9.6.1 الفصل (Decoupling)
اعتبر $ p \times p \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ . لقد افترضنا أن $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ غير منفردة. لذا فإن $ \hat{\mathbf{G}}^{-1}(s) = \mathbf{D}(s)\mathbf{N}^{-1}(s) $ معرف جيداً؛ لكنه عموماً غير proper. لنختر $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ كما يلي
$$ \hat {\mathbf {T}} (s) = \hat {\mathbf {G}} ^ {- 1} (s) \operatorname {d i a g} \left(d _ {1} ^ {- 1} (s), d _ {2} ^ {- 1} (s), \dots , d _ {p} ^ {- 1} (s)\right) \tag {9.83} $$
حيث إن $ d_{i}(s) $ كثيرات حدود مستقرة زمن-مستمر (CT stable polynomials) ذات أقل درجات تجعل $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ proper. عرّف
$$ \Sigma (s) = \operatorname {d i a g} \left(d _ {1} (s), d _ {2} (s), \dots , d _ {p} (s)\right) \tag {9.84} $$
عندئذ يمكننا كتابة $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ على النحو
$$ \hat {\mathbf {T}} (s) = \mathbf {D} (s) \mathbf {N} ^ {- 1} (s) \boldsymbol {\Sigma} ^ {- 1} (s) = \mathbf {D} (s) [ \boldsymbol {\Sigma} (s) \mathbf {N} (s) ] ^ {- 1} \tag {9.85} $$
إذا كانت جميع أصفار الإرسال (transmission zeros) لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ أو، بشكل مكافئ، جميع جذور $ \det \mathbf{N}(s) $ لها أجزاء حقيقية سالبة، فإن $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ تكون proper ومستقرة BIBO. وبالتالي فإن مصفوفة التحويل الكلية
$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \hat {\mathbf {G}} (s) \hat {\mathbf {T}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \mathbf {D} (s) [ \Sigma (s) \mathbf {N} (s) ] ^ {- 1} \\ = \mathbf {N} (s) [ \Sigma (s) \mathbf {N} (s) ] ^ {- 1} = \Sigma^ {- 1} (s) \tag {9.86} \\ \end{array} $$
قابلة للتنفيذ. مصفوفة التحويل الكلية هذه مصفوفة قطرية وتسمى مفصولة (decoupled). والتصميم في المثال 9.6.1 هو في الواقع من هذا النوع.
إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ تحوي أصفار إرسال غير أدنى طوراً (nonminimum-phase transmission zeros) أو أصفار إرسال ذات أجزاء حقيقية صفرية أو موجبة، فإن التصميم السابق لا يمكن استخدامه. ومع ذلك، مع بعض التعديل، لا يزال ممكناً تصميم نظام كلي مفصول (decoupled). اعتبر $ p \times p \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ . نفكك $ \mathbf{N}(s) $ على النحو
$$ \mathbf {N} (s) = \mathbf {N} _ {1} (s) \mathbf {N} _ {2} (s) $$
مع
$$ \mathbf {N} _ {1} (s) = \operatorname {d i a g} \left(\beta_ {1 1} (s), \beta_ {1 2} (s), \dots , \beta_ {1 p} (s)\right) $$
حيث إن $ \beta_{1i}(s) $ هو القاسم المشترك الأعظم (greatest common divisor) للصف $ i $ من $ \mathbf{N}(s) $ . لنحسب $ \mathbf{N}_2^{-1}(s) $ ، ولتكن $ \beta_{2i}(s) $ المقام المشترك الأصغر (least common denominator) للأقطاب غير المستقرة للعمود $ i $ من $ \mathbf{N}_2^{-1}(s) $ . عرّف
$$ \mathbf {N} _ {2 d} := \operatorname {d i a g} \left(\beta_ {2 1} (s), \beta_ {2 2} (s), \dots , \beta_ {2 p} (s)\right) $$
عندئذ فإن المصفوفة
$$ \bar {\mathbf {N}} _ {2} (s) := \mathbf {N} _ {2} ^ {- 1} (s) \mathbf {N} _ {2 d} (s) $$
لا تحتوي على أقطاب غير مستقرة. الآن نختار $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ كما يلي
$$ \hat {\mathbf {T}} (s) = \mathbf {D} (s) \bar {\mathbf {N}} _ {2} (s) \Sigma^ {- 1} (s) \tag {9.87} $$
مع
$$ \Sigma (s) = \operatorname {d i a g} \left(d _ {1} (s), d _ {2} (s), \dots , d _ {p} (s)\right) $$
حيث إن $ d_{i}(s) $ كثيرات حدود مستقرة زمن-مستمر ذات أقل درجات تجعل $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ proper. وبما أن $ \bar{\mathbf{N}}_{2}(s) $ لها أقطاب مستقرة فقط، و $ d_{i}(s) $ مستقرة زمن-مستمر، فإن $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ مستقرة BIBO. اعتبر
$$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \hat {\mathbf {G}} (s) \hat {\mathbf {T}} (s) = \mathbf {N} _ {1} (s) \mathbf {N} _ {2} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \mathbf {D} (s) \bar {\mathbf {N}} _ {2} (s) \Sigma^ {- 1} (s) \\ = \mathbf {N} _ {1} (s) \mathbf {N} _ {2 d} (s) \Sigma^ {- 1} (s) \\ = \operatorname {d i a g} \left(\frac {\beta_ {1} (s)}{d _ {1} (s)}, \frac {\beta_ {2} (s)}{d _ {2} (s)}, \dots , \frac {\beta_ {p} (s)}{d _ {p} (s)}\right) \tag {9.88} \\ \end{array} $$
حيث إن $ \beta_{i}(s) = \beta_{1i}(s)\beta_{2i}(s) $ . وهي proper لأن كلاً من $ \mathbf{T}(s) $ و $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ proper. وهي واضحة الاستقرار BIBO. لذلك فإن $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ قابلة للتنفيذ وهي نظام مفصول.
مثال 9.6.2 اعتبر
$$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s & 1 \\ s - 1 & s - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s ^ {3} + 1 & 1 \\ 0 & s ^ {2} \end{array} \right] ^ {- 1} $$
نحسب $ \det \mathbf{N}(s) = (s - 1)(s - 1) = (s - 1)^2 $ . للمنظومة صفران للإرسال غير أدنى طوراً. نفكك $ \mathbf{N}(s) $ على النحو
$$ \mathbf {N} (s) = \mathbf {N} _ {1} (s) \mathbf {N} _ {2} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & s - 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} s & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] $$
مع $ \mathbf{N}_1(s) = \mathrm{diag}(1,(s - 1)) $ ، ونحسب
$$ \mathbf {N} _ {2} ^ {- 1} (s) = \frac {1}{(s - 1)} \left[ \begin{array}{c c} 1 & - 1 \\ - 1 & s \end{array} \right] $$
إذا اخترنا
$$ \mathbf {N} _ {2 d} = \operatorname {d i a g} ((s - 1), (s - 1)) \tag {9.89} $$
فإن المصفوفة الكسرية
$$ \bar {\mathbf {N}} _ {2} (s) = \mathbf {N} _ {2} ^ {- 1} (s) \mathbf {N} _ {2 d} (s) = \left[ \begin{array}{r r} 1 & - 1 \\ - 1 & s \end{array} \right] $$
لا تحتوي على أقطاب غير مستقرة. نحسب
$$ \begin{array}{l} \mathbf {D} (s) \bar {\mathbf {N}} _ {2} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {3} + 1 & 1 \\ 0 & s ^ {2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} 1 & - 1 \\ - 1 & s \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {3} & - s ^ {3} + s - 1 \\ - s ^ {2} & s ^ {3} \end{array} \right] \\ \end{array} $$
إذا اخترنا
$$ \Sigma (s) = \operatorname {d i a g} ((s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2), (s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2)) $$
فإن
$$ \hat {\mathbf {T}} (s) = \mathbf {D} (s) \bar {\mathbf {N}} _ {2} (s) \Sigma^ {- 1} (s) $$
هو proper. وبالتالي فإن مصفوفة التحويل الكلية
$$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \hat {\mathbf {G}} (s) \hat {\mathbf {T}} (s) = \operatorname {d i a g} \left(\frac {s - 1}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2)}, \frac {(s - 1) ^ {2}}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2)}\right) $$
قابلة للتنفيذ. هذا نظام مفصول. هذا النظام المفصول لن يتتبع أي مدخل مرجعي خطوة. لذا نعدّله إلى
$$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \operatorname {d i a g} \left(\frac {- 4 (s - 1)}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2)}, \frac {4 (s - 1) ^ {2}}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2)}\right) \tag {9.90} $$
والتي تحقق $ \hat{\mathbf{G}}_o(0) = \mathbf{I} $ وستتتبع أي مدخل مرجعي خطوة.
بعد ذلك ننفّذ (9.90) في التكوين ثنائي المعلمات. نتبع الإجراء 9.M1. لتوفير المساحة، نعرّف $ d(s) \coloneqq (s^2 + 2s + 2)(s + 2) $ . أولاً نحسب
$$ \begin{array}{l} \mathbf {N} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s & 1 \\ s - 1 & s - 1 \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c} \frac {- 4 (s - 1)}{d (s)} & 0 \\ 0 & \frac {4 (s + 1) ^ {2}}{d (s)} \end{array} \right] \\ = \frac {1}{(s - 1) ^ {2}} \left[ \begin{array}{c c} s - 1 & - 1 \\ 1 - s & s \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} \frac {- 4 (s - 1)}{d (s)} & 0 \\ 0 & \frac {4 (s - 1) ^ {2}}{d (s)} \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} \frac {- 4}{d (s)} & \frac {- 4}{d (s)} \\ \frac {4}{d (s)} & \frac {4 s}{d (s)} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} d (s) & 0 \\ 0 & d (s) \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c} - 4 & - 4 \\ 4 & 4 s \end{array} \right] \\ =: \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) \\ \end{array} $$
وهو كسر أولي من اليسار (left-coprime fraction).
من مصفوفة تحويل المنظومة، لدينا
$$ \mathbf {D} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] s ^ {2} + \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s ^ {3} $$
و
$$ \mathbf {N} (s) = \left[ \begin{array}{r r} 0 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right] s + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s ^ {2} + \left[ \begin{array}{l l} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] s ^ {3} $$
نستخدم تحليل $ qr $ لحساب مؤشر الصف لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . نكتب
$$ \begin{array}{r l} & \mathrm {d 1 = [ 1 1 0 0 0 0 0 1 0 ] ; d 2 = [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] ;} \\ & \mathrm {n 1 = [ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ] ; n 2 = [ - 1 - 1 1 1 0 0 0 0 ] ;} \\ & \mathrm {s 2 = [ d 1 0 0 0 0 ; d 2 0 0 0 0 ; n 1 0 0 0 0 ; n 2 0 0 0 0 ; \dots} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \dots} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \dots} \\ & \quad \quad \quad \quad - 0. 0 d 1. 0. 0; 0. 0 d 2. 0. 0; 0. 0 n 1. 0. 0; 0. 0 n 2. 0. 0; \dots \\ & \quad \quad \quad - 0. 0 d 1; 0. 0 d 2; 0. 0 d n _ {1}; 0. 0 d n _ {2}; n _ {2} ] ; \\ & [ q, r ] = q r (s _ {2 ^ {\prime}}) \end{array} $$
من المصفوفة $ \mathbf{r} $ (غير معروضة)، يمكننا أن نرى أن هناك ثلاثة صفوف $ N1 $ مستقلة خطياً وصفين $ N2 $ مستقلين خطياً. وبالتالي لدينا $ v_{1} = 3 $ و $ v_{2} = 2 $ ويكون مؤشر الصف $ v = 3 $ . إذا اخترنا
$$ \hat {\mathbf {F}} (s) = \operatorname {d i a g} \left((s + 3) ^ {2}, (s + 3)\right) $$
فإن $ \hat{\mathbf{F}}(s)\bar{\mathbf{F}}(s) $ تكون مختزلة صفوف-أعمدة بدرجات صفوف $ \{2,2\} $ ودرجات أعمدة $ \{3,2\} $ . نضع
$$ \mathbf {L} (s) = \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} - 4 (s + 3) ^ {2} & - 4 (s + 3) ^ {2} \\ 4 (s + 3) & 4 s (s + 3) \end{array} \right] \tag {9.91} $$
ونحل $ \mathbf{A}(s) $ و $ \mathbf{M}(s) $ من
$$ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) = \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {F}} (s) := \mathbf {F} (s) $$
وباستخدام MATLAB، يمكن حلها على النحو
$$ \mathbf {A} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} + 1 0 s + 3 2 9 & 1 0 0 \\ - 4 6 & s ^ {2} + 7 s + 6 \end{array} \right] \tag {9.92} $$
و
$$ \mathbf {M} (s) = \left[ \begin{array}{c c} - 2 9 0 s ^ {2} - 1 1 4 s - 3 6 & 1 8 9 s + 2 9 3 \\ 4 6 s ^ {2} + 3 4 s + 1 2 & - 3 4 s - 4 6 \end{array} \right] \tag {9.93} $$
المعوضان $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{M}(s) $ و $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{L}(s) $ هما بوضوح proper. هذا يكمل التصميم.
يمكن تعديل مطابقة النموذج التي نوقشت بعدة طرق. على سبيل المثال، إذا لم تكن الجذور المستقرة لـ $ \det \mathbf{N}_2(s) $ داخل القطاع المبين في الشكل 8.3، فيمكن إدراجها في $ \beta_{2i} $ . عندئذ ستُحتفظ بها في $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ ولن تُلغى في التصميم. بدلاً من فصل المنظومة لكل زوج من المدخل والمخرج، يمكننا فصلها لمجموعة من المداخل ومجموعة من المخارج. في هذه الحالة، تكون مصفوفة التحويل الكلية الناتجة مصفوفة قطرية كتلية (block diagonal matrix). هذه التعديلات مباشرة ولن تُناقش.