المسائل 

    9.1 عند حل معادلة المعوِّض (compensator equation) في (9.4)، نحتاج غالبًا إلى $ \deg B(s) \leq \deg A(s) $ لضمان أن المعوِّض $ C(s) = B(s) / A(s) $ صحيح (proper). بالنسبة إلى $ D(s) $ و$ N(s) $ في المثال 9.2.1، إذا كان $ F(s) = s^2 + 3s + 4 $، هل يمكنك إيجاد $ B(s) $ و$ A(s) $ لتحقيق شرط الدرجة؟ تحقق أنه إذا كانت درجة $ F(s) $ تساوي 3، فإن مثل هذه الحلول موجودة دائمًا.

    9.2 معطى نبات (plant) بدالة انتقال $ \hat{g}(s) = (s - 1)/(s^2 - 4) $. أوجد معوِّضًا (compensator) في تكوين التغذية الراجعة الوحدة (unity feedback configuration) بحيث تكون أقطاب النظام الكلي عند $ -2 $ و$ -1 \pm j1 $. وأوجد أيضًا كسب التقدّم الأمامي (feedforward gain) بحيث يتتبع النظام الناتج أي دخل مرجعي خطوة بشكل تقاربي (asymptotically).

    9.3 افترض أن دالة انتقال النبات في المسألة 9.2 تتغير إلى $ \hat{g}(s) = (s - 0.9)/(s^2 - 4.1) $ بعد اكتمال التصميم. هل يمكن للنظام الكلي أن يتتبع بشكل تقاربي أي دخل مرجعي خطوة؟ إذا لم يكن، أعط تصميمين مختلفين، أحدهما بمعوّض من الدرجة 3 والآخر من الدرجة 2، بحيث يتتبع بشكل تقاربي وبشكل متين (robustly) أي دخل مرجعي خطوة. هل تحتاج أقطابًا مرغوبة إضافية؟ إذا نعم، ضعها عند $ -3 $.

    9.4 كرر المسألة 9.2 لنبات بدالة انتقال $ \hat{g}(s) = (s - 1)/s(s - 2) $. هل تحتاج كسبًا تقدميًا أماميًا لتحقيق تتبع أي دخل مرجعي خطوة؟ أعط السبب.

    9.5 افترض أن دالة انتقال النبات في المسألة 9.4 تتغير إلى $ \hat{g}(s) = (s - 0.9)/s(s - 2.1) $ بعد اكتمال التصميم. هل يمكن للنظام الكلي تتبع أي دخل مرجعي خطوة؟ هل التصميم متين (robust)؟

    9.6 اعتبر نباتًا بدالة انتقال $ \hat{g}(s) = 1/(s - 1) $. افترض اضطرابًا بالشكل $ w(t) = a\sin(2t + \theta) $، بسعة (amplitude) $ a $ وطور (phase) $ \theta $ غير معلومين، يدخل النبات كما هو موضح في الشكل 9.2. صمّم معوّضًا ثنائي الصحة (biproper compensator) من الدرجة 3 في نظام التغذية الراجعة بحيث يتتبع الخرج بشكل تقاربي أي دخل مرجعي خطوة ويرفض الاضطراب. ضع الأقطاب المرغوبة عند $ -1 \pm j2 $ و$ -2 \pm j1 $.

    9.7 اعتبر نظام التغذية الراجعة الوحدة (unity feedback system) المبين في الشكل 9.10. دالة انتقال النبات هي $ \hat{g}(s) = 2 / s (s + 1) $. هل يمكن للخرج تتبع أي دخل مرجعي خطوة بشكل متين (robustly)؟ هل يمكن للخرج رفض أي اضطراب خطوة $ w(t) = a $؟ لماذا؟


    الشكل (Figure) 9.10

    9.8 اعتبر نظام التغذية الراجعة الوحدة المبين في الشكل 9.11(a). هل دالة الانتقال من $ r $ إلى $ y $ مستقرة BIBO (BIBO stable)؟ هل النظام مستقر كليًا (totally stable)؟ إذا لم يكن، فأوجد زوج دخل-خرج تكون دالة انتقاله مغلقة الحلقة غير مستقرة BIBO (BIBO stable).


    (a)
    الشكل (Figure) 9.11


    (b)

    9.9 اعتبر نظام التغذية الراجعة الوحدة المبين في الشكل 9.11(b). (1) بيّن أن دالة الانتقال مغلقة الحلقة لكل زوج دخل-خرج ممكن تحتوي العامل $ (1 + C(s)\hat{g} (s))^{-1} $ (2) بيّن أن $ (1 + C(s)\hat{g} (s))^{-1} $ صحيح (proper) إذا وفقط إذا

    $$ 1 + C (\infty) \hat {g} (\infty) \neq 0 $$

    (3) بيّن أنه إذا كانت $ C(s) $ و$ \hat{g}(s) $ صحيحتين (proper)، وإذا كان $ C(\infty)\hat{g}(\infty) \neq -1 $، فإن النظام محكم الصياغة (well posed).

    9.10 معطى $ \hat{g}(s) = (s^2 - 1) / (s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3) $، أيّ من $ \hat{g}_o(s) $ الآتية

    $$ \frac {s - 1}{(s + 1) ^ {2}} \quad \frac {s + 1}{(s + 2) (s + 3)} \quad \frac {s ^ {2} - 1}{(s - 2) ^ {3}} $$
    $$ \frac {(s ^ {2} - 1)}{(s + 2) ^ {2}} \quad \frac {(s - 1) (b _ {0} s + b _ {1})}{(s + 2) ^ {2} (s ^ {2} + 2 s + 2)} \quad \frac {1}{1} $$

    ولأي $ a_{i} $ و$ b_{i} $، قابلة للتنفيذ (implementable)؟

    9.11 معطى $ \hat{g}(s) = (s - 1)/s(s - 2) $، نفّذ النموذج $ \hat{g}_o(s) = -2(s - 1)/(s^2 + 2s + 2) $ في تكوين الحلقة المفتوحة وتكوين التغذية الراجعة الوحدة. هل هما مستقران كليًا (totally stable)؟ هل يمكن استخدام هذه التنفيذات عمليًا؟
    9.12 نفّذ المسألة 9.11 في تكوين المعلمتين (two-parameter configuration). اختر الأقطاب المراد إلغاؤها عند $ s = -3 $. هل $ A(s) $ كثير حدود مستقر في الزمن المستمر CT (CT stable polynomial)؟ هل يمكنك تنفيذ المعوّضين كما في الشكل 9.4(a)؟ نفّذ المعوضين في الشكل 9.4(d) وارسم دارة المضخم التشغيلي (op-amp circuit) الخاصة بها.
    9.13 معطى $ \hat{g}_o(s) $ مستقر BIBO (BIBO stable). بيّن أن الاستجابة في الحالة المستقرة $ y_{ss}(t) \coloneqq \lim_{t \to \infty} y(t) $ المثارة بمدخل مرجعي رامب (ramp reference input) $ r(t) = at $ لـ $ t \geq 0 $ تعطى بـ

    $$ y _ {s s} (t) = \hat {g} _ {o} (0) a t + \hat {g} _ {o} ^ {\prime} (0) a $$

    وبالتالي إذا كان المطلوب أن يتتبع الخرج بشكل تقاربي مدخل رامب مرجعي فلابد أن يكون $ \hat{g}_o(0) = 1 $ و$ \hat{g}_o'(0) = 0 $.

    9.14 معطى $ \hat{g}_o(s) $ مستقر BIBO (BIBO stable)

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {b _ {0} + b _ {1} s + \cdots + b _ {m} s ^ {\prime \prime}}{a _ {0} + a _ {1} s + \cdots + a _ {n} s ^ {\prime \prime}} $$

    مع $ n \geq m $. بيّن أن $ \hat{g}_0(0) = 1 $ و$ \hat{g}_0'(0) = 0 $ إذا وفقط إذا $ a_0 = b_0 $ و$ a_1 = b_1 $.

    9.15 معطى نبات بدالة انتقال $ \hat{g}(s) = (s + 3)(s - 2) / (s^3 + 2s - 1) $. (1) أوجد شروطًا على $ b_1 $ و$ b_0 $ و$ a $ بحيث يكون

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {b _ {1} s + b _ {0}}{s ^ {2} + 2 s + a} $$

    قابلًا للتنفيذ (implementable). (2) هل

    $$ \hat {g} _ {o} (s) = \frac {(s - 2) \left(b _ {1} s + b _ {0}\right)}{(s + 2) \left(s ^ {2} + 2 s + 2\right)} $$

    قابل للتنفيذ؟ أوجد شروطًا على $ b_{1} $ و$ b_{2} $ بحيث يتتبع دالة الانتقال الكلية أي دخل مرجعي رامب.

    9.16 اعتبر نباتًا بمصفوفة انتقال

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c} \frac {s + 1}{s (s - 1)} \\\ \frac {1}{s ^ {2} - 1} \end{array} \right] $$

    أوجد معوضًا في تكوين التغذية الراجعة الوحدة بحيث توضع أقطاب النظام الكلي عند $ -2, -1 \pm j $ والباقي عند $ s = -3 $. هل يمكنك إيجاد كسب تقدّم أمامي (feedforward gain) بحيث يتتبع النظام الكلي أي دخل مرجعي خطوة بشكل تقاربي؟

    9.17 كرر المسألة 9.16 لنبات بمصفوفة انتقال

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{l l} \frac {s + 1}{s (s - 1)} & \frac {1}{s ^ {2} - 1} \end{array} \right] $$

    9.18 كرر المسألة 9.16 لنبات بمصفوفة انتقال

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {s - 2}{s ^ {2} - 1} & \frac {1}{s - 1} \\\ \frac {1}{s} & \frac {2}{s - 1} \end{array} \right] $$

    9.19 معطى نبات بمصفوفة الانتقال المعطاة في المسألة 9.18. هل

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {4 (s ^ {2} - 4 s + 1)}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2)} & 0 \\\ 0 & \frac {4 (s ^ {2} - 4 s + 1)}{(s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 2)} \end{array} \right] $$

    قابلة للتنفيذ (implementable). إذا نعم، فقم بتنفيذها.

    9.20 قطّر (diagonalize) نباتًا بمصفوفة انتقال

    $$ \hat {\mathbf {G}} (s) = \left[ \begin{array}{l l} 1 & s \\\ 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} 1 & s ^ {2} + 1 \\\ s & 0 \end{array} \right] ^ {- 1} $$

    واجعل مقام كل عنصر قطري في النظام الكلي الناتج هو $ s^2 + 2s + 2 $.

    الحلول 

    9.2 $ C(s) = (10s + 20) / (s - 6), p = -0.2 $ .
    9.4 $ C(s) = (22s - 4) / (s - 16), p = 1 $ . لا حاجة لكسب تقدمي أمامي لأن $ \hat{g}(s) $ تحتوي على $ 1 / s $ .
    9.6 $ C(s) = (7s^3 + 14s^2 + 34s + 25) / (s(s^2 + 4)) $ .
    9.8 نعم، لا. دالة الانتقال من $ r $ إلى $ u $ هي $ \hat{g}_{ur}(s) = s / (s + 1)(s - 2) $، وهي غير مستقرة BIBO (BIBO stable).
    9.10 نعم، لا، لا، لا، نعم، لا. (حسب الصفوف)
    9.12 $ C_1(s) = -2(s + 3) / (s - 21) $ ، $ C_2(s) = (28s - 6) / (s - 21) $ . $ A(s) = s - 21 $ ليست كثيرة حدود مستقرة في الزمن المستمر CT (CT stable). تنفيذها في الشكل 9.4(a) لن يكون مستقرًا كليًا (totally stable). تحقيق أدنى (minimal realization) لـ $ [C_1(s) - C_2(s)] $ هو

    $$ \dot {x} = 2 1 x + \left[ - 4 8 - 5 8 2 \right] \left[ \begin{array}{l} r \\\ y \end{array} \right], \quad y = x + \left[ - 2 - 2 8 \right] \left[ \begin{array}{l} r \\\ y \end{array} \right] $$

    ومنها يمكن رسم دارة مضخم تشغيلي (op-amp circuit).

    9.15 (1) $ a > 0 $ و $ b_{0} = -2b_{1} $ . (2) نعم، $ b_{0} = -2, b_{1} = -4 $ .
    9.16 المعوّض $ 1 \times 2 $

    $$ \mathbf {C} (s) = \frac {1}{s + 3 . 5} [ 3. 5 s + 1 2 - 2 ] $$

    سيضع أقطاب الحلقة المغلقة عند $ -2, -1 \pm j, -3 $ . لا.

    9.18 إذا اخترنا

    $$ \mathbf {F} (s) = \operatorname {d i a g} ((s + 2) (s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 3), (s ^ {2} + 2 s + 2)) $$

    فلن نستطيع إيجاد كسب تقدّم أمامي لتحقيق التتبع. إذا

    $$ \mathbf {F} (s) = \left[ \begin{array}{c c} (s + 2) (s ^ {2} + 2 s + 2) (s + 3) & 0 \\\ 1 & s ^ {2} + 2 s + 2 \end{array} \right] $$

    فعندئذ المعوّض

    $$ \mathbf {C} (s) = \mathbf {A} ^ {- 1} (s) \mathbf {B} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s - 4. 7 & - 5 3. 7 \\\ - 3. 3 & s - 4. 3 \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c} - 3 0. 3 s - 2 9. 7 & 4. 2 s - 1 2 \\\ - 0. 7 s - 0. 3 & 4 s - 1 \end{array} \right] $$

    ومصفوفة كسب التقدّم الأمامي

    $$ \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{r r} 0. 9 2 & 0 \\\ - 4. 2 8 & 1 \end{array} \right] $$

    ستحقق التصميم.

    9.20 مصفوفة الانتقال القطرية

    $$ \hat {\mathbf {G}} _ {o} (s) = \left[ \begin{array}{c c} \frac {- 2 (s - 1)}{s ^ {2} + 2 s + 2} & 0 \\\ 0 & \frac {- 2 (s - 1)}{s ^ {2} + 2 s + 2} \end{array} \right] $$

    قابلة للتنفيذ (implementable). المعوضان الصحيحان (proper compensators) $ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{L}(s) $ و$ \mathbf{A}^{-1}(s)\mathbf{M}(s) $ مع

    $$ \begin{array}{l} \mathbf {A} (s) = \left[ \begin{array}{c c} s + 5 & - 1 4 \\\ 0 & s + 4 \end{array} \right], \quad \mathbf {L} (s) = \left[ \begin{array}{c c} - 2 (s + 3) & 2 (s + 3) \\\ 2 & - 2 s \end{array} \right] \\\ \mathbf {M} (s) = \left[ \begin{array}{c c} - 6 & 1 3 s + 1 \\\ 2 & - 2 s \end{array} \right] \\\ \end{array} $$

    في تكوين المعلمتين (two-parameter configuration) سيحقق التصميم.