9.6 مطابقة نموذج MIMO — تكوين ثنائي المعلمات (MIMO Model Matching—Two-Parameter Configuration) 

    في هذا القسم، نمد مطابقة نموذج SISO إلى حالة MIMO. ندرس فقط المنظومات ذات مصفوفات تحويل صارمة التحقق مربعة وغير منفردة. كما في حالة SISO، معطى مصفوفة تحويل للمنظومة $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ، يُقال إن نموذجاً $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ قابل للتنفيذ (implementable) إذا وُجد تكوين بلا تسريب منظومة (no-plant-leakage configuration) ومعوضات proper بحيث يكون للنظام الناتج مصفوفة التحويل الكلية $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ ويكون مستقراً كلياً (totally stable) ومُحكماً (well-posed). النظرية التالية تمدد نظرية 9.4 إلى حالة المصفوفات.

    نظرية 9.M4 (Theorem 9.M4) 

    اعتبر منظومة بمصفوفة تحويل صارمة التحقق $ p \times p $ هي $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ . عندئذ تكون مصفوفة التحويل $ p \times p $ وهي $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ قابلة للتنفيذ إذا وفقط إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ و

    $$ \hat {\mathbf {T}} (s) := \hat {\mathbf {G}} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) \tag {9.65} $$

    proper ومستقرة BIBO.5

    لأي تكوين بلا تسريب منظومة، فإن مصفوفة التحويل في الحلقة المغلقة من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{u} $ هي $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ . لذا فإن الاتساق (well-posedness) والاستقرار الكلي (total stability) يتطلبان أن تكون $ \hat{\mathbf{G}}_0(s) $ و $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ proper ومستقرة BIBO. هذا يبيّن ضرورة نظرية 9.M4. لنكتب (9.65) على الشكل

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \hat {\mathbf {G}} (s) \hat {\mathbf {T}} (s) \tag {9.66} $$

    يمكن تنفيذ (9.66) في تكوين الحلقة المفتوحة في الشكل 9.1(a) مع $ \mathbf{C}(s) = \hat{\mathbf{T}}(s) $ . غير أن هذا التصميم غير مقبول أيضاً لأنه إما غير مستقر كلياً أو شديد الحساسية لتغيّرات معاملات المنظومة. إذا نفذناه في تكوين التغذية الراجعة بوحدة، فلا نملك حرية في تعيين الأقطاب الملغاة. وبالتالي قد لا يكون التكوين مقبولاً. في تكوين التغذية الراجعة بوحدة، لدينا

    $$ \hat {\mathbf {u}} (s) = \mathbf {C} (s) [ \hat {\mathbf {r}} (s) - \hat {\mathbf {y}} (s) ] $$

    والآن نمدده إلى

    $$ \hat {\mathbf {u}} (s) = \mathbf {C} _ {1} (s) \hat {\mathbf {r}} (s) - \mathbf {C} _ {2} (s) \hat {\mathbf {y}} (s) \tag {9.67} $$

    وهذا تكوين بدرجتي حرية (two-degree-of-freedom configuration). كما في حالة SISO، يمكننا اختيار $ \mathbf{C}_1(s) $ و $ \mathbf{C}_2(s) $ بحيث يكون لهما نفس مصفوفة المقام كما في

    $$ \mathbf {C} _ {1} (s) = \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {L} (s), \quad \mathbf {C} _ {2} (s) = \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {M} (s) \tag {9.68} $$

    عندئذ يمكن رسم التكوين ثنائي المعلمات كما في الشكل 9.9. من الشكل، لدينا


    الشكل 9.9 تكوين ثنائي المعلمات (Two-parameter configuration).

    $$ \hat {\mathbf {u}} (s) = \mathbf {A} ^ {- 1} (s) [ \mathbf {L} (s) \hat {\mathbf {r}} (s) - \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {u}} (s) ] $$

    مما يعني

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {u}} (s) = [ \mathbf {I} + \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) ] ^ {- 1} \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {L} (s) \hat {\mathbf {r}} (s) \\ = \mathbf {D} (s) [ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) ] ^ {- 1} \mathbf {L} (s) \hat {\mathbf {r}} (s) \\ \end{array} $$

    وبالتالي لدينا

    $$ \hat {\mathbf {y}} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {u}} (s) = \mathbf {N} (s) [ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) ] ^ {- 1} \mathbf {L} (s) \hat {\mathbf {r}} (s) $$

    ومصفوفة التحويل من $ \mathbf{r} $ إلى $ \mathbf{y} $ هي

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \mathbf {N} (s) [ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) ] ^ {- 1} \mathbf {L} (s) \tag {9.69} $$

    وهكذا تصبح مطابقة النموذج هي حل $ \mathbf{A}(s) $ ، $ \mathbf{M}(s) $ و $ \mathbf{L}(s) $ من (9.69).

    مسألة (Problem) 

    معطى $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ صارمة التحقق بحجم $ p \times p $ ، حيث $ \mathbf{N}(s) $ و $ \mathbf{D}(s) $ أوليتان من اليمين و $ \mathbf{D}(s) $ مختزلة أعمدة بدرجات أعمدة $ \mu_i $ ، $ i = 1,2,\ldots,p $ ، ومعطى أي $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ قابلة للتنفيذ، أوجد معوضات proper $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{L}(s) $ و $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{M}(s) $ في الشكل 9.9 لتنفيذ $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ .

    الإجراء 9.M1 (Procedure 9.M1) 

    1. احسب
    $$ \mathbf {N} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) \tag {9.70} $$

    حيث إن $ \bar{\mathbf{F}}(s) $ و $ \bar{\mathbf{E}}(s) $ أوليتان من اليسار و $ \bar{\mathbf{F}}(s) $ مختزلة صفوف (row reduced).

    1. احسب مؤشر الصف $ \nu $ لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ . يمكن تحقيق ذلك باستخدام تحليل $ qr $ (qr-decomposition).

    2. اختر

    $$ \hat {\mathbf {F}} (s) = \operatorname {d i a g} \left(\alpha_ {1} (s), \alpha_ {2} (s), \dots , \alpha_ {p} (s)\right) \tag {9.71} $$

    حيث إن $ \alpha_{i}(s) $ كثيرات حدود مستقرة زمن-مستمر (CT stable polynomials) عشوائية، بحيث تكون $ \hat{\mathbf{F}}(s)\bar{\mathbf{F}}(s) $ مختزلة صفوف-أعمدة (row-column reduced) بدرجات أعمدة $ \mu_{i} $ ودرجات صفوف $ m_{i} $ مع

    $$ m _ {i} \geq v - 1 \tag {9.72} $$

    لـ $ i = 1,2,\dots,p $

    1. ضع
    $$ \mathbf {L} (s) = \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) \tag {9.73} $$

    واحل $ \mathbf{A}(s) $ و $ \mathbf{M}(s) $ من

    $$ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) = \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {F}} (s) =: \mathbf {F} (s) \tag {9.74} $$

    عندئذ يمكن الحصول على معوضات proper $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{L}(s) $ و $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{M}(s) $ لتحقيق مطابقة النموذج.

    هذا الإجراء يختزل إلى الإجراء 9.1 إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ عددية (scalar). نبرر أولاً الإجراء. بالتعويض بـ (9.73) و(9.74) في (9.69) نحصل على

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \mathbf {N} (s) [ \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {F}} (s) ] ^ {- 1} \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) = \mathbf {N} (s) \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) $$

    وهذا هو (9.70). وبالتالي فإن المعوضات تنفذ $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ . عرّف

    $$ \mathbf {H} _ {c} (s) = \operatorname {d i a g} \left(s ^ {\mu_ {1}}, s ^ {\mu_ {2}}, \dots , s ^ {\mu_ {p}}\right) \quad \mathbf {H} _ {r} (s) = \operatorname {d i a g} \left(s ^ {m _ {1}}, s ^ {m _ {2}}, \dots , s ^ {m _ {p}}\right) $$

    وبحسب الافتراض، فإن المصفوفة

    $$ \lim _ {s \rightarrow \infty} \mathbf {H} _ {r} ^ {- 1} (s) \mathbf {F} (s) \mathbf {H} _ {c} ^ {- 1} (s) =: \mathbf {F} _ {h} $$

    هي مصفوفة ثابتة غير منفردة. وبالتالي توجد حلول $ \mathbf{A}(s) $ بدرجات صفوف $ m_{i} $ ومختزلة صفوف، و $ \mathbf{M}(s) $ بدرجات صفوف $ m_{i} $ أو أقل، في (9.74) (نظرية 9.M2). لذا فإن $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{M}(s) $ proper. ولإظهار أن $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{L}(s) $ proper، نعتبر

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {T}} (s) = \hat {\mathbf {G}} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \mathbf {D} (s) \mathbf {N} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) \\ = \mathbf {D} (s) \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) = \mathbf {D} (s) [ \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {F}} (s) ] ^ {- 1} \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) \\ = \mathbf {D} (s) [ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) ] ^ {- 1} \mathbf {L} (s) \\ = \mathbf {D} (s) \left\{\mathbf {A} (s) \left[ \mathbf {I} + \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) \mathbf {D} ^ {- 1} (s) \right] \mathbf {D} (s) \right\} ^ {- 1} \mathbf {L} (s) \\ = [ \mathbf {I} + \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {M} (s) \hat {\mathbf {G}} (s) ] ^ {- 1} \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {L} (s) \\ \end{array} $$

    مما يعني، لأن $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ صارمة التحقق وأن $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{M}(s) $ proper،

    $$ \lim _ {s \rightarrow \infty} \hat {\mathbf {T}} (s) = \lim _ {s \rightarrow \infty} \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {L} (s) $$

    وبما أن $ \mathbf{T}(\infty) $ محدودة بالافتراض، نستنتج أن $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{L}(s) $ proper. إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ صارمة التحقق وكانت جميع المعوضات proper، فإن التكوين ثنائي المعلمات يكون مُحكماً تلقائياً. يتضمن التصميم إلغاء قطب-صفر لـ $ \hat{\mathbf{F}}(s) $ والتي يمكننا اختيارها. إذا اختيرت $ \hat{\mathbf{F}}(s) $ قطرية مع كثيرات حدود مستقرة زمن-مستمر في قطرها، فإن إلغاءات القطب-الصفر تتضمن فقط أقطاباً مستقرة ويكون النظام مستقراً كلياً. هذا يكمل تبرير إجراء التصميم.

    مثال 9.6.1 اعتبر منظومة بمصفوفة تحويل

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 1 / s ^ {2} & 1 / s \\ 0 & 1 / s \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} & 0 \\ 0 & s \end{array} \right] ^ {- 1} \tag {9.75} $$

    لها درجات أعمدة $ \mu_{1} = 2 $ و $ \mu_{2} = 1 $ . لنختر نموذجاً كما يلي

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} & 0 \\ 0 & \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} \end{array} \right] \tag {9.76} $$

    وهو proper ومستقر BIBO. للتحقق مما إذا كان $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ قابلاً للتنفيذ، نحسب

    $$ \hat {\mathbf {T}} (s) := \hat {\mathbf {G}} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} & - s ^ {2} \\ 0 & s \end{array} \right] \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {2 s ^ {2}}{s ^ {2} + 2 s + 2} & \frac {- 2 s ^ {2}}{s ^ {2} + 2 s + 2} \\ 0 & \frac {2 s}{s ^ {2} + 2 s + 2} \end{array} \right] $$

    وهو proper ومستقر BIBO. وبالتالي فإن $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) $ قابلة للتنفيذ. نحسب

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {N} ^ {- 1} (s) \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} & 0 \\ 0 & \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} & \frac {- 2}{s ^ {2} + 2 s + 2} \\ 0 & \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} s ^ {2} + 2 s + 2 & 0 \\ 0 & s ^ {2} + 2 s + 2 \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c} 2 & - 2 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \\ =: \bar {\mathbf {F}} ^ {- 1} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) \\ \end{array} $$

    لهذا المثال، يمكن حساب درجة $ \mathbf{N}^{-1}(s)\hat{\mathbf{G}}_o(s) $ بسهولة على أنها 4. محدد $ \bar{\mathbf{F}}(s) $ له درجة 4؛ لذلك فإن الزوج $ \bar{\mathbf{F}}(s) $ و $ \bar{\mathbf{E}}(s) $ أولي من اليسار. من الواضح أن $ \bar{\mathbf{F}}(s) $ مختزلة صفوف بدرجات صفوف $ r_1 = r_2 = 2 $ . مؤشر الصف لـ $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ حُسب في المثال 9.5.1 على أنه $ \nu = 2 $ . لنختر

    $$ \hat {\mathbf {F}} (s) = \operatorname {d i a g} ((s + 2), 1) $$

    فنحصل على

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {F}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} (s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2) & 0 \\ 0 & s ^ {2} + 2 s + 2 \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} 4 + 6 s + 4 s ^ {2} + s ^ {3} & 0 \\ 0 & 2 + 2 s + s ^ {2} \end{array} \right] \tag {9.77} \\ \end{array} $$

    وهي مختزلة صفوف-أعمدة بدرجات صفوف $ \{m_1 = m_2 = 1 = \nu - 1\} $ وبدرجات أعمدة $ \{\mu_1 = 2, \mu_2 = 1\} $ . لاحظ أنه بدون إدخال $ \hat{\mathbf{F}}(s) $ ، قد لا توجد معوضات proper. نضع

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {L} (s) = \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {E}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s + 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} 2 & - 2 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} 2 (s + 2) & - 2 (s + 2) \\ 0 & 2 \end{array} \right] \tag {9.78} \\ \end{array} $$

    ونحل $ \mathbf{A}(s) $ و $ \mathbf{M}(s) $ من

    $$ \mathbf {A} (s) \mathbf {D} (s) + \mathbf {M} (s) \mathbf {N} (s) = \hat {\mathbf {F}} (s) \bar {\mathbf {F}} (s) =: \mathbf {F} (s) \tag {9.79} $$

    من مصفوفات معاملات $ \mathbf{D}(s) $ و $ \mathbf{N}(s) $ ومصفوفات معاملات (9.77)، يمكننا بسهولة تكوين

    $$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \mathbf {A} _ {0} \mathbf {M} _ {0} \mathbf {A} _ {1} \mathbf {M} _ {1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} 4 & 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \tag {9.80} \\ \end{array} $$

    كما نوقش في المثال 9.5.1، إذا حذفنا العمود الأخير من $ \mathbf{S}_1 $ ، فإن $ \tilde{\mathbf{S}}_1 $ المتبقية لها رتبة أعمدة كاملة ولكل $ \mathbf{F}(s) $ ، بعد حذف العمود الصفري الأخير، توجد حلول في (9.80). الآن إذا حذفنا آخر صف $ N $ من $ \tilde{\mathbf{S}}_1 $ ، وهو تابع خطياً لصفه السابق، فإن مجموعة الحلول تصبح فريدة ويمكن الحصول عليها باستخدام MATLAB على النحو

    $$ \left[ \mathbf {A} _ {0} \mathbf {M} _ {0} \mathbf {A} _ {1} \mathbf {M} _ {1} \right] = \left[ \begin{array}{r r r r r r r r} 4 & - 6 & 4 & - 4 & 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \tag {9.81} $$

    لاحظ أن العمود الصفري الأخير تم تعيينه لأننا حذفنا آخر صف $ N $ في $ \tilde{\mathbf{S}}_1 $ . وبالتالي نحصل على

    $$ \mathbf {A} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 4 + s & - 6 \\ 0 & 2 + s \end{array} \right], \quad \mathbf {M} (s) = \left[ \begin{array}{c c} 4 + 6 s & - 4 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \tag {9.82} $$

    المعوضان $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{M}(s) $ و $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{L}(s) $ هما بوضوح proper. هذا يكمل التصميم. وكاختبار، نحسب

    $$ \begin{array}{l} \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \mathbf {N} (s) \mathbf {F} ^ {- 1} (s) \mathbf {L} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {2 (s + 2)}{s ^ {3} + 4 s ^ {2} + 6 s + 4} & 0 \\ 0 & \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array}{c c} \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} & 0 \\ 0 & \frac {2}{s ^ {2} + 2 s + 2} \end{array} \right] \\ \end{array} $$

    وهذا هو النموذج المطلوب. لاحظ أن التصميم يتضمن إلغاء $ (s + 2) $ ، وهو ما يمكننا اختياره. لذا فالتصميم مُرضٍ.

    لنناقش حالة خاصة من مطابقة النموذج. معطى $ \hat{\mathbf{G}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}^{-1}(s) $ . لنختر $ \hat{\mathbf{T}}(s) = \mathbf{D}(s)\mathbf{D}_f^{-1}(s) $ ، حيث إن $ \mathbf{D}_f(s) $ لها درجات أعمدة ومصفوفة معاملات درجات الأعمدة نفسها مثل $ \mathbf{D}(s) $ . عندئذ تكون $ \hat{\mathbf{T}}(s) $ proper و $ \hat{\mathbf{G}}_o(s) = \hat{\mathbf{G}}(s)\hat{\mathbf{T}}(s) = \mathbf{N}(s)\mathbf{D}_f^{-1}(s) $ . هذه هي مصفوفة تحويل التغذية الراجعة التي نوقشت في (8.72). وبالتالي فإن تصميم تغذية راجعة الحالة (state feedback design) الذي نوقش في الفصل 8 يمكن تنفيذه أيضاً باستخدام الإجراء 9.M1.