9.5 أنظمة تغذية راجعة بوحدة متعددة المدخلات والمخرجات (MIMO Unity Feedback Systems) 

    يمتد هذا القسم بوضع الأقطاب (pole placement) الذي نوقش في القسم 9.3 إلى حالة MIMO. اعتبر نظام التغذية الراجعة بوحدة (unity-feedback system) المبين في الشكل 9.6. للمنظومة $ p $ مداخل و $ q $ مخارج، وتوصف بمصفوفة كسرية صارمة التحقق (strictly proper rational matrix) $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ من الرتبة $ q \times p $ . نفترض أن $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ذات رتبة كاملة (full rank) بمعنى أن لديها مصفوفة فرعية $ q \times q $ أو $ p \times p $ ذات محدد غير صفري. إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مربعة، فإن محددها غير صفري أو أن معكوسها موجود. هذا يعادل افتراض أنه إذا كانت $ (\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}) $ تحققاً أدنى (minimal realization) لمصفوفة التحويل، فإن $ \mathbf{B} $ لها رتبة أعمدة كاملة و $ \mathbf{C} $ لها رتبة صفوف كاملة.


    الشكل 9.6 نظام تغذية راجعة بوحدة MIMO مع $ \mathbf{P} = \mathbf{I}_q $

    مسألة التصميم هي إيجاد معوض (compensator) لتحقيق وضع الأقطاب (pole placement). يجب أن يكون المعوض $ \mathbf{C}(s) $ المراد تصميمه ذا $ q $ مداخل و $ p $ مخارج لكي يكون التوصيل ممكناً. لذا يُطلب من $ \mathbf{C}(s) $ أن تكون مصفوفة كسرية proper بحجم $ p \times q $ . المصفوفة $ \mathbf{P} $ هي مصفوفة كسب ثابت $ q \times q $ . في الوقت الحالي، نفترض $ \mathbf{P} = \mathbf{I}_q $ . لتكن مصفوفة التحويل من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{y} $ هي $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ ، وهي مصفوفة $ q \times q $ . عندئذ نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \mathbf {I} _ {q} + \hat {\mathbf {G}} (s) \mathbf {C} (s) \right] ^ {- 1} \hat {\mathbf {G}} (s) \mathbf {C} (s) \\ = \hat {\mathbf {G}} (s) \mathbf {C} (s) \left[ \mathbf {I} _ {q} + \hat {\mathbf {G}} (s) \mathbf {C} (s) \right] ^ {- 1} \\ = \hat {\mathbf {G}} (s) \left[ \mathbf {I} _ {p} + \mathbf {C} (s) \hat {\mathbf {G}} (s) \right] ^ {- 1} \mathbf {C} (s) \tag {9.37} \\ \end{array} $$

    المساواة الأولى تُستحصل من $ \hat{\mathbf{y}}(s) = \hat{\mathbf{G}}(s)\mathbf{C}(s)[\hat{\mathbf{r}}(s) - \hat{\mathbf{y}}(s)] $ ؛ والثانية من $ \hat{\mathbf{e}}(s) = \hat{\mathbf{r}}(s) - \hat{\mathbf{G}}(s)\mathbf{C}(s)\hat{\mathbf{e}}(s) $ ؛ والثالثة من $ \hat{\mathbf{u}}(s) = \mathbf{C}(s)[\hat{\mathbf{r}}(s) - \hat{\mathbf{G}}(s)\hat{\mathbf{u}}(s)] $ . ويمكن أيضاً التحقق منها مباشرة. على سبيل المثال، بضرب $ [\mathbf{I}_q + \hat{\mathbf{G}}(s)\mathbf{C}(s)] $ مسبقاً ولاحقاً في المعادلتين الأوليين نحصل على

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) \mathbf {C} (s) [ \mathbf {I} _ {q} + \hat {\mathbf {G}} (s) \mathbf {C} (s) ] = [ \mathbf {I} _ {q} + \hat {\mathbf {G}} (s) \mathbf {C} (s) ] \hat {\mathbf {G}} (s) \mathbf {C} (s) $$

    وهي هوية. وهذا يثبت المساواة الثانية. ويمكن إثبات المساواة الثالثة على نحو مماثل.

    لتكن $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ كسرًا أوليًا من اليمين (right coprime fraction)، ولتكن $ \mathbf{C}(s) = \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{B}(s) $ كسرًا من اليسار (left fraction) مطلوب تصميمه. عندئذ تعطي (9.37)

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) [ \mathbf {I} + \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {B} (s) \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) ] ^ {- 1} \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {B} (s) \\ = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \left\{\mathbf {A} ^ {- 1} (s) [ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) \right. \\ \left. + \mathbf {B} (s) \mathbf {N} (s) ] \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \right\} ^ {- 1} \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {B} (s) \\ = \mathbf {N} (s)) [ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {B} (s) \mathbf {N} (s) ] ^ {- 1} \mathbf {B} (s) \\ = \mathbf {N} (s) \mathbf {F} ^ {- 1} (s) \mathbf {B} (s) \tag {9.38} \\ \end{array} $$

    حيث

    $$ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {B} (s) \mathbf {N} (s) = \mathbf {F} (s) \tag {9.39} $$

    وهي معادلة مصفوفات كثيرة حدود (polynomial matrix equation). وبالتالي تصبح مسألة التصميم: معطى $ \mathbf{D}(s) $ بحجم $ p \times p $ و $ \mathbf{N}(s) $ بحجم $ q \times p $ ومصفوفة $ \mathbf{F}(s) $ اعتباطية بحجم $ p \times p $ ، أوجد $ \mathbf{A}(s) $ بحجم $ p \times p $ و $ \mathbf{B}(s) $ بحجم $ p \times q $ لتحقيق (9.39). هذه هي النسخة المصفوفية من معادلة المعوض كثيرة الحدود في (9.12).

    نظرية 9.M1 (Theorem 9.M1) 

    معطى مصفوفتا كثيرات حدود $ \mathbf{D}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) $ ، توجد حلول مصفوفات كثيرات حدود $ \mathbf{A}(s) $ و $ \mathbf{B}(s) $ في (9.39) لأي مصفوفة كثيرة حدود $ \mathbf{F}(s) $ إذا وفقط إذا كانت $ \mathbf{D}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) $ أوليتين من اليمين (right coprime).

    افترض أن $ \mathbf{D}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) $ ليستا أوليتين من اليمين، عندئذ توجد مصفوفة كثيرة حدود غير أحادية (nonunimodular) $ \mathbf{R}(s) $ بحيث $ \mathbf{D}(s) = \hat{\mathbf{D}}(s)\mathbf{R}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) = \hat{\mathbf{N}}(s)\mathbf{R}(s) $ . عندئذ يجب أن تكون $ \mathbf{F}(s) $ في (9.39) على شكل $ \hat{\mathbf{F}}(s)\mathbf{R}(s) $ ، لمصفوفة كثيرة حدود ما $ \hat{\mathbf{F}}(s) $ . وبالتالي إذا تعذر التعبير عن $ \mathbf{F}(s) $ على هذا النحو، فلا توجد حلول في (9.39). وهذا يبيّن ضرورة النظرية. إذا كانت $ \mathbf{D}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) $ أوليتين من اليمين، توجد مصفوفتا كثيرات حدود $ \bar{\mathbf{A}}(s) $ و $ \bar{\mathbf{B}}(s) $ بحيث

    $$ \bar {\mathbf {A}} (s) \mathbf {D} (s) + \bar {\mathbf {B}} (s) \mathbf {N} (s) = \mathbf {I} $$

    يمكن الحصول على مصفوفتَي كثيرات الحدود $ \bar{\mathbf{A}}(s) $ و $ \bar{\mathbf{B}}(s) $ بسلسلة من العمليات الابتدائية (elementary operations). انظر المرجع 6، ص 587-595. وبالتالي فإن $ \mathbf{A}(s) = \mathbf{F}(s)\bar{\mathbf{A}}(s) $ و $ \mathbf{B}(s) = \mathbf{F}(s)\bar{\mathbf{B}}(s) $ هما حلان لـ (9.39) لأي $ \mathbf{F}(s) $ . وهذا يثبت نظرية 9.M1. وكما في الحالة العددية (scalar case)، يمكن تطوير حلول عامة لـ (9.39). غير أن الحلول العامة غير ملائمة للاستخدام في تصميمنا، ولذلك لن تُناقش.

    بعد ذلك سنحوّل حل (9.39) إلى حل مجموعة من المعادلات الجبرية الخطية (linear algebraic equations). اعتبر $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ حيث $ \mathbf{D}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) $ أوليتان من اليمين و $ \mathbf{D}(s) $ مختزلة أعمدة (column reduced). لتكن $ \mu_i $ درجة العمود $ i $ من $ \mathbf{D}(s) $ . عندئذ نحصل، كما نوقش في القسم 7.8.2، على

    $$ \deg \hat {\mathbf {G}} (s) = \det \det \mathbf {D} (s) = \mu_ {1} + \mu_ {2} + \dots + \mu_ {p} =: n \tag {9.40} $$

    لتكن $ \mu \coloneqq \max (\mu_1,\mu_2,\dots ,\mu_p) $ . عندئذ يمكننا التعبير عن $ \mathbf{D}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) $ كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {D} (s) = \mathbf {D} _ {0} + \mathbf {D} _ {1} s + \mathbf {D} _ {2} s ^ {2} + \dots + \mathbf {D} _ {\mu} s ^ {\mu} \quad \mathbf {D} _ {\mu} \neq \mathbf {0} \\ \mathbf {N} (s) = \mathbf {N} _ {0} + \mathbf {N} _ {1} s + \mathbf {N} _ {2} s ^ {2} + \dots + \mathbf {N} _ {\mu} s ^ {\mu} \\ \end{array} $$

    لاحظ أن $ \mathbf{D}_{\mu} $ مفردة (singular) إلا إذا كانت $ \mu_{1} = \mu_{2} = \dots = \mu_{p} $ . ولاحظ أيضاً أن $ \mathbf{N}_{\mu} = \mathbf{0} $ تبعاً لافتراض الصرامة في التحقق (strict properness) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . كما نعبّر عن $ \mathbf{A}(s), \mathbf{B}(s) $ ، و $ \mathbf{F}(s) $ كما يلي

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {A} (s) = \mathbf {A} _ {0} + \mathbf {A} _ {1} s + \mathbf {A} _ {2} s ^ {2} + \dots + \mathbf {A} _ {m} s ^ {m} \\ \mathbf {B} (s) = \mathbf {B} _ {0} + \mathbf {B} _ {1} s + \mathbf {B} _ {2} s ^ {2} + \dots + \mathbf {B} _ {m} s ^ {m} \\ \mathbf {F} (s) = \mathbf {F} _ {0} + \mathbf {F} _ {1} s + \mathbf {F} _ {2} s ^ {2} + \dots + \mathbf {F} _ {\mu + m} s ^ {\mu + m} \\ \end{array} $$

    بالتعويض بهذه في (9.39) ومطابقة معاملات القوى المتشابهة لـ $ s $ نحصل على

    $$ [ \mathbf {A} _ {0} \mathbf {B} _ {0} \mathbf {A} _ {1} \mathbf {B} _ {1} \dots \mathbf {A} _ {m} \mathbf {B} _ {m} ] \mathbf {S} _ {m} = [ \mathbf {F} _ {0} \mathbf {F} _ {1} \dots \mathbf {F} _ {\mu + m} ] =: \bar {\mathbf {F}} \tag {9.41} $$

    حيث

    $$ \mathbf {S} _ {m} := \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \mathbf {D} _ {0} & \mathbf {D} _ {1} & \dots & \mathbf {D} _ {\mu} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \mathbf {N} _ {0} & \mathbf {N} _ {1} & \dots & \mathbf {N} _ {\mu} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \\ \hline \mathbf {0} & \mathbf {D} _ {0} & \dots & \mathbf {D} _ {\mu - 1} & \mathbf {D} _ {\mu} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \mathbf {0} & \mathbf {N} _ {0} & \dots & \mathbf {N} _ {\mu - 1} & \mathbf {N} _ {\mu} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} \\ \hline \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \hline \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} & \mathbf {D} _ {0} & \mathbf {D} _ {1} & \dots & \mathbf {D} _ {\mu} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} & \mathbf {N} _ {0} & \mathbf {N} _ {1} & \dots & \mathbf {N} _ {\mu} \end{array} \right] \tag {9.42} $$

    المصفوفة $ \mathbf{S}_m $ لها $ m + 1 $ صفوف كتل (block rows)؛ يتكون كل صف كتلة من $ p $ صفوف $ D $ و $ q $ صفوف $ N $ . وبالتالي فإن $ \mathbf{S}_m $ لها $ (m + 1)(p + q) $ صفاً. دعونا نبحث عن الصفوف المستقلة خطياً في $ \mathbf{S}_m $ بالترتيب من الأعلى إلى الأسفل. اتضح أنه إذا كانت $ \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ proper، فإن جميع صفوف $ D $ مستقلة خطياً عن الصفوف السابقة لها. يمكن لصف $ N $ أن يكون مستقلاً خطياً عن الصفوف السابقة له. ومع ذلك، إذا أصبح صف $ N $ تابعاً خطياً، فإن صفوف $ N $ نفسها في صفوف الكتل اللاحقة ستكون تابعة خطياً بسبب بنية $ \mathbf{S}_m $ . لتكن $ \nu_i $ عدد صفوف $ N $ المستقلة خطياً من النوع $ i $ ، ولتكن

    $$ \nu := \max \left\{\nu_ {1}, \nu_ {2}, \dots , \nu_ {q} \right\} $$

    ويسمى هذا مؤشر الصف (row index) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . عندئذ تكون جميع صفوف $ N $ وعددها $ q $ في آخر صف كتلة من $ \mathbf{S}_{\nu} $ تابعة خطياً للصفوف السابقة لها. وبالتالي تحتوي $ \mathbf{S}_{\nu-1} $ على جميع صفوف $ N $ المستقلة خطياً ويكون مجموع عددها، كما نوقش في القسم 7.8.2، مساوياً لدرجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ، أي

    $$ v _ {1} + v _ {2} + \dots + v _ {q} = n \tag {9.43} $$

    وبما أن جميع صفوف $ D $ مستقلة خطياً ويوجد ما مجموعه $ p\nu $ صفوف $ D $ في $ \mathbf{S}_{\nu -1} $ ، نستنتج أن $ \mathbf{S}_{\nu -1} $ لها $ n + p\nu $ صفاً مستقلاً أو رتبة $ n + p\nu $ .

    لننظر في

    $$ \mathbf {S} _ {0} = \left[ \begin{array}{l l l l l} \mathbf {D} _ {0} & \mathbf {D} _ {1} & \dots & \mathbf {D} _ {\mu - 1} & \mathbf {D} _ {\mu} \\ \mathbf {N} _ {0} & \mathbf {N} _ {1} & \dots & \mathbf {N} _ {\mu - 1} & \mathbf {N} _ {\mu} \end{array} \right] $$

    لها $ p(\mu + 1) $ عموداً؛ لكنها تحتوي على ما لا يقل عن $ \sum_{i=1}^{p} (\mu - \mu_i) $ من الأعمدة الصفرية. في المصفوفة $ \mathbf{S}_1 $ ، ستظهر بعض الأعمدة الصفرية الجديدة في كتلة الأعمدة اليمنى. ومع ذلك، فإن بعض الأعمدة الصفرية في $ \mathbf{S}_0 $ لن تبقى أعمدة صفرية في $ \mathbf{S}_1 $ . ولذلك يبقى عدد الأعمدة الصفرية في $ \mathbf{S}_1 $ هو

    $$ \alpha := \sum_ {i = 1} ^ {p} (\mu - \mu_ {i}) = p \mu - \left(\mu_ {1} + \mu_ {2} + \dots + \mu_ {p}\right) = p \mu - n \tag {9.44} $$

    في الواقع، هذا هو عدد الأعمدة الصفرية في $ \mathbf{S}_m $ ، حيث $ m = 2,3,\ldots $ . لتكن $ \tilde{\mathbf{S}}_{\mu -1} $ هي المصفوفة $ \mathbf{S}_{\mu -1} $ بعد حذف هذه الأعمدة الصفرية. وبما أن عدد أعمدة $ \mathbf{S}_m $ هو $ p(\mu +1 + m) $ ، فإن عدد أعمدة $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu -1} $ هو

    $$ \beta := p (\mu + 1 + \nu - 1) - (p \mu - n) = p \nu + n \tag {9.45} $$

    ومن الواضح أن رتبة $ \tilde{\mathbf{S}}_{\mu - 1} $ تساوي رتبة $ \mathbf{S}_{\mu - 1} $ أو $ p\nu + n $ . لذا فإن $ \tilde{\mathbf{S}}_{\mu - 1} $ لها رتبة أعمدة كاملة (full column rank). الآن إذا زاد $ m $ بمقدار 1، فإن الرتبة وعدد الأعمدة في $ \tilde{\mathbf{S}}_{\mu} $ يزيدان كليهما بمقدار $ p $ (لأن $ p $ صفوف $ D $ الجديدة كلها مستقلة خطياً عن الصفوف السابقة لها)؛ وبالتالي تبقى $ \tilde{\mathbf{S}}_{\mu} $ ذات رتبة أعمدة كاملة. بالمضي قدماً، نستنتج أن $ \tilde{\mathbf{S}}_m $ ، عندما $ m \geq \mu - 1 $ ، لها رتبة أعمدة كاملة.

    لنعرّف

    $$ \mathbf {H} _ {c} (s) := \operatorname {d i a g} \left(s ^ {\mu_ {1}}, s ^ {\mu_ {2}}, \dots , s ^ {\mu_ {p}}\right) \tag {9.46} $$

    و

    $$ \mathbf {H} _ {r} (s) = \operatorname {d i a g} \left(s ^ {m _ {1}}, s ^ {m _ {2}}, \dots , s ^ {m _ {p}}\right) \tag {9.47} $$

    عندئذ نحصل على النسخة المصفوفية التالية من نظرية 9.2.

    نظرية 9.M2 (Theorem 9.M2) 

    اعتبر نظام التغذية الراجعة بوحدة المبين في الشكل 9.6. تُوصف المنظومة بمصفوفة كسرية صارمة التحقق $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ من الرتبة $ q \times p $ . لتكن $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مفككة على شكل $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ ، حيث $ \mathbf{D}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) $ أوليتان من اليمين و $ \mathbf{D}(s) $ مختزلة أعمدة (column reduced) بدرجات أعمدة $ \mu_i $ ، $ i = 1,2,\ldots,p $ . لتكن $ \nu $ مؤشر الصف لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ولتكن $ m_i \geq \nu - 1 $ لـ $ i = 1,2,\dots,p $ . عندئذ لأي مصفوفة كثيرات حدود $ \mathbf{F}(s) $ بحجم $ p \times p $ تحقق أن

    $$ \lim _ {s \rightarrow \infty} \mathbf {H} _ {r} ^ {- 1} (s) \mathbf {F} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) = \mathbf {F} _ {h} \tag {9.48} $$

    هي مصفوفة ثابتة غير منفردة (nonsingular constant matrix)، يوجد معوض proper بحجم $ p \times q $ هو $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{B}(s) $ ، حيث $ \mathbf{A}(s) $ مختزلة صفوف (row reduced) بدرجات صفوف $ m_i $ ، بحيث تكون مصفوفة التحويل من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{y} $ مساوية لـ

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {F} ^ {- 1} (s) \mathbf {B} (s) $$

    وعلاوة على ذلك، يمكن الحصول على المعوض بحل مجموعات من المعادلات الجبرية الخطية في (9.41).

    البرهان: لتكن $ m = \max(m_1, m_2, \dots, m_p) $ . اعتبر المصفوفة الثابتة

    $$ \bar {\mathbf {F}} := \left[ \mathbf {F} _ {0} \mathbf {F} _ {1} \mathbf {F} _ {2} \dots \mathbf {F} _ {m + \mu} \right] $$

    تتكون من مصفوفات معاملات $ \mathbf{F}(s) $ ولها رتبة $ p \times (m + \mu + 1) $ . من الواضح أن $ \mathbf{F}(s) $ لها درجات أعمدة على الأكثر $ m + \mu_i $ . لذلك فإن $ \bar{\mathbf{F}} $ لها ما لا يقل عن $ \alpha $ من الأعمدة الصفرية، حيث $ \alpha $ معطاة في (9.44). علاوة على ذلك، تتطابق مواقع هذه الأعمدة الصفرية مع مواقع $ \mathbf{S}_m $ . لتكن $ \bar{\mathbf{F}} $ هي المصفوفة الثابتة $ \bar{\mathbf{F}} $ بعد حذف هذه الأعمدة الصفرية. الآن اعتبر

    $$ [ \mathbf {A} _ {0} \mathbf {B} _ {0} \mathbf {A} _ {1} \mathbf {B} _ {1} \dots \mathbf {A} _ {m} \mathbf {B} _ {m} ] \tilde {\mathbf {S}} _ {m} = \tilde {\mathbf {F}} \tag {9.49} $$

    وهي تُستحصل من (9.41) بحذف $ \alpha $ من الأعمدة الصفرية في $ \mathbf{S}_m $ والأعمدة الصفرية المقابلة في $ \bar{\mathbf{F}} $ . الآن بما أن $ \tilde{\mathbf{S}}_m $ لها رتبة أعمدة كاملة إذا كان $ m \geq \nu - 1 $ ، فإننا نستنتج أنه لأي $ \mathbf{F}(s) $ ذات درجات أعمدة لا تتجاوز $ m + \mu_i $ ، توجد حلول $ \mathbf{A}_i $ و $ \mathbf{B}_i $ في (9.49). أو بشكل مكافئ، توجد مصفوفتا كثيرات حدود $ \mathbf{A}(s) $ و $ \mathbf{B}(s) $ بدرجة صف $ m $ أو أقل في (9.49). لاحظ أن $ \tilde{\mathbf{S}}_m $ عموماً لها صفوف أكثر من الأعمدة؛ لذلك فإن حلول (9.49) غير فريدة.

    بعد ذلك نُظهر أن $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{B}(s) $ proper. لاحظ أن $ \mathbf{D}_{\mu} $ مفردة عموماً وأن طريقة إثبات نظرية 9.2 لا يمكن استخدامها هنا. باستخدام $ \mathbf{H}_r(s) $ و $ \mathbf{H}_c(s) $ ، نكتب، كما في (7.80)،

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {D} (s) = \left[ \mathbf {D} _ {h c} + \mathbf {D} _ {l c} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) \right] \mathbf {H} _ {c} (s) \\ \mathbf {N} (s) = \left[ \mathbf {N} _ {h c} + \mathbf {N} _ {l c} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) \right] \mathbf {H} _ {c} (s) \\ \mathbf {A} (s) = \mathbf {H} _ {r} (s) \left[ \mathbf {A} _ {h r} + \mathbf {H} _ {r} ^ {- 1} (s) \mathbf {A} _ {l r} (s) \right] \\ \mathbf {B} (s) = \mathbf {H} _ {r} (s) \left[ \mathbf {B} _ {h r} + \mathbf {H} _ {r} ^ {- 1} (s) \mathbf {B} _ {l r} (s) \right] \\ \mathbf {F} (s) = \mathbf {H} _ {r} (s) \left[ \mathbf {F} _ {h} + \mathbf {H} _ {r} ^ {- 1} (s) \mathbf {F} _ {l} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) \right] \mathbf {H} _ {c} (s) \\ \end{array} $$

    حيث إن $ \mathbf{D}_{lc}(s)\mathbf{H}_c^{-1}(s),\mathbf{N}_{lc}(s)\mathbf{H}_c^{-1}(s),\mathbf{H}_r^{-1}(s)\mathbf{A}_{lr}(s),\mathbf{H}_r^{-1}(s)\mathbf{B}_{lr}(s), $ و $ \mathbf{H}_r^{-1}(s) $ $ \mathbf{F}_l(s)\mathbf{H}_c^{-1}(s) $ كلها دوال كسرية صارمة التحقق (strictly proper rational functions). بالتعويض أعلاه في (9.39) نحصل عند $ s = \infty $ على

    $$ \mathbf {A} _ {h r} \mathbf {D} _ {h c} + \mathbf {B} _ {h r} \mathbf {N} _ {h c} = \mathbf {F} _ {h} $$

    والتي تختزل، لأن $ \mathbf{N}_{hc} = \mathbf{0} $ تبعاً لصرامة التحقق لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ، إلى

    $$ \mathbf {A} _ {h r} \mathbf {D} _ {h c} = \mathbf {F} _ {h} $$

    وبما أن $ \mathbf{D}(s) $ مختزلة أعمدة، فإن $ \mathbf{D}_{hc} $ غير منفردة. المصفوفة الثابتة $ \mathbf{F}_h $ غير منفردة بالافتراض، لذا فإن $ \mathbf{A}_{hr} = \mathbf{F}_h\mathbf{D}_{hc}^{-1} $ غير منفردة و $ \mathbf{A}(s) $ مختزلة صفوف. لذلك فإن $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{B}(s) $ proper (نتيجة 7.8). وهذا يثبت النظرية. انتهى البرهان (Q.E.D.).

    تُسمى مصفوفة كثيرات الحدود $ \mathbf{F}(s) $ التي تحقق (9.48) مختزلة صفوف-أعمدة (row-column reduced) بدرجات صفوف $ m_{i} $ ودرجات أعمدة $ \mu_{i} $ . إذا كانت $ m_{1} = m_{2} = \dots = m_{p} = m $ ، فإن اختزال الصفوف-الأعمدة يساوي اختزال الأعمدة بدرجات أعمدة $ m + \mu_{i} $ . في التطبيق، يمكننا اختيار $ \mathbf{F}(s) $ لتكون قطرية أو مثلثية مع كثيرات حدود ذات جذور مرغوبة على القطر. عندئذ تكون $ \mathbf{F}^{-1}(s) $ وبالتالي $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ لها الجذور المرغوبة كأقطاب.

    اعتبر مرة أخرى $ \mathbf{S}_{\nu - 1} $ . رتبتها $ (p + q)\nu \times (\mu + \nu)p $ . لديها $ \alpha = p\mu - n $ عموداً صفرياً. لذا فإن المصفوفة $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu - 1} $ رتبتها $ (p + q)\nu \times [(p + \nu)p - (p\mu - n)] $ أو $ (p + q)\nu \times (\nu p + n) $ . تحتوي المصفوفة $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu - 1} $ على $ p\nu $ صفوف $ D $ مستقلة خطياً لكنها تحتوي فقط على $ \nu_1 + \dots + \nu_q = n $ صفوف $ N $ مستقلة خطياً. وبالتالي فإن $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu - 1} $ تحتوي على

    $$ \gamma := (p + q) \nu - p \nu - n = q \nu - n $$

    من صفوف $ N $ التابعة خطياً. لتكن $ \check{\mathbf{S}}_{\nu-1} $ هي المصفوفة $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu-1} $ بعد حذف هذه الصفوف التابعة خطياً. عندئذ تكون المصفوفة $ \check{\mathbf{S}}_{\nu-1} $ من الرتبة

    $$ [ (p + q) v - (q v - n) ] \times (v p + n) = (v p + n) \times (v p + n) $$

    وهكذا فإن $ \mathbf{S}_{\nu -1} $ مربعة وغير منفردة.

    اعتبر (9.49) مع $ m = \nu - 1 $ :

    $$ \mathbf {K} \tilde {\mathbf {S}} _ {\nu - 1} := [ \mathbf {A} _ {0} \mathbf {B} _ {0} \mathbf {A} _ {1} \mathbf {B} _ {1} \dots \mathbf {A} _ {\nu - 1} \mathbf {B} _ {\nu - 1} ] \tilde {\mathbf {S}} _ {\nu - 1} = \tilde {\mathbf {F}} $$

    وهي في الحقيقة تتكون من المجموعات $ p $ التالية من المعادلات الجبرية الخطية

    $$ \mathbf {k} _ {i} \bar {\mathbf {S}} _ {\nu - 1} = \bar {\mathbf {f}} _ {i}, \quad i = 1, 2, \dots , p \tag {9.50} $$

    حيث إن $ \mathbf{k}_i $ و $ \tilde{\mathbf{f}}_i $ هما الصف $ i $ من $ \mathbf{K} $ و $ \tilde{\mathbf{F}} $ . وبما أن $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu - 1} $ لها رتبة أعمدة كاملة، فلكل $ \tilde{\mathbf{f}}_i $ توجد حلول $ \mathbf{k}_i $ في (9.50). وبما أن $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu - 1} $ لها $ \gamma $ صفوف أكثر من الأعمدة، فإن الحل العام لـ (9.50) يحتوي على $ \gamma $ من المعاملات الحرة (نتيجة 3.2). إذا زادت $ m $ في $ \mathbf{S}_m $ بمقدار 1 من $ \nu - 1 $ إلى $ \nu $ ، فإن عدد صفوف $ \tilde{\mathbf{S}}_v $ يزيد بمقدار $ (p + q) $ لكن رتبة $ \tilde{\mathbf{S}}_v $ تزيد فقط بمقدار $ p $ . في هذه الحالة، يزيد عدد المعاملات الحرة من $ \gamma $ إلى $ \gamma + q $ . وبالتالي في حالة MIMO، لدينا قدر كبير من الحرية في إجراء التصميم.

    نناقش حالة خاصة من (9.50). للمصفوفة $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu -1} $ عدد $ \gamma $ من صفوف $ N $ التابعة خطياً. إذا حذفنا هذه الصفوف التابعة خطياً من $ \tilde{\mathbf{S}}_{\nu -1} $ وعيّنا الأعمدة المقابلة في $ \mathbf{B}_i $ على أنها صفر، فإن (9.50) تصبح

    $$ [ \mathbf {A} _ {0} \bar {\mathbf {B}} _ {0} \dots \mathbf {A} _ {\nu - 1} \bar {\mathbf {B}} _ {\nu - 1} ] \check {\mathbf {S}} _ {\nu - 1} = \tilde {\mathbf {F}} $$

    حيث إن $ \check{\mathbf{S}}_{\nu -1} $ هي، كما نوقش سابقاً، مربعة وغير منفردة. وبالتالي يكون الحل فريداً. يتضح ذلك في المثال التالي.

    مثال 9.5.1 اعتبر منظومة بمصفوفة تحويل صارمة التحقق

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 1 / s ^ {2} & 1 / s \\ 0 & 1 / s \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} & 0 \\ 0 & s \end{array} \right] ^ {- 1} =: \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \tag {9.51} $$

    الكسر أولي من اليمين و $ \mathbf{D}(s) $ مختزلة أعمدة بدرجات أعمدة $ \mu_1 = 2 $ و $ \mu_2 = 1 $ . نكتب

    $$ \mathbf {D} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] s + \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s ^ {2} $$

    و

    $$ \mathbf {N} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s ^ {2} $$

    نستخدم MATLAB لحساب مؤشر الصف (row index). تحليل $ qr $ (qr-decomposition) الذي نوقش في القسم 7.3.1 يمكنه كشف الأعمدة المستقلة خطياً، من اليسار إلى اليمين، في مصفوفة. هنا نحتاج الصفوف المستقلة خطياً، من الأعلى إلى الأسفل، في $ \mathbf{S}_m $ ؛ لذلك سنطبق تحليل $ qr $ على منقول $ \mathbf{S}_m $ . نكتب

    $$ \begin{array}{r l} & \mathrm {d 1 = [ 0 0 0 0 0 1 0 ] ; d 2 = [ 0 0 0 1 0 0 ] ;} \\ & \mathrm {n 1 = [ 1 1 0 0 0 0 ] ; n 2 = [ 0 1 0 0 0 ] ;} \\ & \mathrm {s 1 = [ d 1 0 0 ; d 2 0 0 ; n 1 0 0 ; n 2 0 0 ; \dots} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \mathrm {d} \\ & \mathrm {q , r ] = q r (s 1 ^ {\prime})} \end{array} $$

    والذي يعطي، كما في المثال 7.8.1،

    $$ r = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} d 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & x & x \\ 0 & 0 & n 1 & x & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & n 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & d 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

    المصفوفة $ \mathfrak{q} $ غير مطلوبة ولا تُكتب. في المصفوفة $ \mathfrak{r} $ ، نستخدم $ x, di $ و $ ni $ للدلالة على مدخلات غير صفرية. المدخلات القطرية غير الصفرية في $ \mathfrak{r} $ تعطي الأعمدة المستقلة خطياً في $ \mathbf{S}_1' $ أو، بشكل مكافئ، الصفوف المستقلة خطياً في $ \mathbf{S}_1 $ . نرى أن هناك صفين مستقلين خطياً من نوع $ N1 $ وصفاً واحداً مستقلاً خطياً من نوع $ N2 $ . درجة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ هي 3 وقد وجدنا ثلاثة صفوف $ N $ مستقلة خطياً. لذلك لا حاجة للبحث أكثر ولدينا $ \nu_1 = 2 $ و $ \nu_2 = 1 $ . وبالتالي فإن مؤشر الصف هو $ \nu = 2 $ . نختار $ m_1 = m_2 = m = \nu - 1 = 1 $ . لذا لأي $ \mathbf{F}(s) $ مختزلة أعمدة (column-reduced) بدرجات أعمدة $ m + \mu_1 = 3 $ و $ m + \mu_2 = 2 $ ، يمكننا إيجاد معوض proper بحيث يكون للنظام ذي التغذية الراجعة بوحدة الناتج $ \mathbf{F}(s) $ كمصفوفة مقام. لنختر اعتباطياً

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {F} (s) = \left[ \begin{array}{c c} (s ^ {2} + 4 s + 5) (s + 3) & 0 \\ 0 & s ^ {2} + 2 s + 5 \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} 1 5 + 1 7 s + 7 s ^ {2} + s ^ {3} & 0 \\ 0 & 5 + 2 s + s ^ {2} \end{array} \right] \tag {9.52} \\ \end{array} $$

    ونكوّن (9.41) مع $ m = \nu - 1 = 1 $ :

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \mathbf {A} _ {0} \mathbf {B} _ {0} \mathbf {A} _ {1} \mathbf {B} _ {1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} 1 5 & 0 & 1 7 & 0 & 7 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] = \bar {\mathbf {F}} \tag {9.53} \\ \end{array} $$

    إن $ \alpha $ في (9.44) يساوي 1 لهذه المسألة. وبالتالي فإن $ \mathbf{S}_1 $ و $ \bar{\mathbf{F}} $ كلاهما له عمود صفري واحد كما نرى في (9.53). بعد حذف العمود الصفري، فإن $ \bar{\mathbf{S}}_1 $ المتبقية لها رتبة أعمدة كاملة ولكل $ \bar{\mathbf{F}} $ توجد حلول في (9.53). المصفوفة $ \bar{\mathbf{S}}_1 $ رتبتها $ 8 \times 7 $ والحلول غير فريدة. عند البحث عن مؤشر الصف، عرفنا أن الصف الأخير من $ \bar{\mathbf{S}}_1 $ هو صف تابع خطياً. إذا حذفنا الصف، فعلينا تعيين العمود الثاني من $ \mathbf{B}_1 $ على أنه $ \mathbf{0} $ ويكون الحل فريداً. نكتب

    $$ \begin{array}{l} \mathrm {d 1 = [ 0 0 0 0 0 1 0 ] ; d 2 = [ 0 0 0 1 0 0 ] ;} \\ \mathrm {n 1 = [ 1 1 0 0 0 0 ] ; n 2 = [ 0 1 0 0 0 ] ;} \\ \mathrm {d 1 t = [ 0 0 0 0 1 ] ; d 2 t = [ 0 0 0 1 ] ; n 1 t = [ 1 1 0 0 ] ;} \\ \mathrm {s 1 t = [ d 1 0 ; d 2 0 ; n 1 0 ; n 2 0 ; 0 0 d 1 t ; 0 0 d 2 t ; 0 0 n 1 t ] ;} \\ \mathrm {f 1 t = [ 1 5 0 1 7 0 7 0 ] ;} \\ \mathrm {f 1 t / s 1 t} \end{array} $$

    الذي يعطي $ [7 - 1715 - 151017] $ . بإعادة الحساب مرة أخرى للصف الثاني من $ \bar{\mathbf{F}} $ ، يمكننا أخيراً الحصول على

    $$ \left[ \mathbf {A} _ {0} \mathbf {B} _ {0} \mathbf {A} _ {1} \mathbf {B} _ {1} \right] = \left[ \begin{array}{r r r r r r r r} 7 & - 1 7 & 1 5 & - 1 5 & 1 & 0 & 1 7 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

    لاحظ أن MATLAB يعطي الأعمدة السبعة الأولى؛ أما العمود الأخير $ \mathbf{0} $ فقمنا بتعيينه (نتيجة حذف الصف الأخير من $ \tilde{\mathbf{S}}_1 $ ). وبالتالي نحصل على

    $$ \mathbf {A} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 7 + s & - 1 7 \\ 0 & 2 + s \end{array} \right], \quad \mathbf {B} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 1 5 + 1 7 s & - 1 5 \\ 0 & 5 \end{array} \right] $$

    والمعوض proper

    $$ \mathbf {C} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s + 7 & - 1 7 \\ 0 & s + 2 \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c} 1 7 s + 1 5 & - 1 5 \\ 0 & 5 \end{array} \right] $$


    الشكل 9.7 تغذية راجعة بوحدة مع $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \hat{\mathbf{D}}^{-1}(s)\hat{\mathbf{N}}(s) $ .

    سيعطي مصفوفة التحويل الكلية

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} (s ^ {2} + 4 s + 5) (s + 3) & 0 \\ 0 & s ^ {2} + 2 s + 5 \end{array} \right] ^ {- 1} \\ \times \left[ \begin{array}{c c} 1 7 s + 1 5 & - 1 5 \\ 0 & 5 \end{array} \right] \tag {9.54} \\ \end{array} $$

    هذه المصفوفة لها الأقطاب المرغوبة. هذا يكمل التصميم.

    يُنفَّذ التصميم في نظرية 9.M2 باستخدام كسر أولي من اليمين لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . نذكر الآن النتيجة باستخدام كسر أولي من اليسار لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ .

    نتيجة 9.M2 (Corollary 9.M2) 

    اعتبر نظام التغذية الراجعة بوحدة المبين في الشكل 9.7. تُوصف المنظومة بمصفوفة كسرية صارمة التحقق $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ بحجم $ q \times p $ . لتكن $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ مفككة على شكل $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \bar{\mathbf{D}}^{-1}(s)\bar{\mathbf{N}}(s) $ ، حيث $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ و $ \bar{\mathbf{N}}(s) $ أوليتان من اليسار (left coprime) و $ \bar{\mathbf{D}}(s) $ مختزلة صفوف (row reduced) بدرجات صفوف $ \nu_i $ ، $ i = 1,2,\ldots,q $ . لتكن $ \mu $ مؤشر العمود (column index) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ولتكن $ m_i \geq \mu - 1 $ . عندئذ لأي مصفوفة كثيرات حدود $ \bar{\mathbf{F}}(s) $ مختزلة صفوف-أعمدة (row-column reduced) بحجم $ q \times q $ بحيث

    $$ \lim _ {s \rightarrow \infty} \operatorname {d i a g} \left(s ^ {- v _ {1}}, s ^ {- v _ {2}}, \dots , s ^ {- v _ {q}}\right) \bar {\mathbf {F}} (s) \operatorname {d i a g} \left(s ^ {- m _ {1}}, s ^ {- m _ {2}}, \dots , s ^ {- m _ {q}}\right) = \bar {\mathbf {F}} _ {h} $$

    هي مصفوفة ثابتة غير منفردة، يوجد معوض proper بحجم $ p \times q $ هو $ \mathbf{C}(s) = \bar{\mathbf{B}}(s)\bar{\mathbf{A}}^{-1}(s) $ ، حيث $ \bar{\mathbf{A}}(s) $ مختزلة أعمدة (column reduced) بدرجات أعمدة $ m_i $ ، لتحقيق

    $$ \bar {\mathbf {D}} (s) \bar {\mathbf {A}} (s) + \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) = \bar {\mathbf {F}} (s) \tag {9.55} $$

    وتكون مصفوفة التحويل من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{y} $ مساوية لـ

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} (s) \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {D}} (s) \tag {9.56} $$

    بالتعويض $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \bar{\mathbf{D}}^{-1}\bar{\mathbf{N}}(s) $ و $ \mathbf{C}(s) = \bar{\mathbf{B}}(s)\bar{\mathbf{A}}^{-1}(s) $ في المعادلة الأولى في (9.37) نحصل على

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = [ \mathbf {I} + \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) ] ^ {- 1} \bar {\mathbf {D}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) \\ = \bar {\mathbf {A}} (s) [ \bar {\mathbf {D}} (s) \bar {\mathbf {A}} (s) + \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) ] ^ {- 1} \bar {\mathbf {N}} (s) \bar {\mathbf {B}} (s) \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) \\ \end{array} $$

    والتي تصبح، بعد التعويض بـ (9.55)،

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \bar {\mathbf {A}} (s) \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) [ \bar {\mathbf {F}} (s) - \bar {\mathbf {D}} (s) \bar {\mathbf {A}} (s) ] \bar {\mathbf {A}} ^ {- 1} (s) \\ = \mathbf {I} - \bar {\mathbf {A}} (s) \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {D}} (s) \\ \end{array} $$

    وهذا يثبت مصفوفة التحويل من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{y} $ في النظرية. يعتمد التصميم في نتيجة 9.M2 على حل (9.55). لاحظ أن منقول (9.55) يصبح (9.39)؛ وتصبح الأولية من اليسار والاختزال الصفّي أولية من اليمين والاختزال العمودي. لذلك يمكن استخدام المعادلة الجبرية الخطية في (9.41) لحل منقول (9.55). ويمكننا أيضاً حل (9.55) مباشرة بتكوين

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {T} _ {m} \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {B}} _ {0} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {0} \\ \bar {\mathbf {B}} _ {1} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {1} \\ \vdots \\ \bar {\mathbf {B}} _ {m} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {m} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c} \bar {\mathbf {D}} _ {0} & \bar {\mathbf {N}} _ {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \dots & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \bar {\mathbf {D}} _ {1} & \bar {\mathbf {N}} _ {1} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {0} & \bar {\mathbf {N}} _ {0} & \vdots & \dots & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ \bar {\mathbf {D}} _ {n} & \bar {\mathbf {N}} _ {n} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {n - 1} & \bar {\mathbf {N}} _ {n - 1} & \vdots & \dots & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {n} & \bar {\mathbf {N}} _ {n} & \vdots & \dots & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {0} & \bar {\mathbf {N}} _ {0} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \vdots & \dots & \vdots & \bar {\mathbf {D}} _ {n} & \bar {\mathbf {N}} _ {n} \end{array} \right] \\ \times \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {B}} _ {0} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {0} \\ \bar {\mathbf {B}} _ {1} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {1} \\ \vdots \\ \bar {\mathbf {B}} _ {m} \\ \bar {\mathbf {A}} _ {m} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \bar {\mathbf {F}} _ {0} \\ \bar {\mathbf {F}} _ {1} \\ \bar {\mathbf {F}} _ {2} \\ \vdots \\ \bar {\mathbf {F}} _ {n + m} \end{array} \right] \tag {9.57} \\ \end{array} $$

    نبحث عن الأعمدة المستقلة خطياً في $ \mathbf{T}_m $ بالترتيب من اليسار إلى اليمين. لتكن $ \mu $ مؤشر العمود لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ أو أصغر عدد صحيح بحيث يحتوي $ \mathbf{T}_{\mu-1} $ على $ n $ من أعمدة $ N $ المستقلة خطياً. عندئذ يمكن حل المعوض من (9.57) مع $ m = \mu - 1 $ .