9.5.2 التتبع المتين ورفض الاضطراب (Robust Tracking and Disturbance Rejection) 

كما في حالة SISO، فإن تصميم التتبع التقاربي في القسم السابق ليس متيناً (not robust). في هذا القسم، نناقش تصميماً مختلفاً. لتبسيط المناقشة، ندرس فقط المنظومات ذات العدد المتساوي من أطراف الإدخال وأطراف الإخراج أو $ p = q $ . اعتبر نظام التغذية الراجعة بوحدة المبين في الشكل 9.8. تُوصف المنظومة بمصفوفة تحويل صارمة التحقق $ p \times p $ مفككة إلى كسر أولي من اليسار (left coprime fraction) على شكل $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $ . يُفترض أن اضطراباً $ \mathbf{w}(t) $ بحجم $ p \times 1 $ يدخل عند مدخل المنظومة كما هو مبين. المسألة هي تصميم معوض بحيث يتتبع المخرج $ \mathbf{y}(t) $ تقاربياً صنفاً من الإشارات المرجعية $ \mathbf{r}(t) $ بحجم $ p \times 1 $ حتى مع وجود الاضطراب $ \mathbf{w}(t) $ وتغيّرات معاملات المنظومة. يسمى ذلك التتبع المتين ورفض الاضطراب (robust tracking and disturbance rejection).

الشكل 9.8 التتبع المتين ورفض الاضطراب (Robust tracking and disturbance rejection).

كما في حالة SISO، نحتاج إلى بعض المعلومات عن $ \mathbf{r}(t) $ و $ \mathbf{w}(t) $ قبل تنفيذ التصميم. نفترض أن تحويلات لابلاس (Laplace transforms) لـ $ \mathbf{r}(t) $ و $ \mathbf{w}(t) $ تعطى بـ

$$ \hat {\mathbf {r}} (s) = \mathcal {L} [ \mathbf {r} (t) ] = \mathrm {N} _ {r} (s) D _ {r} ^ {- 1} (s) \quad \hat {\mathbf {w}} (s) = \mathcal {L} [ \mathbf {w} (t) ] = \mathrm {N} _ {w} (s) D _ {w} ^ {- 1} (s) \tag {9.61} $$

حيث إن $ D_r(s) $ و $ D_w(s) $ كثيرات حدود معلومة؛ غير أن $ \mathbf{N}_r(s) $ و $ \mathbf{N}_w(s) $ مجهولتان لنا. لتكن $ \phi(s) $ المقام المشترك الأصغر (least common denominator) للأقطاب غير المستقرة لـ $ \hat{\mathbf{r}}(s) $ و $ \hat{\mathbf{w}}(s) $ . تُستبعد الأقطاب المستقرة لأنها لا تؤثر في $ \mathbf{y}(t) $ عندما $ t \to \infty $ . ندخل النموذج الداخلي (internal model) $ \phi^{-1}(s)\mathbf{I}_p $ كما هو مبين في الشكل 9.8. إذا كانت $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ و $ \bar{\mathbf{N}}(s) $ أوليتين من اليسار وإذا لم يكن أي جذر لـ $ \phi(s) $ صفراً للإرسال (transmission zero) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ أو، بشكل مكافئ، كانت $ \phi(s) $ و $ \det\bar{\mathbf{N}}(s) $ أوليتين (coprime)، فيمكن إظهار أن $ \bar{\mathbf{D}}(s)\phi(s) $ و $ \bar{\mathbf{N}}(s) $ أوليتان من اليسار. انظر المرجع 6، ص 443. عندئذ تعني نتيجة 9.M2 أنه يوجد معوض proper $ \mathbf{C}(s) = \bar{\mathbf{B}}(s)\bar{\mathbf{A}}^{-1}(s) $ بحيث

$$ \phi (s) \bar {\mathbf {D}} (s) \bar {\mathbf {A}} (s) + \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) = \bar {\mathbf {F}} (s) \tag {9.62} $$

لأي $ \bar{\mathbf{F}}(s) $ تحقق الشرط في نتيجة 9.M2. من الواضح أن $ \bar{\mathbf{F}}(s) $ يمكن اختيارها قطرية بحيث تقع جذور عناصرها القطرية داخل القطاع المبين في الشكل 8.3. إن نظام التغذية الراجعة بوحدة في الشكل 9.8 المصمم بهذه الطريقة سيتتبع تقاربياً وبمتانة الإشارة المرجعية $ \mathbf{r}(t) $ ويرفض الاضطراب $ \mathbf{w}(t) $ . ويُصاغ ذلك على شكل نظرية.

نظرية 9.M3 (Theorem 9.M3) 

اعتبر نظام التغذية الراجعة بوحدة المبين في الشكل 9.8 حيث للمنظومة مصفوفة تحويل صارمة التحقق $ p \times p $ هي $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $ . يُفترض أن $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ و $ \bar{\mathbf{N}}(s) $ أوليتان من اليسار وأن $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ مختزلة صفوف (row reduced) بدرجات صفوف $ \nu_i, i = 1,2,\ldots,p $ . تُنمذج الإشارة المرجعية $ \mathbf{r}(t) $ والاضطراب $ \mathbf{w}(t) $ على شكل $ \hat{\mathbf{r}}(s) = \mathbf{N}_r(s)D_r^{-1}(s) $ و $ \hat{\mathbf{w}}(s) = \mathbf{N}_w(s)D_w^{-1}(s) $ . لتكن $ \phi(s) $ المقام المشترك الأصغر للأقطاب غير المستقرة لـ $ \hat{\mathbf{r}}(s) $ و $ \hat{\mathbf{w}}(s) $ . إذا لم يكن أي جذر لـ $ \phi(s) $ صفراً للإرسال لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ، عندئذ يوجد معوض proper $ \mathbf{C}(s) = \bar{\mathbf{B}}(s)(\bar{\mathbf{A}}(s)\phi(s))^{-1} $ بحيث سيتتبع النظام الكلي الإشارة المرجعية $ \mathbf{r}(t) $ ويرفض الاضطراب $ \mathbf{w}(t) $ بمتانة وتقاربياً.

البرهان: نبيّن أولاً أن النظام سيرفض الاضطراب عند المخرج. لنفترض $ \mathbf{r} = 0 $ ونحسب المخرج $ \hat{\mathbf{y}}_w(s) $ المثار بـ $ \hat{\mathbf{w}}(s) $ . من الواضح أن لدينا

$$ \hat {\mathbf {y}} _ {w} (s) = \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) [ \hat {\mathbf {w}} (s) - \bar {\mathbf {B}} (s) \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) \phi^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {y}} _ {w} (s) ] $$

مما يعني

$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {y}} _ {w} (s) = \left[ \mathbf {I} + \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) \phi^ {- 1} (s) \right] ^ {- 1} \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \hat {\mathbf {w}} (s) \\ = \left[ \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) [ \bar {\mathbf {D}} (s) \phi (s) \bar {\mathbf {A}} (s) + \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) ] \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) \phi^ {- 1} (s) \right] ^ {- 1} \\ \times \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \hat {\mathbf {w}} (s) \\ = \phi (s) \bar {\mathbf {A}} (s) [ \bar {\mathbf {D}} (s) \phi (s) \bar {\mathbf {A}} (s) + \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) ] ^ {- 1} \bar {\mathbf {N}} (s) \hat {\mathbf {w}} (s) \\ \end{array} $$

وبالتالي نحصل، باستخدام (9.61) و(9.62)، على

$$ \hat {\mathbf {y}} _ {w} (s) = \bar {\mathbf {A}} (s) \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \phi (s) \mathbf {N} _ {w} (s) D _ {w} ^ {- 1} (s) \tag {9.63} $$

لأن جميع الجذور غير المستقرة لـ $ D_{w}(s) $ تُلغى بواسطة $ \phi(s) $ ، فإن جميع أقطاب $ \hat{\mathbf{y}}_{w}(s) $ لها أجزاء حقيقية سالبة. لذا نحصل على $ \mathbf{y}_{w}(t) \to 0 $ عندما $ t \to \infty $ وتُقمع الاستجابة المثارة بـ $ \mathbf{w}(t) $ تقاربياً عند المخرج.

بعد ذلك نحسب الخطأ $ \hat{\mathbf{e}}_r(s) $ المثار بالإشارة المرجعية $ \hat{\mathbf{r}}(s) $ :

$$ \hat {\mathbf {e}} _ {r} (s) = \hat {\mathbf {r}} (s) - \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) \phi^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {e}} _ {r} (s) $$

مما يعني

$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {e}} _ {r} (s) = \left[ \mathbf {I} + \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) \phi^ {- 1} (s) \right] ^ {- 1} \hat {\mathbf {r}} (s) \\ = \phi (s) \bar {\mathbf {A}} (s) [ \bar {\mathbf {D}} (s) \phi (s) \bar {\mathbf {A}} (s) + \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) ] ^ {- 1} \bar {\mathbf {D}} (s) \hat {\mathbf {r}} (s) \\ = \bar {\mathbf {A}} (s) \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {D}} (s) \phi (s) \mathbf {N} _ {r} (s) D _ {r} ^ {- 1} (s) \tag {9.64} \\ \end{array} $$

لأن جميع الجذور غير المستقرة لـ $ D_r(s) $ تُلغى بواسطة $ \phi(s) $ ، فإن متجه الخطأ $ \hat{\mathbf{e}}_r(s) $ لديه أقطاب مستقرة فقط. وبالتالي فإن استجابته الزمنية تؤول إلى الصفر عندما $ t \to \infty $ . ومن ثم فإن المخرج $ \mathbf{y}(t) $ سيتتبع تقاربياً الإشارة المرجعية $ \mathbf{r}(t) $ . يتحقق التتبع ورفض الاضطراب بإدراج النموذج الداخلي $ \phi^{-1}(s)\mathbf{I}_p $ . إذا لم يكن هناك اضطراب في النموذج الداخلي، فإن خاصية التتبع تبقى صحيحة لأي اضطرابات في معاملات المنظومة والمعوض، حتى الكبيرة منها، ما دام نظام التغذية الراجعة بوحدة يبقى مستقراً BIBO. وبالتالي فالتصميم متين. وهذا يثبت النظرية. انتهى البرهان (Q.E.D.).

في التصميم المتين، وبسبب النموذج الداخلي، تصبح $ \phi(s) $ أصفاراً لكل مدخل غير صفري في مصفوفات التحويل من $ \mathbf{w} $ إلى $ \mathbf{y} $ ومن $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{e} $ . تُسمى هذه الأصفار أصفار الحجب (blocking zeros). تلغي أصفار الحجب هذه جميع الأقطاب غير المستقرة لـ $ \hat{\mathbf{w}}(s) $ و $ \hat{\mathbf{r}}(s) $ ؛ وبالتالي فإن الاستجابات الناتجة عن هذه الأقطاب غير المستقرة تُحجب تماماً عند المخرج. من الواضح أن كل صفر حجب هو صفر إرسال (transmission zero). لكن العكس ليس صحيحاً. وختاماً لهذا القسم، نذكر أنه إذا استخدمنا كسرًا أوليًا من اليمين لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ، وأدخلنا نموذجًا داخليًا وثبتناه، فإن هذا الكاتب لا يستطيع إظهار سوى رفض الاضطراب. وبسبب خاصية عدم تبادلية المصفوفات (noncommutative property of matrices)، لا يستطيع هذا الكاتب إثبات التتبع المتين. ومع ذلك، يُعتقد أن النظام لا يزال يحقق التتبع المتين. كما يمكن توسيع التصميم الذي نوقش في القسم 9.3.3 إلى حالة MIMO؛ غير أن التصميم سيكون أكثر تعقيداً ولن يُناقش.