9.7 ملاحظات ختامية (Concluding Remarks) 

في هذا الفصل، استخدمنا الكسور الأولية (coprime fractions) لإجراء تصميمات تحقق وضع الأقطاب (pole placement) أو مطابقة النموذج (model matching). لوضع الأقطاب، يمكن استخدام تكوين التغذية الراجعة بوحدة المبين في الشكل 9.1(a)، وهو تكوين بدرجة حرية واحدة (one-degree-of-freedom configuration). إذا كانت للمنظومة درجة $ n $ ، فيمكن تحقيق أي وضع للأقطاب باستخدام معوض بدرجة $ n - 1 $ أو أكبر. إذا كانت درجة المعوض أكبر من الحد الأدنى المطلوب، فيمكن استخدام الدرجات الإضافية لتحقيق التتبع المتين (robust tracking) أو رفض الاضطراب (disturbance rejection) أو أهداف تصميم أخرى.

مطابقة النموذج تتضمن عادة إلغاءات أقطاب-أصفار (pole-zero cancelations). التكوينات ذات درجة الحرية الواحدة لا يمكن استخدامها هنا لأننا لا نملك حرية في اختيار الأقطاب الملغاة. يمكن استخدام أي تكوين بدرجتي حرية لأن لدينا حرية في اختيار الأقطاب الملغاة. يناقش هذا النص فقط التكوين ثنائي المعلمات المبين في الشكل 9.4.

جميع التصاميم في هذا الفصل تُنجز بحل مجموعات من المعادلات الجبرية الخطية (linear algebraic equations). الفكرة الأساسية والإجراء متشابهان لكل من حالتي SISO وMIMO. يمكن تطبيق كل ما نوقش في هذا الفصل على أنظمة الزمن المتقطع (discrete-time systems) دون أي تعديل؛ والفرق الوحيد هو أن كثيرات الحدود المستقرة زمن-مستمر (CT stable polynomials) يجب استبدالها بكثيرات حدود مستقرة زمن-متقطع (DT stable polynomials) التي تقع جميع جذورها داخل دائرة الوحدة في مستوى $ z $ .

يدرس هذا الفصل فقط $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ الصارمة في التحقق (strictly proper). إذا كانت $ \hat{\mathbf{G}}(s) $ ثنائية التحقق (biproper)، فإن الفكرة الأساسية والإجراء لا يزالان قابلين للتطبيق، لكن يجب زيادة درجة المعوضات لضمان Properness المعوضات واتساق (well-posedness) الأنظمة الكلية. انظر المرجع 6. يمكن أيضاً تمديد مطابقة النموذج في القسم 9.6 إلى مصفوفات تحويل منظومة غير مربعة. انظر أيضاً المرجع 6.

يمكن أيضاً إجراء تصميم المتحكم-المقدر (controller-estimator design) في الفصل 8 باستخدام الكسور متعددة الحدود (polynomial fractions). انظر المرجعين 6 (ص 506-514) و7 (ص 461-465). وعلى العكس، بسبب التكافؤ بين معادلات فضاء الحالة القابلة للتحكم والملاحظة والكسور الأولية، ينبغي أن نتمكن من استخدام معادلات فضاء الحالة لإجراء جميع التصاميم في هذا الفصل. ومع ذلك، يُعتقد أن تصميم فضاء الحالة سيكون أكثر تعقيداً وأقل شفافية كما نرى عند مقارنة التصاميم في القسمين 8.3.1 و9.3.2.

ظهر منهج فضاء الحالة لأول مرة في الستينيات وبحلول الثمانينيات تم دمج مفاهيم قابلية التحكم (controllability) وقابلية الملاحظة (observability) وتصميم المتحكم-المقدر في معظم كتب التحكم الجامعية. طُور منهج الكسور متعددة الحدود في دوال التحويل في السبعينيات؛ إلا أن مفهومه الأساسي، وهو الأولية (coprimeness)، مفهوم قديم جداً. ومع أن مفاهيم وإجراءات التصميم في منهج الكسور الأولية بسيطة مثل منهج فضاء الحالة إن لم تكن أبسط، يبدو أن هذا المنهج أقل شيوعاً. نأمل أن يكون هذا الفصل قد أظهر بساطته وفائدته وسيساعد على نشره.

على الرغم من أن تصميم الأنظمة الخطية ثابتة الزمن المجمعة (linear time-invariant lumped systems) يمكن إنجازه بسهولة أكبر باستخدام دوال التحويل، فإن معادلات فضاء الحالة لا غنى عنها للحوسبة والمحاكاة الحاسوبية، والمعالجة الزمنية الحقيقية، وتنفيذ دوائر المضخم التشغيلي (op-amp circuit). علاوة على ذلك، عند تطوير المعادلات الرياضية، يكون أبسط عادة تطوير مجموعات من معادلات تفاضلية من الرتبة الأولى، ليست بالضرورة خطية أو ثابتة الزمن، لوصف الأنظمة. وبعد الخطية والتقريب، يمكننا الحصول على معادلات فضاء الحالة (LTI lumped). عندئذ فقط يمكننا حساب دوال التحويل الكسرية لها. وبالتالي فإن كلًا من دوال التحويل ومعادلات فضاء الحالة مهم في دراسة الأنظمة.