9.5.1 التنظيم والتتبع (Regulation and Tracking) 

كما في حالة SISO، يمكن استخدام وضع الأقطاب (pole placement) لتحقيق التنظيم (regulation) والتتبع (tracking) في أنظمة MIMO. في مسألة المنظِّم (regulator problem)، لدينا $ \mathbf{r} \equiv \mathbf{0} $ وإذا تم تعيين جميع أقطاب النظام الكلي بحيث تكون ذات أجزاء حقيقية سالبة، فإن الاستجابات الناجمة عن أي حالة ابتدائية غير صفرية ستختفي عندما $ t \to \infty $ . علاوة على ذلك، يمكن التحكم بمعدل الاختفاء من خلال مواقع الأقطاب؛ فكلما كانت الأجزاء الحقيقية السالبة أكبر، كان الاختفاء أسرع.

نناقش بعد ذلك تتبع أي مدخل مرجعي خطوة. في هذا التصميم، نحتاج عادة إلى مصفوفة كسب ثابتة للتغذية الأمامية (feedforward constant gain matrix) $ \mathbf{P} $ . افترض أن المعوض في الشكل 9.6 قد صُمم باستخدام نظرية 9.M2. عندئذ تكون مصفوفة التحويل $ q \times q $ من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{y} $ معطاة بـ

$$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {F} ^ {- 1} (s) \mathbf {B} (s) \mathbf {P} \tag {9.58} $$

إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ مستقرة BIBO، فإن الاستجابة في حالة الاستقرار المثار بها $ \mathbf{r}(t) = \mathbf{d} $ ، لـ $ t \geq 0 $ ، أو $ \hat{\mathbf{r}}(s) = \mathbf{d}s^{-1} $ ، حيث إن $ \mathbf{d} $ متجه ثابت اعتباطي بحجم $ q \times 1 $ ، يمكن حسابها باستخدام مبرهنة القيمة النهائية (final-value theorem) لتحويل لابلاس (Laplace transform) على النحو

$$ \lim _ {t \rightarrow \infty} \mathbf {y} (t) = \lim _ {s \rightarrow 0} s \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) \mathbf {d} s ^ {- 1} = \hat {\mathbf {G}} _ {o} (0) \mathbf {d} $$

ومن ثم نستنتج أنه لكي يتتبع $ \mathbf{y}(t) $ تقاربياً أي مدخل مرجعي خطوة، نحتاج، بالإضافة إلى الاستقرار BIBO،

$$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (0) = \mathbf {N} (0) \mathbf {F} ^ {- 1} (0) \mathbf {B} (0) \mathbf {P} = \mathbf {I} _ {q} \tag {9.59} $$

قبل مناقشة الشروط اللازمة لتحقيق (9.59)، نحتاج إلى مفهوم أصفار الإرسال (transmission zeros).

أصفار الإرسال (Transmission zeros) 

اعتبر $ q \times p \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ ، حيث $ \mathbf{N}(s) $ و $ \mathbf{D}(s) $ أوليان من اليمين (right coprime). يُسمى العدد $ \lambda $ ، الحقيقي أو العقدي، صفراً للإرسال (transmission zero) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ إذا كانت رتبة $ \mathbf{N}(\lambda) $ أصغر من min $ (p,q) $ .

مثال 9.5.2 اعتبر

$$ \hat {\mathbf {G}} _ {1} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {s}{s + 2} & 0 \\ 0 & \frac {s + 1}{s ^ {2}} \\ \frac {s + 1}{s + 2} & \frac {1}{s} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} s & 0 \\ 0 & s + 1 \\ s + 1 & s \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s + 2 & 0 \\ 0 & s ^ {2} \end{array} \right] ^ {- 1} $$

هذه $ \mathbf{N}(s) $ لها رتبة 2 عند كل $ s $ ، وبالتالي فإن $ \hat{\mathbf{G}}_1(s) $ ليس لها أصفار إرسال. اعتبر

$$ \hat {\mathbf {G}} _ {2} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {s}{s + 2} & 0 \\ 0 & \frac {s + 2}{s} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} s & 0 \\ 0 & s + 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s + 2 & 0 \\ 0 & s \end{array} \right] ^ {- 1} $$

هذه $ \mathbf{N}(s) $ لها رتبة 1 عند $ s = 0 $ و $ s = -2 $ . وبالتالي فإن $ \hat{\mathbf{G}}_2(s) $ لها صفران للإرسال عند 0 و $ -2 $ . لاحظ أن $ \hat{\mathbf{G}}_2(s) $ لها أقطاب أيضاً عند 0 و $ -2 $ .

من هذا المثال، نرى أن أصفار الإرسال لا يمكن تعريفها مباشرة من $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ؛ بل يجب تعريفها من كسرها الأولي (coprime fraction). يمكن استخدام كسر أولي من اليمين أو من اليسار ويعطيان مجموعة أصفار الإرسال نفسها. لاحظ أنه إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مربعة وإذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) = \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $ ، حيث إن $ \mathbf{N}(s) $ و $ \mathbf{D}(s) $ أوليان من اليمين و $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ و $ \bar{\mathbf{N}}(s) $ أوليان من اليسار (left coprime)، فإن أصفار الإرسال لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ هي جذور $ \det \mathbf{N}(s) $ أو جذور $ \det \bar{\mathbf{N}}(s) $ . ويمكن أيضاً تعريف أصفار الإرسال من تحقق أدنى (minimal realization) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . لتكن $ (\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}) $ أي تحقق أدنى بعده $ n $ لمصفوفة كسرية proper بحجم $ q\times p $ هي $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . عندئذ تكون أصفار الإرسال هي تلك $ \lambda $ بحيث

$$ \operatorname {r a n k} \left[ \begin{array}{c c} \lambda \mathbf {I} - \mathbf {A} & \mathbf {B} \\ - \mathbf {C} & \mathbf {D} \end{array} \right] < n + \min (p, q) $$

هذا يُستخدم في دالة MATLAB المسماة tzero لحساب أصفار الإرسال. لمناقشة أكثر تفصيلاً لأصفار الإرسال، انظر المرجع 6، ص 623-635.

الآن نحن مستعدون لمناقشة شروط تحقيق التتبع أو تحقيق (9.59). لاحظ أن $ \mathbf{N}(s) $ ، $ \mathbf{F}(s) $ و $ \mathbf{B}(s) $ ذات أبعاد $ q \times p $ ، $ p \times p $ و $ p \times q $ . وبما أن $ \mathbf{I}_q $ لها رتبة $ q $ ، فإن شرطاً لازماً لتحقيق (9.59) هو أن تكون المصفوفة $ \mathbf{N}(0) $ بحجم $ q \times p $ ذات رتبة $ q $ . الشروط اللازمة لـ $ \rho(\mathbf{N}(0)) = q $ هي $ p \geq q $ وأن $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ لا تحتوي على صفر إرسال عند $ s = 0 $ . لذلك نستنتج أنه لكي يحقق تكوين التغذية الراجعة بوحدة في الشكل 9.6 التتبع التقاربي، يجب أن تملك المنظومة الخاصيتين التاليتين:

للمنظومة نفس عدد المداخل أو أكثر من المخارج.
دالة تحويل المنظومة لا تحتوي على صفر إرسال عند $ s = 0 $ .

تحت هذه الشروط، تكون $ \mathbf{N}(0) $ ذات رتبة $ q $ . وبما أن لدينا حرية في اختيار $ \mathbf{F}(s) $ ، يمكننا اختيارها بحيث تكون $ \mathbf{B}(0) $ ذات رتبة $ q $ والمصفوفة الثابتة $ q \times q $ وهي $ \mathbf{N}(0)\mathbf{F}^{-1}(0)\mathbf{B}(0) $ غير منفردة. عندئذ يمكن حساب مصفوفة الكسب الثابت $ \mathbf{P} $ على أنها

$$ \mathbf {P} = [ \mathbf {N} (0) \mathbf {F} ^ {- 1} (0) \mathbf {B} (0) ] ^ {- 1} \tag {9.60} $$

عندئذ نحصل على $ \hat{\mathbf{G}}_o(0) = \mathbf{I}_q $ ، وسيقوم نظام التغذية الراجعة بوحدة في الشكل 9.6 مع $ \mathbf{P} $ في (9.60) بتتبع أي مدخل مرجعي خطوة تقاربياً.