 1) $ غير قابلة للتنفيذ لأنها تخالف (3). لاحظ أنها تحقق 1 و2.

    3. $ \hat{g}_o(s) = (s + 2) / (s + 1)(s + 4) $ غير قابلة للتنفيذ لأنها تخالف الشرط 3. لاحظ أنها تحقق 1 و2.

    4. $ \hat{g}_o(s) = k(s - 1) / (s + 1)(s + 4) $ قابلة للتنفيذ لأي ثابت حقيقي غير صفري $ k $ . إذا كان $ k = -4 $ ، فإن $ \hat{g}_o(0) = 1 $ وستتتبع $ \hat{g}_o(s) $ أي مدخل مرجعي خطوة بدون خطأ.

    5. $ \hat{g}_{\omega}(s) = k(s + \alpha)(s - 1) / (s + 1)(s + 4) $ غير قابلة للتنفيذ لأنها تخالف الشرط 2.

    6. $ \hat{g}_0(s) = k(s + \alpha)(s - 1) / (s + 1)(s + 4)(s + 5) $ قابلة للتنفيذ لأي $ k \neq 0 $ حقيقي و $ \alpha $ . لنوسع $ \hat{g}_0(s) $ على النحو

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {k s ^ {2} + k (\alpha - 1) s - k \alpha}{s ^ {3} + 1 0 s ^ {2} + 2 9 s + 2 0} $$

    إذا اخترنا $ k(\alpha - 1) = 29 $ و $ -k\alpha = 20 $ أو $ k = -49 $ و $ \alpha = 20/49 $ ، فإن $ \hat{g}_o(0) = 1 $ و $ \hat{g}_o'(0) = 0 $ ، وستتتبع $ \hat{g}_o(s) $ أي مدخلات مرجعية خطوة ومنحدر بدون خطأ.

    في وضع الأقطاب (pole placement)، سيُدخل التصميم دائماً بعض الأصفار التي لا نملك تحكماً فيها. في مطابقة النموذج (model matching)، وباستثناء الاحتفاظ بالأصفار غير الأدنى طوراً وتحقيق متباينة فائض القطب-الصفر، لدينا حرية كاملة في اختيار الأقطاب والأصفار: أي قطب داخل نصف المستوى الأيسر لمتغير $ s $ وأي صفر في كامل مستوى $ s $ . لذلك يمكن اعتبار مطابقة النموذج وضعاً للأقطاب والأصفار ويجب أن تعطي نظاماً كلياً أفضل من تصميم وضع الأقطاب.

    معطى دالة تحويل منظومة $ \hat{g}(s) $ ، فإن كيفية اختيار نموذج قابل للتنفيذ $ \hat{g}_o(s) $ ليست مسألة بسيطة. لمناقشة هذه المسألة، انظر المرجع 7، الفصل 9.